Разработка нефтяных месторождений с применением заводнения

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РАЗРАБОТКИ

Заводнение нефтяных месторождений применяют с целью вытеснения нефти водой из пластов и поддержания при этом пластового давления на заданном уровне.

В настоящее время заводнение — самый распространенный в мире вид воздействия на пласты разрабатываемых месторождений. В России свыше 90 % всей нефти добывают из заводняемых месторождений. В США из таких месторождений также получают значительную часть добычи нефти.

Наиболее часто применяемые виды заводнения: внутриконтурное при рядных или блоково-рядных и площадных схемах расположения скважин и законтурное. Используют также очаговое и избирательное заводнение.

Технологически заводнение осуществляется следующим образом. Очищенную от примесей воду с помощью насосов высокого давления, установленных на насосной станции, закачивают в нагнетательные скважины, располагаемые на площади нефтеносности (внутриконтурное заводнение) или вне ее (законтурное заводнение). Воду нагнетают одновременно в несколько скважин (куст). Поэтому и насосные станции, применяемые с целью осуществления заводнения нефтяных пластов, называют кустовыми насосными станциями. К качеству воды, закачиваемой в пласт, предъявляют следующие требования. В среднем принято, что количество взвешенных частиц в ней не должно превышать 5 мг/л для низкопроницаемых и 20 мг/л для высокопроницаемых пластов.

Давление на устье нагнетательных скважин в процессе наводнения пластов поддерживают обычно на уровне 5 - 10 МПа, а в ряде случаев — 15 - 20 МПа. Так как проницаемости в призабойных зонах отдельных скважин неодинаковы при одном и том же давлении на устье, расход закачиваемой в различные скважины воды различный. Теория заводнения нефтяных пластов показывает, что расход воды, закачиваемой в нагнетательную скважину, согласно закону Дарси, должен быть пропорциональным перепаду давления. Однако фактически, согласно опытным данным, он нелинейно зависит от перепада давления, причем при незначительных его значениях зависимость близка к линейной (рисунок 32), но при некотором перепаде давления , расход начинает резко увеличиваться.

 

Рисунок 32 — Зависимость расхода воды, закачиваемой в нагнетательную скважину, от перепада давления

Это происходит по той причине, что при перепаде давления в призабойной зоне скважины раскрываются трещины и эффективная проницаемость пласта в этой зоне резко возрастает.

При разработке нефтяных месторождений с применением заводнения из добывающих скважин вначале получают практически чистую нефть, т.е. безводную продукцию, а затем, по мере роста объема закачанной в пласт воды, начинают вместе с нефтью добывать воду. Если — полный расход воды, закачиваемой в разрабатываемый пласт или месторождение в целом в единицу времени, — количество добываемой из пласта или месторождения воды в единицу времени (дебит воды), а — дебит нефти, то имеем следующие выражения.

1. Накопленное количество закачанной в пласт воды к моменту времени

. (6.1)

2. Накопленное количество добытой из пласта нефти за тот же период времени

. (6.2)

3. Накопленное количество добытой из пласта воды

.(6.3)

Текущую нефтеотдачу при разработке заводняемых месторождений выражают обычно в виде зависимости от или от ( — поровый объем пласта; — геологические запасы нефти). Типичная зависимость , получаемая при разработке пластов, содержащих маловязкую нефть (вязкостью 1 - 5×10^-3 МПа с), с применением заводнения показана на рисунке 33.

 

Рисунок 33 — Зависимость текущей нефтеотдачи от . Нефтеотдача: — безводная; — конечная.

 

Извлекаемые запасы нефти в пласте или в месторождении в целом N определяют, естественно, следующей формулой:

. (6.4)

Зависимость текущей нефтеотдачи от отношения в том случае, когда заводнение применяют с начала разработки месторождения, имеет вид, показанный на рисунке 34.

 

Рисунок 34 — Зависимость текущей нефтеотдачи и обводненности продукции от

1 — текущая нефтеотдача ; 2 — текущая обводненность

 

Текущая обводненность продукции, добываемой из пласта или месторождения, составит

; . (6.5)

На рисунке 34 показана типичная для месторождений маловязких нефтей зависимость текущей обводненности от .

Как уже было указано в разд. I, коэффициент текущей нефтеотдачи равен произведению коэффициента извлечения нефти из недр или, в случае заводнения, коэффициента вытеснения нефти водой на коэффициент охвата пласта процессом вытеснения.

Коэффициентом вытеснения нефти водой при разработке нефтяных месторождений с применением заводнения называется отношение извлеченной из пласта нефти к ее запасам, первоначально находившимся в части пласта, подверженной воздействию заводнением. Соответственно коэффициентом охвата пласта воздействием называется отношение запасов нефти, первоначально находившихся в части пласта, подверженной воздействию заводнением, к геологическим запасам нефти в пласте.

Для уяснения понятий о коэффициентах вытеснения нефти водой и охвата пласта воздействием рассмотрим схему заводнения слоистого прямолинейного пласта (рисунок 35).

 

Рисунок 35 — Схема заводнения слоистого пласта

 

Пласт состоит из четырех пропластков (1, 2, 3 и 4), причем только три нижних охвачены заводнением, а первый пропласток, вследствие того, что он прерывается из-за литологического выклинивания в области между нагнетательной галереей ( ) и добывающей галереей ( ), не разрабатывается — в него не поступает закачиваемая в пласт вода и из него не добывается нефть. Общие геологические запасы нефти в пласте

. (6.6)

Охваченные заводнением запасы , равны следующей сумме запасов:

. (6.7)

По определению

. (6.8)

В некоторых случаях коэффициент нефтеотдачи равен произведению не только двух, но и трех и большего числа коэффициентов. Если, согласно рисунка 35, в некоторый момент времени закачиваемая в пласт вода проникла в пласт 2 на расстояние , в пласт 3 — на расстояние , а в пласт 4 — на расстояние , то первоначальные запасы нефти в заводненной части пласта 2 можно обозначить , а соответствующие запасы в пластах 3 и 4 — и . Суммарные первоначальные запасы в заводненной области пласта определяют по формуле

. (6.9)

Тогда для коэффициента текущей нефтеотдачи можно написать

, (6.I0)

где — коэффициент вытеснения нефти водой из заводненной области пласта; — коэффициент заводнения.

В условиях неизменной системы и технологии разработки пласта в случае, когда коэффициент нефтеотдачи равен произведению коэффициента вытеснения на коэффициент охвата , зависимость их от , показана на рисунке 36, откуда видно, что возрастает с увеличением , а остается постоянным, поскольку объем охваченных воздействием запасов в указанных условиях с течением времени не изменяется.

 

Рисунок 36 — Зависимость и от

 

Если же определяют как произведение трех коэффициентов согласно формуле (6.10), то их зависимости от при неизменных системе и технологии разработки пластов будут иметь вид, показанный на рисунке 37.

 

Рисунок 37 — Зависимость , и от

 

Коэффициент вытеснения нефти водой из заводненной области (кривая 1) в каком-либо из пропластков до подхода воды по нему к добывающей галерее будет близким к постоянному. В остальных пропластках этот коэффициент в период безводной добычи нефти также остается неизменным и только в водный период он несколько возрастает вследствие дополнительного «отмыва» нефти. Поэтому этот коэффициент остается постоянным в начальный период вытеснения нефти водой из пласта в целом и только в конце разработки возрастает. Коэффициент заводнения (кривая 2 на рисунке 37) в соответствии с его определением будет непрерывно возрастать, поскольку по мере закачки в пласт воды объем заводненной области непрерывно увеличивается. Коэффициент охвата (кривая 3) остается постоянным при неизменной системе и технологии разработки месторождения. Коэффициенты и в общем случае, т. е. не только при разработке месторождения с применением заводнения, определяют по физико-геологическим свойствам и строению пласта на небольших участках, т.е. по микроструктуре пласта, а также механизму извлечения из него нефти. Коэффициент вытеснения часто определяют на основе данных лабораторных экспериментов вытеснения нефтей из естественных образцов пород-кернов, а также промысловых исследований. Теоретические и экспериментальные данные показывают, что коэффициент вытеснения в процессе разработки месторождений с применением заводнения, т.е. при вытеснении нефти из пластов не смешивающейся с нефтью жидкостью — водой, зависит от следующих основных факторов:

1) минералогического состава и литологической микроструктуры пород — коллекторов нефти и, как следствие этих факторов, — глинистости пород, распределения пор по размерам, уровня абсолютной проницаемости, относительных проницаемостей, параметров микротрещиноватости пород, т.е. размера блоков и трещин, отношения их проницаемостей и т.д.;

2) отношения вязкости нефти к вязкости воды, вытесняющей нефть;

3) структурно-механических (неньютоновских) свойств нефти и их зависимостей от температурного режима пластов;

4) смачиваемости пород водой и характера проявления капиллярных сил в породах-коллекторах с различной микроструктурой;

5) скорости вытеснения нефти водой.

Коэффициент охвата пластов воздействием при заводнении зависит главным образом от следующих факторов.

1) Физических свойств и геологической неоднородности разрабатываемого нефтяного пласта в целом (макронеоднородности пласта). Здесь имеется в виду наличие газовой шапки, нефтенасыщенных зон, подстилаемых водой, т.е. водоплавающих зон, прерывистости пласта по вертикали (наличия непроницаемых пропластков) и по горизонтали (литологического выклинивания пропластков), существования дизъюнктивных разрывов и т.д.

2) Параметров системы разработки месторождения, т.е. расположения скважин в пласте, расстояний между добывающими, а также между добывающими и нагнетательными скважинами, отношения числа нагнетательных к числу добывающих скважин.

3) Давления на забоях нагнетательных и добывающих скважин, применения методов воздействия на призабойную зону и совершенства вскрытия пластов.

4) Применения способов и технических средств эксплуатации скважин (механизированных способов добычи, обеспечивающих необходимый отбор жидкости из скважин, методов одновременно-раздельной эксплуатации).

5) Применения методов управления процессом разработки месторождения путем частичного изменения системы разработки (очагового и избирательного заводнения) или без изменения системы разработки (изменения режима работы скважин, установления оптимальных условий прекращения эксплуатации скважин, циклического заводнения и др.).

В целом можно отметить, что коэффициент вытеснения зависит от физических свойств пласта, его микронеоднородности и характеристик процесса вытеснения нефти из пористой среды, а коэффициент охвата пластов воздействием при заводнении, как и при других методах разработки, определяется степенью макронеоднородности месторождения, системой разработки и условиями эксплуатации скважин.

Чтобы прогнозировать показатели разработки нефтяного месторождения при его заводнении, необходимо, помимо модели самого пласта, во многих случаях сохраняющейся одинаковой при всех методах извлечения нефти из недр, использовать также модель процесса заводнения пласта и затем применительно к конкретной системе разработки – расчетную схему для месторождения в целом или его элемента.

Как показывают исследования вытеснения нефти водой их образцов-коллекторов, после подхода воды к концу образца начинается извлечение из него нефти вместе с водой, т.е. происходит так называемый водный период разработки. В одних случаях после начала этого периода из образца добывается незначительное количество нефти (рисунок 38, кривая 1), в других в этот период из образцов извлекаются значительные объемы нефти, сравнимые с объемами нефти, извлекаемыми в безводный период (кривая 2).

 

Рисунок 38 — Зависимости текущей нефтеотдачи от

1 и 2 — кривые, построенные по данным соответственно при поршневом и непоршневом вытеснении нефти водой.

 

Такое несходство между кривыми вытеснения нефти водой из образцов пород в водный период объясняется различием микроструктуры пористых сред, характером проявления в них капиллярных сил, различием вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей и др. Исследования фазовых и относительных проницаемостей пористых сред при вытеснении из них нефти водой показывают, что для многих пластов характерно возникновение в порах раздробленных, дисперсированных мелких глобул нефти, неизвлекаемой из пористой среды даже во время прокачки через неё при одних и тех же перепадах давления неограниченного количества воды, т.е. при так называемой бесконечной промывке. Таким образом, в этих пластах остаточная нефть находится в виде неподвижных глобул, заключенных в тупиковых зонах, в поровых ловушках, т.е. в местах пористых сред, где путь движению нефти преграждается плотными скоплениями зерен пород. Раздроблению нефти в процессе вытеснения ее из пористых сред, возникновению неподвижных глобул способствуют также различие вязкостей нефти и воды и наличие неньютоновских свойств у нефти. Диспергирование нефти в пористых средах происходит недалеко от фронта вытеснения, позади него, где находятся одновременно нефть и вода, так что за водный период из образцов рассматриваемых пористых сред добывают небольшое количество нефти. Процесс вытеснения нефти водой из этих сред как раз и описывается кривой 1 (см. рисунок 38). Если в пористой среде содержится сравнительно небольшое число тупиковых зон в единице объема, то нефть, будучи даже раздробленной позади фронта вытеснения ее водой, продолжает двигаться в этой среде и извлекаться из нее по мере закачки в образец воды. В таком случае вытеснение нефти из образца пористой среды характеризуется кривой 2 (см. рисунок 38).

Возьмем два образца пористой среды. В образце 1 процессу вытеснения нефти водой соответствует кривая 1, а в образце 2 — кривая 2 (см. рисунок 38). Допустим, что к началу водного периода извлечения нефти в эти образцы было закачано по одному и тому же количеству воды . Как видно из рисунка 38, из образца 1 при почти не извлекается нефть, а из образца 2 добывается значительное количество нефти. Можно отметить, что для образца 2 существенное значение имеет водный период добычи нефти, в течение которого в пористой среде происходит совместная (двухфазная) фильтрация нефти и воды.

Кривую 1 можно аппроксимировать двумя прямыми — наклонной, соответствующей условию и параллельной оси абсцисс, справедливой при . Обе прямые на рисунке 38 показаны пунктирными линиями. Этой аппроксимации соответствует определенная модель процесса вытеснения нефти водой из пористых сред — модель поршневого вытеснения нефти водой.

Для описания процессов вытеснения нефти водой из пористых сред, характеризующихся кривыми типа 2 (см. рисунок 38), используют модель совместной (двухфазной) фильтрации нефти и воды.

Обе модели основаны на экспериментальных характеристиках процесса вытеснения нефти водой из пористых сред. При поршневом вытеснении экспериментально определяют коэффициент вытеснения и объем закачанной в пористую среду воды , равный объему извлеченной из нее нефти. При двухфазной фильтрации используют зависимости фазовых или относительных проницаемостей для нефти и воды от насыщенности пористой среды водой.

 

6.2. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗРАБОТКИ СЛОИСТОГО ПЛАСТА НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ПОРШНЕВОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ

 

Показатели, близкие к реальным, получают в ряде случаев при расчете разработки нефтяных месторождений с помощью модели, состоящей из моделей процесса поршневого вытеснения нефти водой и слоистого пласта.

Прежде всего, рассмотрим процесс поршневого вытеснения нефти водой из одного прямолинейного слоя (пропластка) толщиной и длиной , пористостью и проницаемостью (рисунок 39).

 

Рисунок 39 — Модель прямолинейного пропластка при поршневом вытеснении нефти водой

 

Пусть давление воды, входящей слева в пропласток, равно , а давление воды на выходе из него . Будем считать, что в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоя перепад давления постоянный. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой остаточная нефтенасыщенность в заводненной области слоя остается постоянной, равной . Согласно рисунку 39, фронт вытеснения занимает в момент времени t положение . Ширина пропластка, измеряемая в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа (см. рисунок 39), равная ширине всего пласта, составляет . При постоянном перепаде давления на входе в пропласток и на выходе из него расход закачиваемой воды будет изменяться со временем.

Предположим, что в заводненной зоне, т.е. при связанная вода с начальной насыщенностью полностью смешивается с закачиваемой водой, так что условно (см. рисунок 39) заводненная область насыщена остаточной нефтью и этой смесью. Тогда суммарный объем воды , вошедший в область пропластка при , можно определить по формуле:

. (6.11)

Дифференцируя это выражение по времени t, получим следующую формулу для расхода воды, поступающей в i-й пропласток:

. (6.12)

С другой стороны, можно, согласно обобщенному закону Дарси, т.е. с учетом того, что фазовые проницаемости для воды и нефти соответственно составляют , ( и — постоянные относительные проницаемости), получить для расхода воды следующее выражение:

, (6.13)

где — вязкость воды.

При рассмотрении процессов вытеснения нефти водой принимают, что нефть и вода — несжимаемые жидкости. Сжимаемость пород пласта также не учитывают. Поэтому, аналогично формуле (6.12), можно написать для дебита нефти, получаемой из того же i-го пропластка, выражение

, (6.14)

где — вязкость нефти.

Из выражений (6.12) и (6.13), исключая из них давление на фронте вытеснения, получим

, (6.15)

.

Приравнивая (6.12) и (6.15), получим следующее дифференциальное уравнение относительно :

. (6.16)

Интегрируя (6.16) и учитывая, что при приходим к следующему квадратному уравнению относительно :

. (6.17)

Решая это квадратное уравнение, получаем окончательные формулы для определения в пропластке с проницаемостью в любой момент времени

;

. (6.18)

Для того чтобы получить формулу для определения времени обводнения -го пропластка с проницаемостью , положим в первой формуле (6.18) .

Тогда

. (6.19)

Из формулы (6.19) следует, что пропласток с очень с большой проницаемостью обводнится в самом начале процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта.

Рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из слоистого пласта. Для удобства сложим мысленно все пропластки этого пласта в один «штабель», причем таким образом, чтобы абсолютная проницаемость пропластков изменялась последовательно начиная с наименьшей и кончая самой высокой.

Пусть, например, в нижней части этого «штабеля» расположен пропласток с самой большой проницаемостью, а вверху – с наименьшей проницаемостью. Согласно вероятностно-статистической модели слоисто-неоднородного пласта, суммарную толщину пропластков, проницаемость самого проницаемого которых не ниже, чем некоторое значение, равное , можно установить в соответствии с формулой закона распределения проницаемости следующим образом:

, (6.20)

где — общая толщина всех пропластков в «штабеле».

Формулу (6.20) можно представить в дифференциальном виде, т. е. через плотность распределения, следующим образом:

. (6.21)

Здесь — плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости.

Вытеснение нефти водой из слоистого пласта в целом можно рассматривать и иным образом, считая, что в некоторые слои толщиной и проницаемостью поступает вода с расходом . Тогда из формул (6.17) и (6.18)

. (6.22)

С учетом (6.21) из (6.22), заменяя конечные приращения соответствующих величин их дифференциалами и опуская индекс , найдем

. (6.23)

Согласно модели поршневого вытеснения, из обводнившихся пропластков нефть не извлекается – из них поступает только вода. Обводняются, конечно, в первую очередь высокопроницаемые пропластки. В используемых в теории разработки нефтяных месторождений моделях пластов могут быть слои с бесконечно большой проницаемостью. Таким образом, к моменту времени , когда обводнятся все слои с проницаемостью , можно добывать нефть лишь из слоев с проницаемостью . В соответствии со сказанным для дебита нефти из рассматриваемого слоистого пласта на основе (6.23) получим следующее выражение:

. (6.24)

Дебит воды можно определить также с учетом указанных соображений по формуле

. (6.25)

С помощью приведенных формул можно, задаваясь последовательно значениями времени по (6.19) определять . Затем, предполагая, что плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости известна, можно определить, проинтегрировав (6.24) и (625), , и .

Приведенные выкладки и формулы пригодны, как уже было указано, для случаев, когда в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта перепад давления не изменяется. Когда же задано условие постоянства расхода закачиваемой в слоистый пласт воды, получают несколько иные соотношения для определения дебитов нефти и воды, а также перепада давления, который в данном случае будет изменяться с течением времени. Если , справедливы формулы (6.15) и (6.16), следует при этом учитывать, что перепад давления — функция времени, т.е. .

Введем функцию :

, где . (6.26)

Из формулы (6.15), если ее записать относительно дифференциалов расхода и толщины пласта , с учетом (6.26) получим

. (6.27)

Как и в случае постоянного перепада давления, при постоянном расходе закачиваемой в слоистый пласт воды к некоторому моменту времени часть слоев окажется полностью обводненной, и из них будет добываться только вода, из другой, же части будут добывать безводную нефть. Поэтому полный расход закачиваемой во всю толщу слоистого пласта воды можно определить в результате интегрирования выражения (6.27) и прибавления к правой его части интеграла, учитывающего приток воды из обводнившихся слоев. Имеем

. (6.28)

Обучающемуся предлагается следующая процедура последовательного определения . Вначале следует задаться значением проницаемости , по формуле (6.19) определить время обводнения слоя , после чего для данного вычислить . Затем определяют интегралы, входящие в формулу (6.28), и при заданном . Вычислительные операции повторяют при других меньших значениях для получения зависимости .

Дебит нефти находят по формуле:

, (6.29)

а дебит воды — по формуле:

. (6.30)

В радиальном случае при поршневом вытеснении нефти водой из отдельного слоя вместо уравнения (6.12) будем иметь

. (6.31)

Пусть в некоторый момент времени фронт вытеснения нефти водой в -м слое дошел до радиуса , где пластовое давление равно . Тогда интегрируя (6.31) от радиуса скважины до радиуса , получим

. (6.32)

В области , т.е. впереди фронта вытеснения, движется нефть с тем же расходом , так что аналогично (6.32) имеем

. (6.33)

Из (6.32) и (6.33)

; . (6.34)

Аналогично (6.12) для i-го пропластка

. (6.35)

Приравнивая правые части (6.34) и (6.35) и опуская индекс , получим

.(6.36)

Обозначим и проинтегрируем (6.36) при Тогда

. (6.37)

Теперь можно найти время , соответствующее началу обводнения пропластка с абсолютной проницаемостью . Полагая , получим

. (6.38)

Из формулы (6.34)

. (6.39)

Интегрируя (6.39), как и для прямолинейного случая, при имеем

; (6.40)

. (6.41)

Для вычисления интеграла (6.40) в подынтегральное выражение следует подставить из формулы (6.37). Поэтому в общем случае необходимо определять, по-видимому, численным путем с использованием ЭВМ. Однако, как и в прямолинейном случае, при вычисления упрощаются. Выражение (6.40) превращается в следующую формулу:

. (6.42)

Необходимо задаваться величиной , определять момент обводнения слоя с проницаемостью по формуле (6.38) и в соответствии с известным вероятностно-статистическим законом распределения абсолютной проницаемости определять и .

 

6.3. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗРАБОТКИ ОДНОРОДНОГО ПЛАСТА НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ НЕПОРШНЕВОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ

 

Все известные методики расчета процесса разработки нефтяных месторождений с учетом непоршневого характера вытеснения нефти водой основаны на теории совместной фильтрации неоднородных жидкостей. Поясним ее вначале на примере вытеснения нефти водой из прямолинейного однородного пласта. Этот пример соответствует случаю вытеснения нефти водой из элемента однорядной схемы расположения скважин, происходящему в сечениях элемента, находящихся на значительном удалении от самих скважин, где характер движения вытесняемой и вытесняющей жидкостей близок к прямолинейному.

 

Рисунок 40 — Схема элемента пласта при непоршневом вытеснении нефти водой

 

Рассматривая непоршневое вытеснение нефти водой в прямолинейном пласте, выделим элемент длиной , высотой и шириной b в направлении, перпендикулярном к плоскости (рисунок 40). В общем случае слева в элемент пласта поступают, а справа вытекают нефть и вода. При этом расход воды слева равен , а справа .

Количество накопленной воды в элементе пласта составляет

— скорость фильтрации воды; — водонасыщенность пласта; — время). Согласно закону сохранения массы вещества, разность между скоростями входящей в элемент пласта воды и выходящей из него равна скорости накопления объема воды в элементе пласта. Выражая сказанное в математической форме, получим

.

После сокращения соответствующих членов при устремлении имеем

. (6.43)

Поскольку в пористой среде содержатся только нефть и вода, то насыщенность пористой среды нефтью . Рассматривая аналогично предыдущему скорости проникновения нефти в элемент пласта и выхода из него, получим

. (6.44)

Складывая уравнения (6.43) и (6.44), имеем

; . (6.45)

Таким образом, суммарная скорость фильтрации нефти и воды не изменяется по координате , что и следовало ожидать, так как нефть и воду принимают за несжимаемые жидкости.

Следовательно, режим пласта жесткий водонапорный.

Скорости фильтрации воды и нефти подчиняются обобщенному закону Дарси, так что

; , (6.46)

где и , и — относительные проницаемости, зависящие от водонасыщенности и вязкости воды и нефти.

Рассмотрим функцию , называемую функцией Бакли-Леверетта. При этом

, (6.47)

или

. (6.48)

Из (6.48), дифференцируя по , получим

. (6.49)

После подстановки (6.49) в (6.43) получим одно дифференциальное уравнение первого порядка для определения , т.е.

. (6.50)

По мере вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта фронт вытесняющей нефть воды продвигается к концу пласта и водонасыщенность в каждом сечении заводненной области непрерывно увеличивается. Процесс вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта можно представить и иным образом, следя за изменением по пласту некоторой водонасыщенности. Если, например, в какой-то момент времени в некотором сечении пласта водонасыщенность составляла , то спустя определенное время эта водонасыщенность будет и в конце пласта, так как нефть постепенно извлекается из него и ее место занимает вода. Для указанного можно принять

или

. (6.51)

Сравним (6.50) и (6.51). Они будут идентичными, если положить

. (6.52)

Умножим и разделим (6.52) на и проинтегрируем, получим

; . (6.53)

Обозначим

, (6.54)

тогда

. (6.55)

Задавая в формуле (6.55), можно определить расстояние от входа в пласт для данного значения водонасыщенности. Однако в период безводной эксплуатации закачиваемая вода еще не достигает конца пласта. Чтобы установить положение фронта вытеснения нефти водой и водонасыщенность на фронте вытеснения, рассмотрим материальный баланс закачанной в пласт воды. Если к моменту времени в пласт закачан объем воды, равный , длина фронта вытеснения составит , насыщенность пласта связанной водой , то

. (6.56)

Введем следующие обозначения:

; ; . (6.57)

Тогда, подставляя (6.57) в (6.56), получим

. (6.58)

Поскольку , то

.

Следовательно, из (6.58)

. (6.59)

В выражении (6.59) принято, что при и , т.е. на входе в пласт, мгновенно устанавливается водонасыщенность , при которой , а на фронте вытеснения значение ее в течение всего процесса составит .

Выполним интегрирование в левой части (6.59) по частям. Имеем

. (6.60)

В соответствии со сказанным водонасыщенность устанавливается в сечении . Следовательно, , поэтому и второй член в формуле (6.60) равен нулю. Далее, поскольку то, согласно формуле (6.47), . Таким образом, из (6.59) и (6.60) получим

,

откуда

. (6.61)

На рисунке 42 приведен график, построенный с учетом кривых относительных проницаемостей, данных на рисунке 41, при .

По кривой можно найти значение , графическим путем. В самом деле, согласно рис. 41

.

Проведя касательную к кривой из точки , по точке касания (см. рисунок 41) определяем и .

Для того же, чтобы найти распределение водонасыщенности по длине пласта, необходимо построить кривую (рисунок 42). Это можно сделать методом графического дифференцирования кривой или, представив кривые относительных проницаемостей аналитически, выполнить дифференцирование аналитическим путем, сделав соответствующее построение.

 

Рисунок 41 — График зависимости от

Рисунок 41 — График зависимости от

 

Определим теперь длительность безводного периода добычи нефти, т.е. момент времени , когда фронт вытеснения достигнет конца пласта и, следовательно, будет равен . Будем считать, что к этому моменту времени в пласт закачано воды. Имеем из (6.57)

. (6.62)

Из (6.62) определим и, следовательно, . Величина равна объему пор пласта. Так как режим жесткий водонапорный, объем закачанной в пласт воды к моменту времени равен объему добытой из пласта нефти к этому же моменту времени, т.е. . Безводная нефтеотдача , где — коэффициент вытеснения нефти водой, достигнутый в безводный период. Поэтому

. (6.63)

Заметим, что распределение водонасыщенности в пласте изменяется по мере продвижения в глубь пласта фронта вытеснения нефти водой таким образом, что значения на фронте вытеснения и на входе в пласт остаются неизменными. Таким образом, кривая распределения водонасыщенности как бы «растягивается», оставаясь подобной себе. Такое распределение некоторого параметра, будь то водонасыщенность или какой-либо другой параметр, называется автомодельным. Соответствующие решения задач также именуются автомодельными.

Полученные формулы позволяют рассчитать распределение водонасыщенности к моменту подхода воды к линии добывающих скважин, т.е. в безводный период разработки пласта.

Однако добыча нефти из пласта продолжается и после прорыва фронта вытеснения к концу пласта при .

 

Рисунок 43 — Схема вытеснения нефти водой из прямолинейного пласта в водный период разработки.

Распределение водонасыщенности: 1 — истинное; 2 — фиктивное

 

Для определения текущей нефтеотдачи и обводненности продукции при , т.е. в водный период разработки пласта поступим следующим образом. Будем считать, что продвижение фронта вытеснения происходит и в водный период разработки пласта, но этот фронт распространяется вправо за пределы пласта (рисунок 43). Водонасыщенность на таком фиктивном фронте вытеснения и в этом случае остается постоянной, равной , а водонасыщенность при уже составит