 |
Обработка результатов прямого измерения
|
|
|
|
Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений:
1. Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).
2. Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х1, х2... хi... хn по формуле:
(7)
3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):
а затем среднюю абсолютную погрешность:
(8)
4. Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.
5. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.
Окончательный результат можно представить в виде: 
Это 
означает, что истинное значение лежит в интервале 
¸ 
.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность проведенных измерений. Например, абсолютная ошибка в 1 мм при измерении отрезков длиной 5 м и 5 мм в относительных единицах будет существенно разной. Поэтому кроме абсолютной ошибки используют и относительную погрешность
, (9)
В этом виде ε это безразмерная величина. Часто её выражают в процентах. Тогда вместо (9) запишем
(10)
В приведенном примере относительные ошибки составят 0,1% и 20%. Это, безусловно, большое различие, хотя абсолютная ошибка одинакова. Относительная ошибка дает больше информации о точности и позволяет сравнивать погрешности измерений разных величин.
|
|
|
Отработка результатов косвенных измерений
Метод частных производных
Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин xl, x2, x3 и т.д., так что
у = ƒ(xl, x2, x3...) (11)
причем величины xl, x2, x3... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин 
и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (xl, x2, x3...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем 
, а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как 
Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (11) наилучших (средних) значений
(12)
Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины
(13)
где 
– обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях 
и т.д.
От бесконечно малых изменений величин у, xl, x2, x3... в (13) перейдем к конечным значениям их изменений
(14)
где ∆y - искомая полная погрешность величины 
- значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин.
- полные погрешности определения величин.
Под частной производной функции ƒ(x, y, z) по переменной X понимают величину:
(15)
т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть 
. Тогда
После вычисления абсолютной ошибки ∆у по формуле (12) находят относительную ошибку как
|
|
|
(16)
Этот способ удобен в том случае, когда 
представляет собой алгебраическую сумму.
|
|
|
