 |
Определители квадратных матриц
|
|
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Тема 1.1. Елементи теорії матриць
Матрицы. Действия над матрицами
Определение 1.1. Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая 
строк и 
столбцов.
Согласно определению, общий вид матрицы размерности представляется следующим образом:
.
Числа и называются порядками матрицы. Числа 
которые входят в матрицу, называются ее элементами. Индексы 
и 
элемента указывают соответственно на номера строки и столбца, в которых расположен элемент .
Часто матрицу записывают сокращенно в виде 
, где 
.
Определение 1.2. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Равенство матриц Сравнивить можно только матрицы одинаковой размерности
Определение 1.3. Две матрицы и 
называются равными, если они имеют одинаковые порядки, а соответствующие элементы равны между собой.
Таким образом, 
, если 
для всех значений .
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
- матрицы можно складывать (вычитать)
- матрицу можно умножить на число
- можно умножать матрицу на матрицу
Сложение и вычитание матриц
Складывать и вычитать можно только матрицы одной размерности
Определение 1.4. Суммой двух матриц 
и одних и тех же порядков и называется матрица 
тех же порядков и , элементы 
которой определяются равенством 
.
Итак, по определению
.
Из определения суммы матриц следует, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: 
;
2) сочетательным свойством: 
.
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
Умножение матрицы на число
|
|
|
Определение 1.5. Произведением матрицы 
на вещественное число 
называется матрица 
, элементы которой равны
Умножение матриц
Определение 1.6. Произведением матрицы имеющей порядки, соответственно равные и , на матрицу 
имеющей порядки соответственно равные и 
, называется матрица 
имеющая порядки соответственно и , элементы которой 
определены формулой
(1. 1)
Из приведенного определения следует, что матрицу 
можно умножить на матрицу 
тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы соответствует числу строк матрицы .
Формула (1.1) дает правило составления элементов матрицы 
, являющейся произведением матрицы на матрицу . Это правило называется правилом "строка на столбец" и может быть сформулировано следующим образом: элемент матрицы 
равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы .
Задача 1.1. Определить , если 
, 
.
Транспонирование матриц
Транспонированием матриц называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы , называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается 
. Таким образом, если 
, то 
Например, если 
, то 
Может оказаться, что квадратная матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е. 
или 
. В таком случае матрица называется симметричной.
Для операции трансформирования матриц характерны следующие свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Квадратные матрицы
Если порядки матрицы и равны, то матрица называется квадратной, а число 
является ее порядком.В случае квадратной матрицы имеют
.
Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
|
|
|
Определение 1.7. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Определение 1.8. Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной и обозначается через 
.
.
С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется определителем, соответствующим этой матрице.
Тема 1.2. Определители
Определители квадратных матриц
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка .
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы является число, которое обозначается 
или 
, или 
. В связи с отмеченным нельзя отождествлять понятие матрицы и ее определителя.
Определение 1.9. Определителем, соответствующим квадратной матрице -го порядка называется число, полученное из элементов такой матрицы по следующим правилам:
1) определитель -го порядка равен алгебраической сумме 
элементов;
2) каждый член представляет собой произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; сомножители располагаются так, чтобы первым был элемент из первой строки, вторым - элемент из второй строки и т.д.;
3) член берется со знаком плюс, если число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей четное, и со знаком минус в противном случае.
Итак, согласно определению имеем:
Суммирование здесь - распространяется на все перестановки 
, которые можно составить из чисел 
.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Итак, 
. Такой определитель в общем виде записывается следующим образом:
.
Членом такого определения будет произведение вида:
где 
- любая перестановка из чисел 1, 2. Таких перестановок две: 
. Однако, в первом случае имеют 
инверсий 
, во втором одну 
. Тогда для первого случая отмечают, что здесь четное число инверсий, во втором случае - нечетное. В связи с отмеченным имеют:
.
Словесно такое соотношение формулируется так: определитель второго порядка, соответствующий квадратной матрице второго порядка, равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной ее диагонали.
|
|
|
Рассмотрим случай, когда 
. Здесь имеют определитель вида
.
Членами определителя третьего порядка является произведение вида: 
где 
перестановки из чисел 
. Таких перестановок шесть:
Следует отметить, что первая группа перестановок имеет четное число инверсий, вторая - нечетное, в связи с чем имеют:
|
|
|
