Векторный и алгебраический момент пары сил.

Билет №1.

1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил.

 

Векторная система координат.

Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r (t) Þ задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение:

tà r (t), тогда

(t+Δt)à r (t+Δt), получаем

Δ r = r (t+Δt)- r (t) Þ

V _ср=Δ r /Δt. V =lim(Δ r /Δt)=d r /dt.

a _ср=Δ V/ Δt. a=lim(Δ v /Δt)=d V /dt= d² r (t)/dt².

Переход от векторной формы к координатной:

r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k.

Обратно:

x= r (t)× i, y= r (t)× j, z= r (t)× k.

Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)= BA × R = BA ×(F ₁+ F ₂)= BA × F ₁+ BA × F ₂. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA × F ₁=M₁, BA × F ₂=M₂, M=M₁+M₂.

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F ₁, F ₁’), (F ₂, F ₂’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q ₁, Q ₁’) и (Q ₂, Q ₂’). При этом M ₁= M (Q ₁, Q ₁’)= M (F ₁, F ₁’),

M ₂= M (Q ₂, Q ₂’)= M (F ₂, F ₂’).

Сложим силы R = Q ₁+ Q ₂, R’ = Q ₁’+ Q ₂’. Т. к. Q ₁’= - Q ₁, Q ₂’= - Q ₂ Þ R = - R ’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R, R ’). M (R, R ’)= BA × R = BA ×(Q ₁+ Q ₂)= BA × Q ₁+ BA × Q ₂= M (Q ₁, Q ₁’)+ M (Q ₂, Q ₂’)= M (F ₁, F ₁’)+ M (F ₂, F ₂’) Þ M = M ₁+ M ₂.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M ₁+ M ₂+…+ M_n =0.

Билет №2.

1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Аксиомы статики.

Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r =x i +y j +z k.

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r ׳(t) может быть вычислена по правилу

d r /dt=∂ r /∂x∙dx/dt+∂ r /∂y∙dy/dt+∂ r /∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v =v_x i +v_y j +v_z k.

V =√ (v_x²+v_y²+v_z²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А =x׳׳(t) I +y׳׳(t) j +z׳׳(t) k.

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксиомы статики.

1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

 

Билет №3.

1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=d r /dt∙dS/dS=S׳(t)∙d r /dS=S׳(t)∙ τ = =v_τ∙ τ. D r /dS= τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A =d v /dt=S׳׳(t)∙ τ +S׳(t)∙d τ /dt=S׳׳∙ τ+ ( S׳)² n /ρ. A_τ=S׳׳-тангенциальное ускорение, a_n=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((a_τ)²+(a_n)²).

Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=±F∙d (пара). M=±dF₁=±dF₂=±2S_ΔABC= ±S_ٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M = M (F, F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M (F ₁, F ₂)= BA x F ₁= AB x F ₂.

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение | F | на её плечо: M_O(F)=±Fh=±2S_ΔOAB ∙ M _O(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F.

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. | F |sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M _O(F)= r x F (r – радиус- вектор из А в О). | M _O(F)|=| F |∙| r |∙sinα=Fh.

i j k

M _O(F)= x_A y_A z_A =>

F_x F_y F_z

 

_ð M_Ox(F)=yF_z-zF_y

ð M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

 

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r = rº r, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v =d r /dt=r׳ rº +

rd rº /dt=r׳ rº +rφ׳ pº =v_r rº +v_p pº. v_p и v_r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A =d v /dt=d(r׳ rº +rφ׳ pº)/ dt=r׳׳ rº +r ׳ d rº /dt+r׳φ׳ pº +rφ׳׳ pº +rφ׳∙

d pº /dt=(r׳׳-(rφ׳)²) rº +(rφ׳׳+2r׳φ׳) pº = a_r∙ rº +a_p pº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

v_r=r׳=(xv_x+yv_y)/r,

v_p=rφ׳=(xv_y-yv_x)/r

123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: