 |
Общее уравнение кривой второго порядка
|
|
|
|
Мы говорили, что алгебраическая кривая второго порядка определяется алгебраическим уравнением второго степени относительно х и у. В общем виде такое уравнение записывается так
А х 2 + В ху + С у 2 +D x + E y + F = 0, (6)
причем А2 + В2 + С2 ¹ 0 (т.е. одновременно числа А, В, С в ноль не обращаются). Слагаемые А х 2, В ху, С у 2 называются старшими членами уравнения, число
d = 
называется дискриминантом этого уравнения. Уравнение (6) называется общим уравнением кривой второго порядка.
Для рассмотренных ранее кривых имеем:
Эллипс: 
Þ А = 
, В = 0, С = 
, D = Е = 0, F = –1,
d = . >0;
окружность х 2 + у 2 = а 2 Þ А = С = 1, В = D = Е = 0, F = – а 2, d = 1>0;
Гипербола: 
Þ А = , В = 0, С = – , D = Е = 0, F = –1,
d = – . < 0.
Парабола: у 2 = 2 рх Þ А = В = 0, С=1, D = –2 р, Е = F = 0, d = 0,
х 2 = 2 ру Þ А = 1В = С= D = 0, Е = –2 р, F = 0, d = 0.
Кривые, заданные уравнением (6), называются центральными кривыми, если d¹0. Если d> 0, то кривая эллиптического типа, если d<0, то кривая гиперболического типа. Кривые, для которых d = 0 являются кривыми параболического типа.
Доказано, что линия второго порядка в любой декартовой системе координат задается алгебраическим уравнением второго порядка. Только в одной системе уравнение имеет сложный вид (например, (6)), а в другой – более простой, например, (5). Поэтому удобно рассматривать такую систему координат, в которой изучаемая кривая записывается наиболее простым (например, каноническим) уравнением. Переход от одной системы координат, в которой кривая задается уравнением вида (6) к другой, где ее уравнение имеет более простой вид, называется преобразованием координат.
Рассмотрим основные виды преобразований координат.
I. Преобразование переноса координатных осей (с сохранением направления). Пусть в исходной системе координат ХОУ точка М имеет координаты (х, у), а в новой системе координат ХО¢У она имеет координаты (х ¢, у ¢). Из чертежа видно, что координаты точки М в разных системах связаны соотношениями
|
|
|
(7), или 
(8).
Формулы (7) и (8) называются формулами преобразования координат.
II. Преобразование поворота координатных осей на угол a. Если в исходной системе координат ХОУ точка М имеет координаты (х, у), а в новой системе координат ХО¢У она имеет координаты (х ¢, у ¢). То связь между этими координатами выражается формулами
, (9)
или
С помощью преобразования координат уравнение (6) можно привести к одному из следующих канонических уравнений.
1) – эллипс,
2) – гипербола,
3) у 2 = 2 рх, х 2 = 2 ру – парабола
4) а 2 х 2 – b 2 y 2 = 0 – пара пересекающихся прямых (рис. а)
5) y 2 – a 2 = 0 – пара параллельных прямых (рис. б)
6) x 2 – a 2 = 0 – пара параллельных прямых (рис. в)
7) y 2 = 0 – совпадающие прямые (ось ОХ)
8) x 2 = 0 – совпадающие прямые (ось ОУ)
9) а 2 х 2 + b 2 y 2 = 0 – точка (0, 0)
10) 
мнимый эллипс
11) y 2 + a 2 = 0– пара мнимых прямых
12) x 2 + a 2 = 0 пара мнимых прямых.
Каждое из этих уравнений является уравнением линии второго порядка. Линии, определяемые уравнениями 4 – 12, называют вырожденными кривыми второго порядка.
 | |||
 | |||
Рассмотрим примеры преобразования общего уравнения кривой к каноническому виду.
1) 9 х 2 + 4 у 2 – 54 х + 8 у + 49 = 0 Þ (9 х 2 – 54 х) + (4 у 2+ 8 у) + 49 = 0 Þ
9(х 2 – 6 х + 9) + 4(у 2 + 2 у + 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9(х –3)2 + 4(у + 1) = 36, Þ
.
Положим х ¢ = х – 3, у ¢ = у + 1, получим каноническое уравнение эллипса 
. Равенства х ¢ = х – 3, у ¢ = у + 1 определяют преобразование переноса системы координат в точку (3, –1). Построив старую и новую системы координат, нетрудно изобразить данный эллипс.
2) 3 у 2 +4 х – 12 у +8 = 0. Преобразуем:
(3 у 2– 12 у)+ 4 х +8 = 0
3(у 2 – 4 у +4) – 12 + 4 х +8 = 0
3(у – 2)2 + 4(х –1) = 0
(у – 2)2 = – 
(х – 1).
|
|
|
Положим х ¢ = х – 1, у ¢ = у – 2, получим уравнение параболы у ¢2 = – х ¢. Выбранная замена соответствует переносу системы координат в точку О¢(1,2).
Чтобы построить параболу, достаточно определить дополнительно хотя бы одну ее точку (либо относительно новой, либо относительно старой системы координат) положим х ¢ = –3, получим у ¢ = ± 2, т.е. нашли 
целых две точки: (–3, 2) и (–3, –2) в новой системе координат.
По этим точкам и вершине, которая находится в новом начале координат О¢, можно изобразить параболу.
3) 
4 х 2 – у 2 + 8 х + 6 у – 5 = 0 Þ
4 х 2+ 8 х – у 2+ 6 у – 5 = 0,
4(х 2+ 2 х +1) –(у 2– 6 у +9)–4 +9 – 5 = 0,
4(х +1)2 –(у +3)2 = 0.
Замена х ¢ = х +1, у ¢ = у – 3 приводит к уравнению 4 х ¢2 – у ¢2 = 0 – это пара пересекающихся прямых в системе координат Х¢О¢У¢, где О¢(–1, 3). Уравнения прямых в этой системе координат можно записать в виде
у ¢ = ±2 х ¢
и легко построить.
4) 
х 2 + 2 ху + у 2 – 4 = 0 Þ (х 2 + 2 ху + у 2) – 4 = 0,
(х + у)2 – 4 = 0 Þ (х + у –2)(х + у +2) = 0,
х + у –2 = 0 и х + у +2 = 0
– две прямые, их легко построить в системе координат ХОУ. Нетрудно построить систему координат, в которой уравнения этих прямых будут заданы в виде х ¢ 2– а 2 = 0, или в виде
у ¢ 2– а 2 = 0.
|
|
|
