Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла Двойной интеграл Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры Изобразим область Выберем первый способ обхода области: Таким образом: И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам. 1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»: Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел 2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл: Более компактная запись всего решения выглядит так: Полученная формула То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!
Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей. Пример 9 С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры Решение: Изобразим область Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле: Выберем следующий порядок обхода области: Таким образом: Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я: 1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом: 2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл: Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Ответ: Вот такая вот глупая и наивная задача. Любопытный пример для самостоятельного решения: Пример 10 С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры Примерный образец чистового оформления решения в конце урока. В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей. Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему: Пример 11 С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые лежат на боку.
Как проще всего сделать чертёж? Представим параболу Аналогично, представим параболу Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура: Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле: Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции: Согласно второму способу, обход области будет следующим: Таким образом: 1) Расправляемся с внутренним интегралом: Результат подставляем во внешний интеграл: 2) Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урока Как вычислить объем тела вращения, тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек». Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция Что добавить…. Всё! Ответ: Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить Пример 12 С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.
Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений. Постараюсь во второй статье так не маньячить =) Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Изобразим область
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|