Арифметические операции над числами, представленными в двоичной системе счисления

Арифметические действия в двоичной системе счисления производятся по обычным для позиционных систем счисления правилам.

Сложение производиться с применением следующих правил:

0 + 0 = 0;0+1 = 1; 1+0=1; 1 + 1 = 10.

 

Для того чтобы сложить два числа в системе счисления с основанием q, необходимо записать одно слагаемое под другим так, чтобы разряды первого слагаемого располагались под соответствующими разрядами другого слагаемого. Сложение производится по разрядно, начиная с младшего разряда, справа на лево с номером i. Рассмотрим сложение в разряде с номером i. Введем обозначение: i[a_i,b_i] – цифры i, первого и второго разряда номером значения выражения S_i^*=a_i^*+b_i^*+p_i. В этом выражении a_i^*+b_i^* – десятичные числа, которые равны, соответственно, весам цифр a_i и b_i; p_i – признак переноса. Он принимает одно из двух значений: p_i =0, если в разряде i -1 не возникает единицы переноса в i -ый разряд, и p_i =1, если в разряде i -1 возникла единица переноса. Если i =1, младший разряд, то p_i =0.

Рассмотрим два случая:

1. S_i^*≥q, в этом случае найдем разность S_i^*-q, подставив соответственно

найденной разности, цифру S_i системы счисления с основанием q. Собственный вес цифры должен быть равен значению разности. Сформулируется признак переноса p_i+1 =1.

2. S_i^*<q, в этом случае S_i^* поставим соответствующую цифру S_i системы

счисления с основанием q. Собственный вес цифры S_i должен быть равен значению S_i^*. Признак переноса следующего разряда в этом случае равен нулю, полученная цифра является цифрой i -го разряда суммы единицы исходных чисел. Аналогично производится сложение в остальных разрядах.

 

Пример 3.1. Сложить два двоичных числа 11110101 и 1001101:

 

111111010 - единицы переноса

₊ 11110101 - первое слагаемое

1001101 - второе слагаемое

101000010 - сумма.

 

Вычитание может производиться "обычным" способом с применением следующих правил:

0-0 = 0; 1-0=1; 1-1=0; 10-1 = 1.

 

Для того чтобы вычесть из одного числа другое в системах счисления с основанием q, необходимо вычитаемое записать под уменьшаемое так, чтобы разряды вычитаемого располагались под соответствующими разрядами уменьшаемого. Вычитание производится поразрядно справа налево, начиная с младшего разряда. Рассмотрим вычитание в разряде с номером i. Введем обозначение: i[a_i,b_i] – цифра i -го разряда, соответствующего уменьшаемого и вычитаемого номером значения выражения r_i^*=a_i^*+b_i^*+p_i. В этом выражении a_i^*,b_i^* – десятичного числа равные по весам цифр a_i и b_i; p_i – признак заёма. Признак заёма равен нулю, если в разряде i -1 нет необходимости в заёме единицы в разряде с номером i, признак p_i =-1,если в разряде с номером i -1 возникла необходимость в заёме единицы.

Рассмотрим два случая:

1. r_i^*<0, в этом случае найдем сумму r_i^*+q, поставим соответствующую r_i

системы счисления с основанием q. Собственный вес цифры r_i должен быть равен найденной сумме. Сформулируем признак заёма r_i+1=-1.

2. r_i^*≥0, в этом случае подставим соответствующую r_i с.с. с основанием q.

Собственный вес цифры r_i должен быть равен r_i^*, в этом случае признак заёма следующего разряда равен нулю (r_i+1 =0), полученная цифра r_i является цифрой i -го разряда разности и исходных чисел. Аналогично производится вычитание в остальных разрядах.

 

Пример 3.2. Вычесть из двоичного числа 1100111 двоичное число 110101:

11. - единицы заема

_ 1100111 - уменьшаемое

11010 1 - вычитаемое

110010 - разность.

 

Умножение чисел в двоичной системе счисления значительно проще, чем в десятичной системе счисления. Существуют четыре правила умножения одноразрядных двоичных чисел:

0x0 = 0; 0x1=0; 1x0 = 0; 1x1 = 1.

 

Для того чтобы перемножить два 2 числа необходимо записать один сомножитель под другим так, чтобы разряды одного сомножителя располагались под соответствующими разрядами другого. Верхний сомножитель назовем множимым, другой – множитель. Под сомножителем расположен столбик чисел, кол-во чисел в столбике равно количеству единичных разрядов множителя, каждое число столбика является множимым расположенным таким образом, что его младший разряд находится под какой-то единицей множителя. Незаполненные ячейки столбика считаются равными нулю. Полученные числа столбика необходимо сложить. Если чисел больше двух, то необходимо сначала сложить первые два числа, к полученной сумме прибавить третье, к очередной – четвертое и т.д. Полученная сумма является произведением исходных сомножителей.

 

Пример 3.3. Перемножить два двоичных числа: 11011 и 1101

11011 - множимое

1101 - множитель

11011 - первая строка

11011 - вторая строка

11011 - третья строка

101011111 - произведение.

 

Деление двоичных чисел выполняется аналогично тому, как это делается с числами, представленными в десятичной системе счисления — "столбиком".

Для того чтобы разделить одно двоичное число на другое необходимо воспользоваться той же самой записью, которая используется при делении десятичных чисел. Далее необходимо выполнять следующие действия:

1. Будем просматривать делимое слева на право, начиная со старшего разряда и определять по длине последовательность, из которых можно образовать число не меньшее делителя.

2. Запишем под образованным числом делитель так, чтобы разряды делителя располагались под соответствующими разрядами образованного числа.

3. Найдем разность: из образованного числа вычтем делитель.

4. В область частного к возможно существующей последовательности справа припишем единицу.

5. К полученной разности припишем справа разряд делимого, расположенного за образованным числом, если такого числа нет, то деление закончено. В области частного находится результат деления, а разность и приписанные разряды делимого образуют числа равные остатку от деления.

Если разряд делимого присутствует, то возможны два случая:

а)Разность и разряд делимого образуют число меньше, чем делитель. (в этом случае необходимо повторить 5 действие).

б)Разность и разряд делимого образуют число не меньше, чем делитель. (в этом случае необходимо выполнить шаги начиная со второго (в области частного нужно приписать нуль справа). разность и разрядва припишем единицу; 5)ись под соответствующими разрядами образованнот.д. мме прибавить третье, к очередной четвертоее двух, то необходимо сначала сложить первые два числа

 

Пример 3.4. Выполнить деление в двоичной системе счисления двоичного числа 110011 на двоичное число 11:

_110011
_00011
0.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: