 |
Производная и дифференциал
|
|
|
|
Пусть функция 
определена на промежутке 
и 
.
Определение 1. Если существует предел 
, то он называется производной функции 
в точке 
и обозначается 
или 
.
Операция нахождения (вычисления) производной называется дифференцированием.
Итак
. (1)
Если обозначить 
, то 
называется приращением аргумента, 
- приращением функции.
Теперь (1) можно записать в виде
.
Пример. Найти производную функции 
по определению.
Решение. 
.
Если существуют левый и правый пределы в точке 
, т.е.
,
,
то их называют левой и правой производной в точке 
и обозначают 
и 
.
Ясно, что если существуют левая и правая производные в точке 
, причем 
, то и 
= 
. Однако, если они не равны, то производная не существует.
Пример. Найти производную функции 
в точке 
.
Решение. 
= 
имеет 
, поэтому 
не существует.
Определение 2. Функция 
называется дифференцируемой в точке 
если она имеет в производную в этой точке. Функция определенная на множестве 
и дифференцируемая в каждой точке 
называется дифференцируемой на множестве 
.
Пусть 
дифференцируема в точке 
, тогда из формулы (1) ясно, что
.
Следовательно, в некоторой окрестности этой точки можно записать:
.
Тогда 
, или
,
или
. (2)
Теорема 1. Всякая дифференцируемая в точке 
функция, непрерывна в этой точке.
□ Из (2) следует что
.
и, по определению непрерывности, теорема доказана. ■
По теореме, из дифференцируемости следует непрерывность, но не наоборот. Например, 
непрерывна в точке 
, но производной 
не существует.
Пусть функция 
дифференцируема в точке 
, т.е. существует предел 
. Тогда, как было показано, можно записать:
.
Здесь можно считать, что 
есть функция относительно 
.
Определение 3. Выражение 
, линейное относительно переменной 
, называется дифференциалом (первым дифференциалом) функции 
в точке 
и обозначается 
или 
:
|
|
|
, 
. (3)
Поскольку если 
, то производную часто обозначают следующим образом:
.
Формулу (3) можно записать 
или 
. Т.о. разность 
есть бесконечная малая более высокого порядка чем 
, т.е. дифференциал есть главная линейная часть приращения функции 
.
Т.к. при 
, имеет место приближенная формула 
, то 
. Эта формула используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно 
.
Пусть функция 
дифференцируема в точке 
, т.е. 
. На графике функции (рис.1) возьмем фиксированную точку 
и зададим приращение 
в точке , т.е. рассмотрим текущую точку 
, где 
.
| y |
|
| M(x,y) |
| A |
 )
|
|
| α |
| φ |
| y=f(x,y) |
| O |
|
|
| x |
Рис. 1.
Обозначим 
= 
- угловой коэффициент секущей 
.
Если 
, то точка 
и 
. Ясно, что
,
где 
угол наклона касательной, т.е. предельного положения секущей, к положительному направлению оси 
, проведенной в точке . С другой стороны
.
Откуда, следовательно, угловой коэффициент касательной прямой 
равен значению производной 
в этой точке. В этом состоит геометрический смысл производной. Запишем уравнение касательной, воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом:
.
Тогда уравнение касательной прямой будет иметь вид:
(4)
Замечание. Если 
непрерывна в точке 
и 
, то говорят, что 
имеет в точке 
бесконечную производную и пишут 
. В этом случае предельное положение секущей определяется уравнением 
. Т.е. касательная параллельна оси 
.
Рассмотрим физический смысл производной. Пусть точка движется прямолинейно вдоль оси 
и 
- её координата в момент времени 
. Тогда 
её путь, пройденный за отрезок 
. Отношение 
есть средняя скорость точки за время 
с момента 
до момента 
. Тогда предел (если он существует)
называется мгновенной скоростью точки в момент времени 
и производная 
есть мгновенная скорость точки v(t) в момент времени 
.
|
|
|
4.2. Правила дифференцирования.
Теорема 2 ( дифференцирование суммы, произведения и частного). Пусть функции 
и 
определены на промежутке X и дифференцируемы в точке 
. Тогда в этой точке дифференцируемы функции
; 
; 
; 
(
)
и имеют место формулы:
;
;
;
.
□ Докажем последнюю формулу (остальные самостоятельно). Пусть 
. Тогда
Перейдем к пределу, при 
. В силу непрерывности 
, а также в силу дифференцируемости: 
и 
Откуда следует доказываемая формула. ■
Замечание. Очевидно, что из определения 3 и теоремы 2 следуют аналогичные свойства для дифференциала:
; 
; 
).
Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
и дифференцируема в точке 
, а функция 
определена в точке 
и дифференцируема в точке, причем 
. Тогда сложная функция 
дифференцируема в точке 
, причем справедлива формула:
или
□ В силу дифференцируемости функции 
в точке 
имеет место равенство (2):
. (5)
Т.к. 
дифференцируема в точке 
, то можно записать:
, (6)
где 
- бесконечно малая при 
.
Если 
(положить равной), то 
будет непрерывной в точке 
. Положим в (6) 
и 
. Тогда, в силу (5) и (6), имеем
.
При 
будет
.
Переходя к пределу при 
в силу непрерывности 
, при 
получим 
. ■
Пример. Найти производную функции 
.
Обозначим 
, 
, тогда 
и по формуле имеем 
.
Рассмотрим сложную функцию 
, для которой выполняются все условия теоремы о дифференцировании сложной функции. Тогда, с одной стороны, если 
- независимая переменная, то
.
Но с другой стороны, если 
,то
.
Таким образом., дифференциал функции 
имеет один и тот же вид независимо является ли u независимой переменной или функцией какой-либо другой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.
Теорема 4 ( дифференцирование обратной функции). Пусть 
строго монотонна и непрерывная на промежутке 
функция, дифференцируемая в точке 
, причем 
. Тогда обратная функция 
дифференцируема в точке 
, причем 
. (7)
□ По теореме о непрерывности обратной функции, 
непрерывна на промежутке 
. Поэтому 
при 
. Т.к. 
и 
, то по определению производной имеют место равенства:
. ■
|
|
|
Пусть на промежутке 
переменной 
заданы две функции
, 
, (8)
причем существует обратная функция 
на 
. Тогда следующая сложная функция 
, определенная на 
, называется параметрически заданной равенствами (8). Примерами функций, заданных параметрически являются следующие функции:
1) 
- окружность;
2) 
- эллипс;
3) 
- астроида.
Теорема 5 ( дифференцирование параметрически заданной функции). Пусть строго монотонная и непрерывная на промежутке T функция 
, дифференцируема в точке 
, причем 
, а функция 
определена на промежутке 
и дифференцируема в точке 
. Тогда сложная функция 
дифференцируема в точке 
, и справедливо равенство:
(
). (9)
В силу теоремы 4 обратная функция 
дифференцируема в точке 
и 
, а по теореме 3 функция 
дифференцируема и производная равна:
. ■
Пример. Вычислить производную по x функции, заданной параметрическими уравнениями: 
, 
|
|
|
