Теоремы о дифференцируемых функциях.
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Теорема 6 ( Ролль). Пусть функция □ Если непрерывна на Если
Поскольку функция дифференцируемая, то
Это возможно, только если Геометрическая интерпретация теоремы: если на отрезке Замечания. 1. Если 2. Если не выполняется одно из требований теоремы Ролля, то утверждение теоремы может оказаться неверным. Об этом свидетельствуют следующие примеры. Примеры. 1) 2) Функция непрерывна, но не дифференцируема на отрезке 3) Теорема 7 (Лагранж). Если функция
□ Рассмотрим на отрезке
Для нее выполняются все условия теоремы Ролля:
Геометрическая интерпретация: из(11)
Поскольку Замечание. Запишем формулу Лагранжа на отрезке Пусть
Формула(12) есть формула определения приращения функции через приращение аргумента. Поэтому формула (12) называется формулой конечных приращений. Следствие 1. Если функция дифференцируема на промежутке □ Пусть Следствие 2. Если функция □ Пусть существует
Следовательно, если существует предел слева и справа равный Теорема 8 (Коши). Если функции
□ Ясно, что
Для неё выполняются все условия теоремы Ролля (проверить). Тогда для
Откуда следует формула (13). ■ Заметим, что формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши при 4.6. Контрольные вопросы 1. Дайте определение производной функции 2. Каков геометрический смысл производной функции 3. Дайте определение касательной к графику функции 4. Каков физический смысл производной функции 5. Дайте определение правой (левой) производной функции 6. Дайте определение дифференцируемости функции в точке 7. Какова связь между понятиями дифференцируемости функции в точке и производной функции в этой точке? Докажите соответствующую теорему. 8. Какова связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции в точке? Приведите пример функции, непрерывной в точке, но не дифференцируемой в этой точке. 9. Может ли функция, имеющая производную в точке, быть непрерывной в этой точке? 10. Дайте определение дифференциала функции в точке 11. Почему в определении дифференциала выражение 12. Каков геометрический смысл дифференциала? 13. Докажите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. 14. Что можно сказать, если выполнены все условия теоремы о правилах дифференцирования, кроме условия 15. Почему при доказательстве правил дифференцирования произведения и частного 16. Сформулируйте теорему о производной обратной функции. 17. Что можно сказать о производной обратной функции, если 18. Каков геометрический смысл теоремы о производной обратной функции? 19. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
20. Применима ли теорема о производной сложной функции к функции 21. Что такое параметрическое задание функции? 22. При каких условиях справедлива формула для производной функции, заданной параметрически. 23. Выведите формулы для производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции. 24. Почему при выводе формулы производной логарифмической функции знаки функции и предела поменяли местами? 25. Выведите формулы производных для показательной функции и обратных тригонометрических функций. 26. Почему при выводе формулы производной для показательной функции функция 27. В чем состоит прием логарифмического дифференцирования? 28. Выведите формулу производной для степенной функции с любым вещественным показателем. 29. Почему операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций? 30. Докажите, что 31. Почему производную 32. Дайте определение второй производной функции 33. Приведите пример функции, у которой существует 34. Является ли производная 35. Дайте определение
36. Известно, что 37. Дайте определение 38. Сформулируйте теорему Ролля и раскройте ее геометрический смысл. 39. Останется ли справедливой теорема Ролля, если опустить одно из ее трех условий? Приведите соответствующие примеры. 40. Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометрический смысл. 41. Сформулируйте теорему Коши. 42. Покажите, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|