Закон сохранения момента импульса

Если М=0, то = пост. Момент импульса постоянен в отсутствие моментов вращения. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса для материальной точки.

Этот результат легко распространить на систему из материальных точек. Для этого нужно разбить силы, действующие на материальные точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних и внешних сил, действующих на i-ю материальную точку обозначим через и соответственно. Тогда уравнение (12) для i-й материальной точки запишется в следующем виде:

(i=1,2,3,…,N). (13)

Сложив аналогичные уравнения для всех материальных точек тела, получим:

(14)

Величина называется моментом импульса системы материальных точек.

Нетрудно показать, что сумма моментов внутренних сил равна нулю. Если обозначить сумму моментов внешних сил буквой , то для системы точек получим выражение, которое по форме совпадает с (12):

. ( 15 )

Для замкнутой системы материальных точек М=0 и суммарный момент импульса не зависит от времени. Таким образом, мы вновь пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Рассмотрим как систему материальных точек некоторое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной оси Z. Момент импульса материальной точки относительно оси Z определим по формуле:

. (16)

Теперь представим вектор в виде трех составляющих: - параллельной оси Z, - коллинеарной вектору и -перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось Z и вектор (рис.1).

Рис.1

Заменяя в (16) вектор суммой составляющих, получим:

(17)

Здесь вектор перпендикулярен к оси Z, поэтому его составляющая вдоль оси Z равна нулю, вектор сам равен нулю в силу коллинеарности векторов и .

Для системы материальных точек:

Но , поэтому: (18)

(Здесь использовано условие, что векторы и взаимно перпендикулярны).

В выражении (18) - момент инерции системы материальных точек (или тела) относительно оси Z. Следовательно, (19)

Подставляя выражение (19) в (15), получим: (20)

Из этого выражения следует, что если сумма составляющих моментов внешних сил вдоль фиксированной оси равна нулю, то момент импульса системы материальных точек относительно этой оси не зависит от времени (сохраняется).

(21)

Если со временем может меняться момент инерции тела, то угловая скорость вращения тела относительно данной оси тоже изменится. Но произведение их останется постоянным, которое для двух моментов времени можно записать так:

(22)