 |
Определение понятия. Виды определений математических понятий. Примеры понятий, которые в школьном курсе определяются неявно, явно.
|
|
|
|
Дать определение математического понятия – связать с термином этого понятия некоторые характеристические свойства его содержания так, чтоб в дальнейшем можно было раскрыть все содержание этого понятия. (Определение фиксирует только часть содержания понятия, оставшаяся часть содержания раскрывается при доказательстве теорем-свойств этого понятия).
Пример: параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны – в определении фиксируется попарная параллельность сторон; все остальные свойства доказаны в теоремах и называются свойствами параллелограмма.
Свойства, зафиксированные в понятии, принимаются без доказательства.
Определения бывают: явные и неявные.
Неявные – задаются системой аксиом.
Явные – на прямую в явном виде раскрывают часть содержания: А def{a, b, c}. Подразделяются на:
1) дескриптивные (описательные): через ближайший род и видовое отличие, через перечисление, через абстракцию и т.д.
2) конструктивные (построительные).
Примеры понятий, заданных явно.
1.а) Трапеция – четырехугольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие – нет;
1.б) Множество целых чисел – числовое множество, которое состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля;
1.в) Натуральное число – мощность эквивалентных конечных множеств.
2) Конструктивное: касательная к окружности – это прямая, которая проведена через конец радиуса окружности перпендикулярно ему.
В математике существуют понятия, которые могут определяться и описательно и построительно (в зависимости от подхода). Например, касательная к окружности. Описательно: прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку. Построительно (конструктивно): касательная к окружности – это прямая, которая проведена через конец радиуса окружности перпендикулярно ему. По-моему, с площадью такая же фишка.
|
|
|
Если математическое понятие определено дескриптивно, возникает проблема существования объекта. Обычно после такого определения доказывается теорема существования.
Если определение дано конструктивно, остаются невыясненными свойства этого понятия, поэтому вслед за определением идет теорема, в которой обосновываются свойства описанной конструкции (теоремы-свойства).
Большинство опредедений понятий школьного курса математики – через ближайшее родовое и видовое отличие.
Например: параллелограмм – четырехугольник, у которого все стороны попарно параллельны (четырехугольник – ближайший род, видовое отличие – попарно параллельны).
Еще примеры: определение трапеции – четырехугольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие – нет; уравнения, рационального числа.
Примеры определений через перечисление: множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.
Примеры понятий, заданных неявно.
В неявном виде даются определения «неопределяемым» понятиям: множество, точка, прямая, плоскость, расположение между, принадлежность; сюда можно отнести натуральное число (в школьном курсе); арифметические действия в школьном курсе задаются через систему аксиом.
Понятие иррационального числа: может быть дано как число, представимое в виде несократимой дроби, а может быть дано через понятие бесконечной периодической десятичной дроби.
Понятие равных фигур: может вводиться через наложение, может – через преобразование плоскости.
Типичные ошибки в определении понятий. Метод контрпримера при ошибках в определении понятия.
1) Не назван род – только видовое отличие («это когда…»);
2) Назван не ближайший род («параллелограмм – это фигура…» а не «четырехугольник»);
|
|
|
3) Введение не того рода, к которому относится данное понятие («отрезок – это прямая, у которой отрезано с каждой стороны по куску»);
4) Замена родового понятия тем, которое надо определить («параллелограмм – это такой параллелограмм…»)
5) Неверный признак; опускание признака («биссектриса – это луч, который делит угол пополам»)
6) «Хождение про кругу» (например, дается понятие рациональных чисел через иррациональные, а иррациональных – через рациональные).
Наиболее эффективный способ борьбы – приведение контрпримера: пример объекта, который полностью соответствует «определению», которое дал ученик, но не является тем, что должно получиться по изначальному определению.
Классификация понятий.
Классификация – это разделение объема некоторого понятия на несколько классов (групп, множеств). Причем разделение происходит таким образом, что:
1) имеется основание для классификации (какое-то свойство содержания понятия);
2) совокупность классов составляет весь объем понятия;
3) образованные классы не пересекаются друг с другом.
Пример: понятие «натуральное число»; основа для классификации – кратность двум (четные, нечетные); или основа для классификации – количество цифр в записи (однозначные, двузначные и т.д.).
15. Для высказываний В и С записать импликацию так, чтобы С для В было:
а) необходимым условием; б) достаточным условием; в) признаком; г) свойством.
Любая теорема имеет форму импликации: В 
С, где В – условие теоремы, а С – заключение теоремы. Заключение может получится только тогда, когда собрано все условие.
В С принято называть прямой теоремой.
Каждая теорема вида В С может быть названа четырьмя разными способами. Из этой теоремы:
1. Необходимое условие В
2. Достаточное условие для С
3. Свойство для В
4. Признак для С
Рассмотрим на конкретном примере:
1. Необходимое условие параллелограмма: 
(параллелограмм) С (необходимое условие)
2. Достаточное условие параллелограмма: В (достаточное условие) С (параллелограмм)
3. Признак: В (признак) С (параллелограмм)
4. Свойство: В (параллелограмм) С (свойство)
Таким образом получаем, что необходимое условие и свойства, достаточное и признак –говорят практически об одном и том же.
|
|
|
В С: для В – необходимое условие или свойство, для С – достаточное условие или признак.
Ещё один пример с вертикальными углами:
Достаточное условие: перечислить, что должно быть, чтобы получилось, что углы вертикальные, т.е. они равны – достаточное условие.
Угла вертикальные они равны – чтобы быть равными, дост. Вертикальности.
Чтобы быть вертикальными, необходимо быть равными.
Равенство – свойство вертикальных углов.
Вертикальность – признак того, что углы будут равны.
|
|
|
12 |
