Комплексные числа и комплексные функции

Комплексные переменные, как и вещественные автоматически имеют тип double и не требуют никакого предварительного описания. Для записи мнимой единицы зарезервированы буквы i или j. В случае, когда коэффициентом перед мнимой единицей является не число, а переменная, между ними следует обяза­тельно использовать знак умножения. Итак, комплексные числа можно записывать следующим образом:

» 2+3i; -6.789+0.834e-2*i; 4-2j; x+y*i;

Почти все элементарные функции допускают вычисления с комплексны­ми аргументами. Вычислите выражение:

» res=sin(2+3i)*atan(4i)/(1-6i)

Получится результат:

-1.8009 - 1.9190i

Специально для работы с комплексными числами предназначены следую­щие функции: abs (абсолютное значение комплексного числа), conj (комплекс­но сопряженное число), imag (мнимая часть комплексного числа), real (дейст­вительная часть комплексного числа), angle (аргумент комплексного числа), isreal («истина», если число действительное). Функции комплексного перемен­ного перечислены в Приложении 1.

В отношении арифметических операций ничего нового для комплексных чисел (по сравнению с вещественными) сказать невозможно. То же самое отно­сится и к операциям отношения «равно» и «не равно». Остальные операции от­ношения вырабатывают результат исходя только из действительных частей этих операндов.

Введите выражение, получите результат и объясните его:

» c=2+3i; d=2i;

» c>d

Логические операции трактуют операнды как ложные, если они равны ну­лю. Если же у комплексного операнда не равна нулю хотя бы одна его часть (вещественная или мнимая), то такой операнд трактуется как истинный.

Числовые массивы

Для создания одномерного массива можно использовать операцию конка­тенации, которая обозначается с помощью квадратных скобок [ ]. Элементы массива помещаются между скобками и отделяются друг от друга пробелом или запятой:

» al=[1 2 3]; d=[1+2i,2+3i,3-7i];

Для доступа к индивидуальному элементу массива нужно применить операцию индексации, для чего после имени элемента указать в круглых скоб­ках индекс элемента.

Можно изменять элементы уже сформированного массива путем примене­ния операций индексации и присваивания. Например, введя:

» al(3)=789;

мы изменим третий элемент массива. Или, после введения:

» al(2)= (al(1)+al(3))/2;

второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима -она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву:

» al(4)=7;

Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех:

» length(al)

ans = 4

Тоже самое действие - «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации:

» al=[al 7];

Можно задать массив, прописывая все его элементы по отдельности:

» al(1)=67; al(2)=7.8; al(3)=0.017;

Однако этот способ создания не является эффективным.

Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например:

» diap=3.7:0.3:8.974;

Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).

Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим согласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.

Введите с клавиатуры:

» a=[1 2; 3 4; 5 6]

Нажмите ENTER, получим:

а =

1 2

3 4

5 6

Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым - число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкате­нацией вектор-строк:

» a=[[1 2];[3 4];[5 6]];

или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов:

» a=[[1;3;5],[2;4;6]];

Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива - функцией ndims, а размер массива - size.

Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индекса­ции, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пе­ресечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:

» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3;

» a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;

Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m - число строк, n - число столбцов). При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив. Использование этих функций возможно и при задании массивов других раз­мерностей.

Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N - новые размеры массива Х

Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хра­нит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала рас­полагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памя­ти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (напри­мер, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда сле­дует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изме­нить только служебную информацию и не трогать собственные данные.

Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транс­портирования, которая обозначается знаком.' (точка и апостроф). Например,

» A=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3];

» B=A'

В =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Операция ' (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.

Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами!!! Даже од­но заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом, состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с ог­ромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это яв­ляется одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых эле­ментов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в слу­чае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов вы­деляет еще и память для управляющей информации.

Вычисления с массивами

В традиционных языках программирования вычисления с массивами осу­ществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каж­дую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке сис­темы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.

Операции сложения и вычитания матриц (знакомые вам из линейной ал­гебры) обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:

» A=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]; B=[0 0 0; 7 7 7; 1 2 3];

» A+B

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром. При выполнении операции А + скаляр (А - матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

» A+5

ans = 6 6 6

7 7 7

8 8 8

Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов:.*,./, и.^Ù. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матри­цами.

Кроме операции./, называемой операцией правого поэлементного деления,

есть еще операция левого поэлементного деления.\. Объясним разницу между

этими операциями. Выражение А./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А.\ В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной зада­чи линейной алгебры - нахождением корней системы линейных уравнений. Например, если требуется решить систему линейных уравнений

Ау = b,

где А - заданная квадратная матрица размера N x N, b - заданный вектор-столбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А\ b (это равносильно операции: А ^{- 1} ∙В).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами систе­мы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

» u=[1 2 3]; v=[3 2 1];

» cross(u,v)

ans =

-4 8 -4

Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произве­дение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение:

» sum(u.*v)

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведе­ние можно также вычислить как: u*v¢.

Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функ­ции извлечения квадратного корня, например:

» sqrt(sum(u.*u))

Ранее рассмотренные для скаляров операции отношения и логические опе­рации выполняются в случае массивов поэлементно. Оба операнда должны быть одинаковых размеров, при этом операция возвращает результат такого же размера. В случае, когда один из операндов скаляр, производится его предвари­тельное расширение, смысл которого уже был пояснен на примере арифметиче­ских операций.

Среди функций, генерирующих матрицы с заданными свойствами, упомя­нем здесь функцию eye, производящую единичные квадратные матрицы, а так­же широко применяемую на практике функцию rand, генерирующую массив со случайными элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1. Например, выражение

» F=rand(3)

порождает массив случайных чисел размером 3х3 с элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.

Если вызвать эту функцию с двумя аргументами, например R=rand(2,3), то получится матрица R случайных элементов размером 2´3. При вызове функции rand с тремя и более скалярными аргументами производятся многомерные мас­сивы случайных чисел.

Определитель квадратной матрицы вычисляется с помощью функции det.

Среди функций, производящих простейшие вычисления над массивами, помимо рассмотренной выше функции sum, упомянем еще функцию prod, ко­торая во всем аналогична функции sum, только вычисляет она не сумму эле­ментов, а их произведение. Функции max и min ищут соответственно макси­мальный и минимальный элементы массивов. Для векторов они возвращают единственное числовое значение, а для матриц они порождают набор экстре­мальных элементов, вычисленных для каждого столбца. Функция sort сортиру­ет в возрастающем порядке элементы одномерных массивов, а для матриц она производит такую сортировку для каждого столбца отдельно.

Наконец, рассмотрим уникальную возможность М-языка системы MATLAB производить групповые вычисления над массивами, используя обыч­ные математические функции, которые в традиционных языках программиро­вания работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения

» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: