 |
Простые и сложные проценты
|
|
|
|
Давая деньги в долг, кредитор упускает возможность использовать их до момента возврата, поэтому заемщик выплачивает компенсацию за упущенную возможность альтернативного вложения денежных средств, которая обычно выражается в форме процента. Процент начисляется на основную сумму вклада (займа) по установленной процентной ставке с определенной периодичностью, например, раз в месяц, квартал, раз полугодие или ежегодно.
Существует два способа начисления процентных выплат: начисление по схеме простого процента и начисление по схеме сложного процента.
Рассмотрим вложение 1 000 рублей на банковский вклад сроком на 3 года при ставке 10% годовых.
По прошествии каждого года вкладчик получает процентный доход по вкладу в размере 10% от суммы вклада. Результаты вложения приведены в таблице.
За 3 года инвестор получил 100 рублей по окончании первого года, 100 рублей по окончании второго года и 100 рублей по окончании третьего года. В результате в течение всего срока вклада получено 300 рублей процентных платежей. С учетом первоначальной суммы 1000 рублей сумма по вкладу составит 1 300 рублей по окончании 3-х лет.
| Период вложения | Доход за период при процентной ставке 10% годовых | Сумма на счете на конец периода | Снято со счета по прошествии периода | Остаток на счете на конец периода |
| 1 год | 1 100 | 1 000 | ||
| 2 год | 1 100 | 1 000 | ||
| 3 год | 1 100 | 1 000 |
Таким образом простой процент начисляется на одну и ту же первоначальную сумму вклада, т. е. процентные платежи, периодически начисляемые заемщиком, тут же изымаются кредитором, т. е. не реинвестируются
Рассмотрим вложение 1000 рублей на банковский депозит сроком на 3 года при ставке 10% годовых при условии, что владелец НЕ снимает в конце каждого года полученные в качестве процентного дохода 100 руб., а оставляет их на счете.
|
|
|
| Период вложения | Сумма на начало периода | Доход за период | Снято со счета по прошествии периода | Остаток на счете на конец периода |
| 1 год | 1 000 | 1 100 | ||
| 2 год | ||||
| 3 год | 1 331 |
Сумма процентных платежей составит в данном случае 331 рубль. По окончании трех лет сумма вклада с учетом процентных платежей составит 1 331 рубль.
Таким образом, результаты инвестирования по схеме сложного процента превосходят результаты инвестирования по схеме простого процента на 31 рубль.
Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы на счете на начало очередного периода, включающей накопленный доход. Поскольку доход от вклада, периодически начисляемый заемщиком, не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа, естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, поэтому кредитор получает большее вознаграждение.
При инвестировании свободных средств в различные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду от своих вложений. Исходя из предположения абсолютной надежности всех способов инвестирования для того, чтобы выбрать наиболее выгодный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могут поступать в разное время, таким образом, разные способы инвестирования приводят к разным графикам получения денег.
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени. Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем. Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием или вычислением настоящей (present value) стоимости (текущей, современной стоимости). Вычисление будущей стоимости (future value), т. е. стоимости к фиксированному моменту в будущем называется наращением.
|
|
|
Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме простого процента
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость следующим образом:
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения),
г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n— число периодов начисления.
Выражение 
носит название коэффициента наращения.
Вычисление настоящей стоимости или дисконтирование осуществляется по следующей формуле:
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость (первоначальная сумма вклада, вложения),
г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n — число периодов начисления.
Выражение 
носит название коэффициента дисконтирования.
Зная настоящую и будущую стоимость, нетрудно вычислить процентную ставку в периоде начисления.
Расчет настоящей, будущей стоимости и ставки процента при начислении процентных платежей по схеме сложного процента
Вернемся к начислению сложного процента, в большей степени присущего природе банковских операций по начислению процентов по депозитным вкладам.
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость по следующей формуле:
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость,
г —. ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n — число периодов начисления.
Выражение (1 + г)" называется коэффициентом наращения.
В случае одного периода (n = 1) формулы расчета будущей стоимости по схеме простого и сложного процента совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и условия заимствования фактически совпадают:
Дисконтирование — это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, какую величину составляет в момент расчета известная в будущем стоимость денег. Мы находим текущую стоимость по следующей формуле:
FV — будущая стоимость,
PV — текущая стоимость,
г — ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
|
|
|
n — число периодов начисления.
Выражение 
называется коэффициентом дисконтирования. Очевидно, он равен величине, обратной величине коэффициента наращения. Рассмотрим конкретные примеры вычислений.
Зная настоящую и будущую стоимость можно найти процентную ставку, используя следующую формулу:
.
Эффективная годовая процентная ставка
Многообразие форм кредитования и инвестирования обуславливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Предположим, банк А предлагает 15,5 % ежеквартально, а банк Б 15,2 % ежемесячно. Что выгоднее? Для того чтобы ответить на этот и подобные вопросы, вводится вспомогательное понятие – эффективная процентная ставка.
Эффективная годовая процентная ставка – это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что и сложные проценты с начислением m раз в году.
.
А = 16,4244 %,
Б = 16,3049 %.
Таким образом, 15,5 % ежеквартально дает больший годовой доход, чем 15,2 % ежемесячно.
Задача 1
Вкладчик положил в банк 1 500 000 руб. Банк выплачивает 14% в год. Какая сумма будет на счете у вкладчика через полтора года?
Задача 2
По окончании 2-го года на счете клиента банка находится сумма 13 500 200руб. Начисление процентов в банке происходило по схеме простого процента в конце каждого квартала по ставке 16% годовых. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.
Задача 3
Вкладчик положил в банк 200 000 руб. в начале 2005 г. Банк начислял простые проценты. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку банка, если в начале 2007 г. на счете вкладчика было 500 000 руб.
Задача 4
Вкладчик положил в банк 100 000 руб. в начале 2007 г. Банк выплачивал следующие простые процентные ставки: 2007г. — 16 % годовых; 2008г. — 15 % годовых; 2009 г. — 17 % годовых. В предположении, что вкладчик не снимал процентные платежи со своего счета, определите, какая сумма будет на его счете в начале 2009 г.
Задача 5
Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале 2007 г. Банк начислял с периодичностью раз в полгода следующие простые процентные ставки: 2007 г. — 18 % годовых; 2008 г. — 14 % годовых; 2009 г. — 16 % годовых. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите, какую сумму он положил в банк, если на его счете в середине 2009 г. было 550 000 руб.
|
|
|
Задача 6
Вкладчик положил в банк некоторую сумму в начале года. Банк начисляя простые проценты, причем за второй год в полтора раза выше, чем за первый, а за третий — в размере 80% от второго. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета, определите процентную ставку за первый год, если в начале четвертого года на счете вкладчика была сумма, в 3 раза превышающая первоначальную.
Задача 7
Вкладчик положил в банк 200 000руб. в начале года. Банк начислял простые проценты в размере 140 % от ставки рефинансирования ЦБ РФ в течение следующего года, 110% от этой ставки в течение второго года и 90% в течение третьего года. В предположении, что вкладчик не снимал денег со своего счета и ставка рефинансирования не менялась в течение трех лет, определите ставку рефинансирования ЦБ РФ, если в начале третьего года на счете вкладчика было 225 300руб.
Задача 8
Вкладчик положил в банк 250 000 руб. Банк выплачивает 12 % годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года..
Задача 9
Банк выплачивает 12% годовых. Проценты сложные. Какую сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года у него было не менее 1 600 000 руб.
Задача 10
Вкладчик положил в банк 105 300 руб. Банк выплачивает сложные проценты за первый год в размере 15 %, а за второй год — в размере 17 % годовых. Какая сумма будет на счете у вкладчика через два года?
Задача 11
Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год на 20% выше, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через 2 года его вклад был не менее 800 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 14% годовых.
Задача 12
Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 109 580 руб. Какую минимальную процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы вкладчик через два года имел на счете 150 000 руб.
Задача 13
Банк выплачивает сложные проценты. Какую процентную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы вкладчик утроил свои средстваp за 2 года
Задача 14
Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 15 000 руб. Сколько лет потребуется вкладчику для того, чтобы его вклад достиг 21 600руб., если банк выплачивает 20% годовых.
Задача 15
Банк начисляет сложные проценты раз в месяц. Месячная ставка равна одному проценту. Во сколько раз отличается годовая процентная ставка, исчисленная по ставке сложного процента, от годовой процентной ставки, исчисленной по простой процентной ставке.
|
|
|
Задача 16
Инвестор разместил на депозит в банке 1 000 000 руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 15% годовых раз в год. По истечении 1-го и 2-го годов инвестор снимал проценты по вкладу наличными, а потом уехал за границу в командировку на 3 года и оставшиеся проценты получил только при закрытии банковского счета. Какую сумму процентных платежей получил инвестор суммарно.
Задача 17
Инвестор имеет 1 000 000 руб. вначале 2008 г. Он хочет разместить их с целью получения дохода, так чтобы в начале 2014 г. у него было не менее 3 000 000 руб. для покупки квартиры. Банк А предлагает вклад с начислением 15% раз в полгода. Банк Б предлагает вклад под 18% годовых с начислением процентов раз в год. В каком из банков следует разместить свои средства инвестору при прочих равных условиях.
Задача 18
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти годовую процентную ставку с учетом реинвестирования полученного дохода.
Задача 19
По банковскому вкладу ежеквартально начисляются процентные платежи. Найти процентную ставку за квартал, если условия вклада обеспечивают сумму 1 170руб. на каждую вложенную 1 000 руб.
Задача 20
Вам встречается два рекламных объявления. Один банк предлагает 18 % ежеквартально, а другой 17,5 % ежемесячно. Что выгоднее?
Практическое занятие 4
|
|
|
