 |
Лемма о параллельном переносе силы.
|
|
|
|
Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F ”.
| F |=| F’ |=| F” |. F ~(F, F’, F ”), т.к. (F ’, F ”) ~ 0, то
F ~ (F, F ’, F ”) ~ (F, F ’ ,F”) ~ (F ’, M (F, F ”)).
Но M (F, F ”)= BA x F = M B(F).
Получаем:
F ~ (F ’, M (F, F ”))
Ч. т. д.
Билет №16.
- Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
- Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат.
Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
V A= ω × r A. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.
i j k
V M= ω × r M= ωx ωy ωz
XM YM ZM
X/ωx=Y/ωy=Z/ωz – мгновенная ось вращения.
a A=d v /dt=d ω /dt× r A+ ω ×d r A/dt= ε × r A+ ω × v A= a Aвр+ a Aос.
a Aвр= ε × r A – вращательное ускорение точки.
a Aос= ω × v A – осестремительное ускорение точки.
Формула Ривальса: aAoc=ωvAsin(ω, v A). a вр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.
a вр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).
Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.
i j k
M O(F)= xA yA zA =>
Fx Fy Fz
ð MOx(F)=yFz-zFy
ð MOy(F)=zFx-xFz
MOz(F)=xFy-yFx
Билет №17.
- Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
- Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении.
|
|
|
Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О.
Поступательное:
X1o=f1(t); Y1o=f2(t); Z1o=f3(t).
Вращательное:
Ψ=f4(t); φ=f5(t); θ=f6(t).
Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6.
ρA = ρ о+ r Þ v A=d ρ /dt+d r /dt= v o+ ω × r.
a A=d v A/dt=d v o/dt+d ω /dt× r + ω ×d r /dt= a o+ ε × r + ω ² r = a o+ aA вр+ a Aос.
Связь между моментом относительно оси и относительно точки.
Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси.
Доказательство:
Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ
M O(F)┴(OAB). Пусть угол между M O(F) и осью z равен α. Тогда Прz M O(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => M z(F) = | M O(F)|cosα.
Ч.т.д.
Билет №18.
- Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры.
- Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил.
Сложное движение точки. Основные понятия.
Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).
Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.
Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил.
Дано: F 1 || F 2.
R = F 1+ F 2. MC(R)=MC(F 1)+MC(F 2)=0Þ
ÞF1∙CA1=F2∙CA2. Повернем F 1 и F 2 на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил.
То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R =∑ F i, R || F i (точка С принадлежит R) M O(R)=∑ M O(F i), r C× R =∑(r i× F i).
Введем единичный вектор e Þ F k=Fk∙ e Þ R =∑Fk∙ e.
|
|
|
r C×∑Fi∙ e =∑ r i×(Fi∙ e). ∑Fi r C× e =∑Fi r i× e.
(∑Fi r C-∑Fi r i)× e =0
r C=∑Fi r i/∑Fi.
Координаты центра системы параллельных сил:
XC=∑Fixi/R; YC=∑Fiyi/R;
ZC=∑Fizi/r
Билет №19.
- Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры.
- Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.
Сложное движение точки. Основные понятия.
Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).
Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.
Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.
Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r C=∑Pi r i/P.
XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P
Вес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы.
Методы определения координат центра тяжести тела.
1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.
2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то
r C=(V1 r C1+V2 r C2+…+Vn r Cn)/V
Отрицательные массы:
r C=Vспл r C-V1 r C1-…-Vn r Cn, где Vk, r Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела.
3) Интегрирование: если тело нельзя разбить)
XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V,
ZC=(∫zdV)/V
Билет №20.
- Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса.
- Лемма о параллельном переносе силы.
Сложное движение точки. Основные понятия.
Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную).
Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат.
Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи.
Опр-е ускорения точки в сложном движении
VM=VO+[ ωr]+ Vr
WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d Vr/dt
dr/dt=[ ωr]+ Vr
WM=Wo+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω Vr]+ [ ωVr]+Wr
d Vr/dt=[ ω Vr]+ Wr
Wk=2[ω Vr]
WM=WL+Wr+WK – кинематическая теорема Кариолиса
Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса
|
|
|
Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении.
Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении
Ускорение Кариолиса.
Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и Vr и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к Vr кажется видным против хода часовой стрелки.
|
|
|
