Как вычислить двойной интеграл?
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Понятие двойного интеграла Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом: Разбираемся в терминах и обозначениях: Что значит вычислить двойной интеграл? Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число: Результат (число Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время. Как вычислить двойной интеграл? Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ: Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область
После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?! Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже: Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же: Пожалуйста, запомните это важное свойство, которое можно использовать, в том числе, для проверки решения. Алгоритм решения двойного интеграла: Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу? 1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область 2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл 4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).
Область интегрирования. Порядок обхода области интегрирования. В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос – как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так: На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения, и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования. Рассмотрим конкретный пример: Пример 1 Дан двойной интеграл Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже: Обычная плоская фигура и ничего особенного. Теперь я выдам каждому из вас орудие труда – Луч лазера проходит область интегрирования строго снизу вверх, то есть указку вы ВСЕГДА держите ниже плоской фигуры. Луч входит в область через ось абсцисс, которая задаётся уравнением Итак, что получилось: В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств: Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам: Половина задачи решена. Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом. Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения, тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область Если
Нередко возникают сомнения, вот, к примеру, функция Более того, данную проверку (мысленно или на черновике) желательно проводить всегда, после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка! Обходим область интегрирования вторым способом: Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо. В данном случае он входит в область через ветвь параболы Таким образом: Порядок обхода области следует записать в виде неравенств: И, следовательно, переход к повторным интегралам таков: Ответ можно записать следующим образом: Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали (поэтому поставлен знак равенства). Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача – лишь правильно расставить пределы интегрирования. Пример 2 Дан двойной интеграл Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода (откуда и куда светить лазерной указкой). Примерный образец чистового оформления в конце урока. Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке: Пример 3 Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования
Решение: По условию дан первый способ обхода области. Решение опять начинается с чертежа. Здесь область Смотрим на пределы внешнего интеграла: «икс» изменяется от –2 до 0. Выполним чертёж: Теперь нужно изменить порядок обхода области, для этого перейдем к обратным функциям (выразим «иксы» через «игреки»): Изменим порядок обхода области: Согласно второму способу обхода, лазерный луч входит в область слева через левую полуокружность Таким образом, порядок обхода области: В общем-то, можно записать ответ: Пример 4 Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях? Во-первых, возникает трудность с чертежом, поскольку чертить график обратной функции наподобие Анализируем исходные пределы интегрирования: входим слева в область через Похожий пример я еще разберу подробнее чуть позже.
Даже если вы всё отлично поняли, пожалуйста, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла. Порядок обхода – вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче, тем более, я еще не всё рассмотрел! В предыдущих четырёх примерах область интегрирования находилась целиком в 1-й, 2-й, 3-й и 4-й координатных четвертях. Всегда ли это так? Нет, естественно. Пример 5 Изменить порядок интегрирования Решение: Выполним чертёж, при этом, график функции Перейдем к обратным функциям: Изменим порядок обхода области. Как вы помните, при втором способе обхода, область нужно сканировать лазерным лучом слева направо. Но тут наблюдается интересная вещь: Как поступать в подобных случаях? В таких случаях следует разделить область интегрирования на две части и для каждой из частей составить свои повторные интегралы: 1) Если «игрек» изменяется от –1 до 0 (зеленая стрелка), то луч входит в область через кубическую параболу 2) Если «игрек» изменяется от 0 до 1 (коричневая стрелка), то луч входит в область через ветвь параболы У определенных и кратных интегралов есть весьма удобное свойство аддитивности, то есть, их можно сложить, что в данном случае и следует сделать: Ответ записываем так: Какой порядок обхода выгоднее? Конечно тот, который был дан в условии задачи – вычислений будет в два раза меньше! Пример 6 Изменить порядок интегрирования Это пример для самостоятельного решения. В нём присутствуют полуокружности, разборки с которыми были подробно рассмотрены в Примере 3. Примерный образец оформления решения в конце урока. А сейчас обещанная задача, когда изначально задан второй способ обхода области: Пример 7 Изменить порядок интегрирования Решение: Когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования: График функции Выразим «игрек» через «икс»: Еще раз обращаю внимание на тот факт, что на данном чертеже получилось несколько плоских фигур, и очень важно выбрать нужную фигуру! В выборе искомой фигуры как раз помогут пределы интегрирования исходных интегралов: Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов Довольно быстро вы научитесь проводить такой анализ мысленно и находить нужную область интегрирования. Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, очень проста, меняем порядок обхода области: Ответ: Заключительный пример параграфа для самостоятельного решения: Пример 8 Изменить порядок интегрирования Полное решение и ответ в конце урока.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|