 |
Минор и алгебраическое дополнение
|
|
|
|
Пусть 
определитель матрицы 
-го порядка.
Определение 1.10. Минором 
элемента 
определителя -го порядка 
называется определитель 
-го порядка, полученный из определителя -го порядка вычеркиванием 
-й строки и 
-го столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Алгебраическое дополнение 
элемента определителя равно минору этого элемента , умноженному на 
, т.е.
.
Например, если задан определитель третьего порядка
, то
; 
.
В то же время
; 
Рассмотрим основные свойства определителей.
Свойства определителей
Ниже приведем ряд свойств, которыми обладает определитель -го порядка.
1. Свойство равноправности строк и столбцов.
При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. 
.
2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов).
При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
3. Линейное свойство определителя.
Если в определителе -го порядка некоторая -я строка 
является линейной комбинацией двух строк 
, и 
с коэффициентами 
и 
, то
, где
- определитель, у которого -я строка равна , а все остальные такие же строки, как и у , а 
- определитель у которого -я строка равна 
, а все остальные строки те же, что и у .
Следующие пять свойств являются логическим следствием трех основных свойств.
4. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Общий множитель всех элементов строки определителя можно вынести за знак определителя.
6. Если все элементы некоторой строки определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки, то определитель равен нулю.
|
|
|
7. Если к некоторой строке определителя прибавить линейную комбинацию нескольких других его строк, то величина определителя не изменится.
8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.
9. Свойство разложения определителя по элементам строки.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки на их алгебраические дополнения:
.
10. Свойство алгебраических дополнений соседних строк.
Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки равна нулю.
Тема 1.3. Обратная матрица. Ранг матрицы
Обратная матрица
Одно из важнейших свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа 
, отличного от нуля, существует обратное 
такое, что
.
Оказывается, что нечто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия 
играет условие, состоящее в том, что определитель матрицы 
не равен нулю.
Определение 1.11. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю 
и вырожденной, если ее определитель обращается в нуль 
Определение 1.12. Матрица называется обратной по отношению к матрице , если имеет место равенство:
.
Условие существования обратной матрицы сформулируем в виде следующей теоремы:
Теорема 1.1. Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Обратная матрица вычисляется по следующим правилам:
1. Вычисляется определитель 
исходной (10.2) квадратной матрицы -го порядка.
2. Формируется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов 
исходной квадратной матрицы . Такая матрица называется союзной по отношению к матрице и обозначается 
.
Таким образом, на этом этапе имеем:
.
3. Транспонируют союзную матрицу, тем самым определяя так называемую присоединенную матрицу матрицы . Такая матрица обозначается 
и представляется следующим образом:
|
|
|
.
4. Вычисляется обратная матрица 
по отношению к матрице .
.
|
|
|
