Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Нахождение корня уравнения методом Ньютона

Нахождение корня уравнения методом Ньютона

Данный пример демонстрирует программу, вычисляющую приближенное значение корня уравнения 2x² – 4x + 1 = 0 на отрезке от 0 до 0. 5 методом Ньютона.

Метод Ньютона позволяет получить приближенное значение корня уравнения, используя итерационный процесс, по следующей формуле:

где X_i₊₁ – следующее приближение (уточненное значение корня), X_i - приближенное значение корня на предыдущем шаге. В качестве начального приближения выбирается та точка отрезка, в которой выполняется условие . В данном примере в качестве начального приближения выбрана точка 0, поскольку . В примере итерационный процесс выполняется до тех пор, пока не будет достигнут машинный нуль. Далее представлен текст программы.

CODE SEGMENT ; сегмент команд

ASSUME CS: CODE, DS: DATA, SS: STAC

Start: MOV AX, DATA ; настройка DS

MOV DS, AX ; на сегмент данных

FINIT ; инициализация сопроцессора

FLDZ ; запись в стек начального приближения

FLDZ ; выделение места для предыдущего приближения

M1: FXCH ST(1); обмен ST(1) и ST(0)

FADDP ST, ST; выталкивание из стека значения

FLDZ ; загрузка в стек нуля

FADD ST, ST(1); дублирование предыдущего приближения

FMUL ST, ST ; вычисление x_i²

FLD n2 ; загрузка в стек числа 2. 0

FMULP ST(1), ST ; вычисление 2x_i²

FLD n4 ; загрузка в стек числа 4. 0

FMUL ST, ST(2); вычисление 4x_i

FSUBP ST(1), ST; вычисление 2x_i² - 4x_i

FLD1 ; загрузка в стек единицы

FADDP ST(1), ST ; вычисление 2x_i² - 4x_i + 1

FLD n4 ; загрузка в стек числа 4. 0

FMUL ST, ST(2); вычисление 4x_i

FLD n4 ; загрузка в стек числа 4. 0

FSUBP ST(1), ST; вычисление 4x_i – 4

; вычисление (2x_i² - 4x_i + 1) / (4x_i – 4)

FDIVP ST(1), ST

; вычисление -(2x_i² - 4x_i + 1) / (4x_i – 4)

FCHS

; вычисление x_i - (2x_i² - 4x_i + 1) / (4x_i – 4)

FADD ST, ST(1)

FCOM ; сравнение предыдущего и текущего приближений

FSTSW SW ; загрузка регистра состояния в переменную SW

AND SW, 4500H; наложение маски

CMP SW, 4000H; проверка на установку флага C3

JNE M1 ; переход, если не достигнут машинный нуль

MOV AX, 4C00H; функция завершения программы

INT 21H ; вызов DOS

CODE ENDS

DATA SEGMENT ; сегмент данных

n1 DD 1. 0 ; определение промежуточных чисел

n2 DD 2. 0

n4 DD 4. 0

SW DW? ; переменная для хранения значения регистра состояния

DATA ENDS

STAC SEGMENT PARA STACK; сегмент стека

DB 128 DUP (? ) ; область памяти под стек

STAC ENDS

END Start ; точка входа

В начале программы командой FLDZ в стек сопроцессора загружается начальное приближение. На каждой итерации последовательно вычисляются значение функции в точке предыдущего приближения и значение производной функции. После нахождения этих значений вычисляется следующее приближение по формуле, приведенной выше. После нахождения следующего приближения, оно сравнивается с предыдущим. Программа завершает работу, когда текущее и предыдущее приближения равны. Это свидетельствует о достижении машинного нуля. Результат работы программы – приближенное значение корня уравнения – заносится в регистр ST(0).

Задание на лабораторную работу

Вычислить значения заданной функции на указанном отрезке.

В процессе проверки работы программы в отладчике проверить полученное значение функции со значением, вычисленным на калькуляторе.

Для вычисления значения выражения вида можно пользоваться следующей формулой перевода: , которая вычисляется с использованием команд FYL2X, F2XM1, FSCALE и FPREM.

Для вычисления значений логарифмов можно воспользоваться формулой перевода для логарифмов:

Натуральный логарифм можно вычислить по формуле

с использованием команд FYL2X и FLDLN2.

Для вычисления значений синуса и косинуса можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этих формулах перед знаком радикала должен быть поставлен знак «плюс» или «минус», в зависимости от того, в какой четверти находится значение угла для синуса или косинуса.

Гиперболические синус, косинус и тангенс определяются следующими формулами:

Так как команда FSCALE округляет указываемую степень числа 2 до наименьшего целого числа, то для корректного вычисления значения выражения можно использовать следующую формулу