Равновесие системы сходящихся сил.

18. Условия равновесия системы сил.

Для равновесия любой системы тел необходимо и достаточно, чтобы гл. вектор этой системы и ее главный момент относительно любого центра были равны 0.

Эти условия являются необходимыми, т.к. если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил, приводится к равнодействующей (R≠0) или к паре сил (М₀≠0) и следовательно не является уравновешанной.

Одновременно условия являются и достаточными, потому что при R=0 система может приводиться только к паре сил с моментом М₀, а т.к. М₀=0, то имеет место равновесие.

19. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Если данная сис-ма сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей, относительно любого центра т.О равен сумме моментов сил, относительно того же центра.

Док-во: Пусть сис-ма сил F₁, F₂…F_n приводится к равнодействующей R, линия действия к-й проходит ч/з некоторую т.С. # Приложим в этой т. силу R’= -R, тогда сис-ма сил F₁, F₂…F_n, R’ будет находиться в равновесии и для нее должно выполняться условие М₀=0, т.е. согласно формуле M₀=∑m₀(F_K) для данных сил (включая силу R’), должно быть ∑m₀(F_K)+m₀(R’)=0, но т.к. R’= -R и обе силы направлены вдоль одной прямой, то m₀(R’)= -m₀(R). Подставляя это значение m₀(R’) в предыдущее равенство получим m₀(R)= ∑m₀(F_K) Ч.т.д. (теорема для нахождения моментов сил).

20. Плоская система сил.

21. Алгебраический момент силы.

# Алгебраический момент силы F,относительно центра т.О, равен с соответствующим знаком взятому модулю силы на ее плечо. m₀(F)= Fh

22. Алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент пары сил = взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на плечо силы.

23. Приведение плоской системы к простейшему виду.

Для плоской сис-мы тел: R_X= ∑m₀(F_KX); R_Y=∑m₀(F_KY); M₀= ∑m₀(F) Плоская сис-ма сил, не находящаяся в равновесии приводится к простейшему виду: 1) Если для данной системы сил R=0, M₀≠0, то она приводится к 1й паре сил с моментом m₀. 2) Если для данной системы сил R≠0, то она приводится к 1й силе, т.е. к равнодействующей: а) R≠0, M₀≠0 – в этом случае система приводится к равнодействующей, проходящей через центр т.О; б) M₀≠0, R≠0 – вся система заменяется равнодействующей R’=R, проходящей ч/з т.С. Положение т.С определяется: расстояние ОС=d должно удовлетворять равенству R’d=|M₀|. Знак момента относительно центра О силы R’ приложенной в т.С должен совпадать с моментом M₀. m₀(R’)=M₀

24. Равновесие плоской системы сил

Необходимое и достаточное условие равновесия любой системы даются равенствами: R=0, M₀=0 (главный вектор и главный момент равны 0)

1) основная форма условий равновесия Т.к. R=0, то его проекции тоже =0, R_x=0, R_Y=0. M₀=0 – алгебраическая величина. Т.О – любая величина в пл-ти действия сил. {∑F_KX=0; {∑F_KY=0; {∑m₀(F_K)=0 (1) Для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов, относительно любого центра, лежащего в пл-ти действия сил были=0. 2) вторая форма условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каких-нибудь центров A и В и сумма их проэкций на ось х не перпендикулярную прямой АВ были =0. {∑F_KX=0; {∑M_A(F_K)=0; {∑M_B(F_K)=0; (*) Докажем достаточность этих уравнений. Если для данной системы сил выполняется только два вторых условия: ∑M_A(F_K)=0; ∑M_B(F_K)=0 – такая сист сил может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую R, проходящую через т. А,В. Но по 1му условию ∑F_KX=0. R_Х=∑F_KX=0, т.к. ось О_Х проведена не ┴ к АВ, то последнее условие (*) может быть выполнено только когда R=0, те.е имеет место равновесие. 3) третья форма условия равновесия (ур-е трех моментов) Для равновесия плоск сист сил необх и достаточно, чтобы суммы моментов относительно любых трех моментов А, В, С были=0. {∑M_A(F_K)=0; {∑M_B(F_K)=0; {∑M_С(F_K)=0 Необходимость этих условий как и в предыдущем случае – очевидна, т.к. нарушатся начальные условия. Следует из того, что если при одновременном выполнении данная система не находилась бы в равновесии, то она должна бы приводиться к равнодействующей, проходящей через т.А,В,С, что не возможно, т.к. точки не лежат на 1й прямой. #

25. Равновесие плоской системы параллельных сил.

В случае, когда все действующие на тело силы || друг другу можно направить на ось ох ┴ силе, а ось оу || силе. Тогда проекция каждой из сил на ось х будет =0 и первое равенство (1) превратится в тождество ∑F_KX=0→ 0=0. В результате для системы параллельных сил останется только 2 условия из (1) {0=0; {∑F_KY=0; {∑M₀(F_K)=0. Вторая форма условий равновесия будет иметь вид: {∑M_A(F_K)=0; {∑M_B(F_K)=0; При этом т.А и В не должны лежать на прямой || силам. AB не ||oy.

26. Центр тяжести.

27. Центр параллельных сил

Рассмотрим 2 параллельные силы F₁ || F₂, приложенные к телу в т. А и В. R=F₁+F₂. # R - Линия действия которой параллельна слагаемым силам и проходит ч/з некоторую т.С, лежащую на прямой АВ. Определим положение т.С с помощью теоремы Вариньона. m_C®=m_C(F₁)+m_C(F₂). 0=F₁h₁+F₂h₂. F₁/F₂=h₂/h₁. В равенство входят модули сил, если силы повернуть около точек в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то получатся 2 новые силы. Для них равенство сохранится. Линия действия их равнодействующей тоже пройдет ч/з т.С. Такая точка С называется центром параллельных сил F₁ и F₂. Для системы параллельных и одинаково направленных сил, приложенных к твердому телу равнодействующая всех сил проходит всегда через одну и ту же т.С, положение которой по отношению к т. приложения сил неизменно. Т.С ч/з которую проходит линия действия равнодействующей сист при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону на 1й и тот же угол называется центром параллельных сил.

28. Координаты центра параллельных сил.

Возьмем произвольную сист коорд из осей x,y,z и точки A₁,…A_n. R=∑F_n. Пользуясь тем, что положение т.С не зависит от направления сил повернем силы возле их точек риложения так, чтобы они стали параллельны оси oz и применим к силам теорему Вариньона. R=∑F_n. Так как R – равнодействующая F₁…F_n, момент относительно оси оу = моменту относительно все сил. m_y®= ∑m_Y(F_n) { m_y(R)=R*x_C; {m_y(F₁)=F₁*x₁. R*x_C=∑F_nx_n. R*y_C=∑F_ny_n. R*z_C=∑F_nz_n. x_C=∑F_nx_n/R, y_C=∑F_ny_n/R, z_C=∑F_nz_n/R, где: R=∑F_n, где R=сумме всех сил. Эти ф-лы будут справедливы и для || сил, направленных в разные стороны, если считать, что F_n – алгебраические величины и если R≠0.

29. Центр тяжести твердого тела

Центром тяж-ти тверд тела наз-ся неизменно связанная с этим телом точка, через к-ю проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на твердое тело при любом положениитела в пр-ве. Координаты центра тяжести равны: x=∑p_ix_i/ p y=∑p_iy_i/ p z=∑p_iz_i/ p p=∑p_i, где p=сумме p_i, p_i – сила тяжести отдельной частицы твердого тела. Согласно определения центра тяжести – центр тяж=ти точка геометрическая, она может лежать вне пределов данного тела.

30. Координаты центра тяжести однородных тел.

Для однородного тела вес P_K его любой части пропорционален объему V_K этой части. P_K=j*V_K. А вес Р всего тела пропорционален объему этого тела.P=jV, где j – единица объема. В результате пользуюсь этим можно написать x_C=∑V_ix_i / V y_C=∑V_iy_i / V z_C=∑V_iz_i / V. Положение центра тяжести однородного тела зависит только от геометрической формы, а от величины j – не зависит. Если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то у нее: x_C= ∑S_ix_i / S y_C=∑S_iy_i / S. Координаты центра тяжести линии x_C=∑L_ix_i // L y_C=∑L_iy_i / L z_C=∑L_iz_i / L, L=∑L_i.

31. Способы определения координат центров тяжести.

1. Способ симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось, или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в пл-ти симметрии, на оси симметрии или в центре симметрии.

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координату центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам.

3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы. Если центры тяжести тела без выреза и с вырезом известны.

4. Интегрирование. Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центра тяжести к-х известны, то тело разбивают на произвольно малые объемы V_K, тогда координаты: x_C= 1/V , y_C=1/V z_C=1/V

5. Экспериментальный метод. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации (машина,самолет…) можно определить экспериментально. Этот метод состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его части.

32. Кинематика точки и твердого тела

Введение в кинематику. Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил. Время является скалярной величиной, непрерывно изменяющейся. В задачах кинематики t – время принимают за независимую переменную (аргумент). Все другие переменные величины – функции от времени t. t₀=0c.

Основная задача кинематики точки и тверд тела состоит в том, чтобы зная закон движения точки (тела) установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данные движения. Траектория точки – непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка, относительно данной системы отсчета. Если траектория является прямой линией, то движение – прямолинейное, иначе – криволинейное.

Задача кинематики твердого тела распадается на 2 части: 1) задание движения и кинематических характеристик движения тела в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

33. Способы задания движения точки.

1. Векторный. # Положение т.М в любой момент времени можно определить задав ее радиус-вектор, проведенный из начала координат. r=r(t), r_X=x=ix r_Y=y=jy r_Z=z=kz Введем единичные векторы r=ix+jy+kz.

2 .Координатный. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами (x,y,z), которые с течением времени при движении точки будут изменяться x=f(t), y=f(t), z=f(t). Эти уравнения представляют собой уравнения движения точки. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Если задаие движения точки происходит все время в одной и той же пл-ти, то ур-е движения примут вид:x=f(t), y=f(t) (xoy). При прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось,ее движение будет определяться одним ур-м. x=f(t). Н-р, {x=2t, {y=12t². Движение т. задано уравнениями, t₀=0, M₀(0;0), t₁=1c. M₁(2,12) t=x/2 y=3x² – траэктория движения т – парабола.

3. Естественный. Естественным способом задания движения т удобно пользоваться в тех случаях когда траектория движения заранее известна. # S=f(t) – закон движения т при его естественном способе задания движения. Пусть кривая АВ – траектория движения т. М относительно системы отсчета Oxyz. Положение т.М будет однозначно определяться криволинейной координатой S, которая равна расстоянию от Начальной точки O’ до т.М, измеренному вдоль дуги и взятому с соответствующим знаком. Т.о. чтобы задать движение естественным способом нужно знать: - траекторию движения; - начало отсчета с указанием “+” и “–“ направления отсчета; - закон движения вдоль т. S=f(t).

34. Вектор скорости точки.

Одной из основных кинематических характеристик движения т. является векторная величина, называемая – скорость точки. # Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемая радиус вектором r, а в момент времени t₁ в положении М₁, определяемое радиус вектором r₁. Тогда за промежуток времени ∆t=t₁-t, перемещение определяется вектором MM₁ – вектор перемещения точки. Отношение вектора перемещения точки соответствующему промежутку времени даст векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t (V,r) V_CP=MM₁ / ∆t=∆r / ∆t ∆r=r₁ Очевидно, что чем меньше промежуток времени ∆t, для которого вычислена V_CP, тем точнее величина v_CP будет характеризовать движение этой точки.

Скорость точки в данный момент времени – это векторная величина V,к которой стремится вектор величиной V_CP при стремлении промежутка времени к 0.

V=lim_(∆t-0)V_CP

Вектор скорости в данный момент времени равен первой производной от радиус вектора по времени. V=dr/dt=r’

Вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

35. Вектор ускорения точки.

Ускорение т. наз-ся векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени t данная т. находится в положении М и обладает скоростью V,а в момент времени t₁ и обладает скоростью V₁.

Тогда за промежуток времени ∆t=t₁-t скорость точки получит приращение ∆V. V₁ всегда направлен в сторону вогнутости траектории. # Отношение приращения вектора скорости ∆V, соответствующего промежутку ∆t определяет вектор среднего ускорения т за этот промежуток. ∆V/∆t=a_CP

Вектор среднего ускорения ↑↑ с вектором приращения скорости a_CP V_CP

Вектор ускорения в данный момент времени = 1й производной от вектора скорости или 2й производной от радиус вектора.

a= d²r / dt² =dV / dt a=r”(t)=V’(t)

Вектор ускорения в общ случае направлен в сторону вогнутости траектории.

36. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе.

Теорема: Проекция производной от вектора на ось неподвижную в данной системе отсчета равна производной от проекции дифференцируемого вектора на эту же ось.

1.Определение скорости точки. V=dr/dt r_X=x r_Y=y r_Z=z V_X=dr_X/dt V_X=x’ x=f(t) V_Y=dr_Y/dt V_Y=y’ y=f(t) V_Z=dr_Z/dt V_Z=z’ z=f(t) Проекции скорости на координатные оси равны 1й производной от соответствующих координат по времени. Зная проекции сокрости найдем и ее направление V= это значит определить углы между вектором и его проекциями cosα=V_X/V cosβ=V_Y/V cosγ=V_Z/V

2.Определение ускорения точки a_X=d²r_X / dt² =dV_X /dt a_X=x”=V_X’ a_Y=d²r_Y / dt² =dV_Y /dt a_Y=y”=V_Y’ a_Z=d²r_Z / dt² =dV_Z /dt a_Z=z”=V_Z’

Проекции ускорения т на координатные оси равны первым производным от проекции скорости или 2м производным от соответствующих координат по времени. a= cosα=a_X/a cosβ=a_Y/a cosγ=a_Z/a

Касательное и нормальное ускорение точки Ускорение точки= геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и наз-ся касательным (тангенсальным) ускорением точки.

a=a_n+a_τ a_τ=d²S/dt²=dV/dt a_n=V²/R, R – радиус кривизны траектории в конкретный момент времени #

Проекция ускорения на касательную (тангенсальную) равна первой производной от числового значения скорости или 2й производной от расстояния (криволинейной координаты). Проэкция ускорения т на нормаль = квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории. a=

37. Частные случаи движения точки.

1. Прямолинейное R=∞. Касательная ускорения характеризует изменение числового значения скорости. a_n=0, a=a_τ=dV/dt

2. Равномерное криволинейное V=const a_τ=0, a=a_n=V²/R

3. Равномерное прямолинейное a=0.

S=Vt+at²/2

4. Равноускоренное криволинейное движение. Равнопеременное – такое криволинейное движение, при котором касательная ускорения остается все время постоянной. a=! t=0, S=S₀, V=V₀, a≠0 V=V₀+at, S=S₀+V₀t+at²/2

5. Гармонические колебания. Точка совершает при этом движении колебания от +А до –А. Величина А= наибольшему отклонению точки от центра колебаний, амплитуда колебаний. Промежуток времени T=t₁=2π/k, в течение которого точка совершает 1 полное колебание – период колебаний. При этом виде движения скорость и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону.(Для повторяющихся операций) a=-Ak²*cos kt x=Acos kt x=Asin kt V= -Ak*sin kt

38. Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая проведенная в этом теле перемещается оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Поступательное движение нельзя путать с прямолинейным. При поступательном траектории могут быть любые кривые линии.

Св-ва поступательного движения определяются теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Рассм тело. Совершающее поступательное движении относительно системы отсчета Оxyz. # r_B=r_A+AB При этом длина АВ остается постоянной, как расстояние между т. твердого тела. Направление АВ остается неизменным, т.к. тело движется поступательно. dr_B/dt=dr_A/dt +d(AB)/dt V_A=V_B. скорости точек А и В в любой момент времени одинаковы по модулю и направлению. Следовательно, ускорения т. А и В в любой момент времени одинаковы по модулю и направлению. При поступательном движении общую для всех точек тела скорость, называют скоростью поступательного движения тела. А ускорение – ускорением поступательного движения тела. Вектора V и а можно изображать приложенными к любой т тела. Эти понятия имеют смысл только при поступательном движении тела.

39. Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и ускоре­ние.

Вращательное движение ТВ тела вокруг какой-либо неподвижной оси называется такое движение тела, при к-м какие-нибудь 2 точки, принадлежащие телу (или неподвижно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая ч/з неподвижные т называется осью вращения. З-н вращательного движения тела вокруг неподвижной оси φ=f(t). Для определения положения вращающегося тела проведем ч/з ось вращения вдоль к-й направим ось AZ, неподвижную полуплоскость I и полуплоскость II, врезанную в само тело и совершающую вместе с телом вращательное движение. φ- угол поворота (радианы).

Основными кинематическими характеристиками вращ движения ТВ тела являются его угловая скорость и угловое ускорение. ω ε Числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени = 1й производной от угла поворота по времени ω=dφ/ dt (рад/с, 1/с)

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора ω, модуль которого равен |ω| и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки. Модуль |ω|

Угловое ускорение тела характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. ∆t=t₁-t ∆ω=ω₁-ω ε_CP=∆ω/∆t ε_CP=d²φ/dt=dω/dt=φ”=ω’ (1/с²) Числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно 1й производной от угловой скорости или й производной от угла поворота тела по времени. [ε]=рад/с². Если модуль угловой скорости со временем возрастает – вращение тела – ускоренное (ω и ε совпадают знаки), а если убывает – замедленным (ω и ε разные знаки).

40. Равномерное и равнопеременное вращение.

Если угловая скорость тела все время движения остается постоянной ω=const, то движение называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения t=0, φ₀=0, φ=φ₀+ωt → φ=ωt. Найдем зависимость между n (частота вращения) и ω(1/с) 2πn= ωt ω=2πn/t (ω=2πn/60) ω=2πn – в секунду. Если угловое ускорение тела все время движения остается постоянным, то вращение называется равноперенным. Найдем закон равнопеременного движения (вращения) ω=ω₀+εt, dφ=ω­₀dt+εtdt, φ=φ₀+ωt+εt²

41. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Рассм какую-нибудь т. М ТВ тела, находящуюся на расстоянии H от оси вращения. # Точка за время dt повернется на угол dφ. т.М совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение dS=hd φ V= dS/ dt= hdφ/ dt → V=hω V – скорость в отличие от ω(угловой скор) иногда называют линейной или окружной скоростью т.М. Числовое значение линейной скорости точки вращающегося тела= произведению угловой скорости тела на расстояние от этой т до оси вращения. Скорость направлена по касательной к описываемой точкой окружности или ┴ пл-ти проходящей ч/з ось вращения. Скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстоянию до оси вращения #

Ускорения точек тела a_n=V²/h, a_τ=dV/dt a_τ=h dω/dt=hε a_n=h²ω²/h= hω² Касательная составляющая ускорения a_τ направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела, в обратную при замедленном). Нормальная составляющая всегда направлена по радиусу к оси (центру) вращения. a= , a= =h # Ускорение всех точек вращающегося тела пропорциональны их вращениям в данный момент времени и образуют в данный момент времени один и тот же угол α с радиусами описываемых ими окружностей.

Векторы скорости и ускорения тела

Проведем из произвольной т.О оси АВ, радиус вектор r точки М. # Тогда h=rsin α V= ωrsin α |V|=| ω * r| - произведение модулей векторов. Вектор скорости любой т вращающегося ТВ тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус вектор этой т. V= ωr – формула Эйлера. a=| ω V|*| ε r|, a_n= ωV, a_τ= εr

42. Плоскопараллельное движение твердого тела.

43. Уравнение плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступа­тельное и вращательное.

Плоскопараллельным (плоским) наз-ся такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной пл-ти. # В дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости. Положение фигуры S в пл-ти Оху определяется положением какого-нибудь проведенного отрезка АВ. Положение отрезка АВ можно определить зная координаты x_A, y_A и угол φ,который отрезок АВ образует с осью Оx. Т.А выбранную для определения положения фигуры S, называют полюсом. {x_A=f₁(t); {y_A=f₂(t); {φ=f₃(t) – уравнения движения плоской фигуры. # Движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться, как слагающаяся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся также, как и полюс А, и вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими хар-ками движения являются: скорость и ускорение поступательного движения = скорости и ускорению полюса: V_A=V_n a_A=a_ПОЛЮСА А также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса. При изучении движения в кач-ве полюса можно выбирать любую точку фигуры. Вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

44. Определение траектории точек плоской фигуры.

# Рассм т М плоской фигуры, положение к-й определяется расстоянием АМ=В и углом ВАМ= α {x=x_A+bcos(φ+ α), {y=y_A+bsin(φ+ α), Эти равенства определяющие з-н движения т.М в пл-ти Оху, дают одновременно ур-я траектории этой точки в параметрическом виде. (т.к. сами ур-я заданы пар-ки)

45. Определение скорости точек плоской фигуры.

# r=r_Ф+r_М dr/dt=dr_A/dt + dr_M /dt V=V_A+V_M (относительн скорость) V_{M (ОТНОСИТ СК)} =V_{A (переносная)}+V_{М отсоит А} Скорость любой т плоск фигуры, геометрически складывается из скорости какой-либо т А, принятой за полюс, и скорости, к-ю точка получит при вращении относительно этого полюса. Модуль и направление скорости V_M находится построением соответствующего параллелограмма. |V_МА|= ω*АМ. V_A=f(t) V_A=S/t

46. Теорема о проекции скоростей двух точек тела.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую ч/з эти точки равны друг другу и сонаправлены. #

47. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

МЦС – называется т пл фигуры, скорость которой в данный момент =0. Если фигура движется не поступательно, то такая т в кажд момент времени t существует и при том единственная. Пусть в момент времени t точки обладают скоростями: # Тогда т Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа┴V_A, Bb┴V_B мгновенным центром скоростей, т.к. скорость в точке Р=0. V_P=0. Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг МЦС V_A= ωPA V_B= ωPB | V_A/PA = V_B/PB Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС. Полученные рез-ты приводят к результатам: 1) Для определения МЦС надо знать только векторы скоростей V_A V_B каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры. 2) Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь т А плоской фигуры и направление скорости другой ее точки В. 3) Угловая скорость ω плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь т фигуры к расстоянию от МЦС до нее. ω =V_b/P_B

48. Определение ускорений точек плоской фигуры.

Ускорение любой т М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой т. А принятой за полюс и ускорения, к-е т М получит при вращении фигуры вокруг этого полюса. # a_M=a_A+a_MA a_MA=a_MAⁿ+a_MA^τ

49. Сложное движение точки.

50. Относительное, переносное и абсолютное движение.

Сложное движ тверд тела – абсолютное, относительное, перенсное движение.

1) Движение совершаемое т М по отношению к подвижной системе отсчета. Oxyz, называется относительным движением. Траектория АВ описываемая т в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость т М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью и обозначается V_OT. А ускорение – относительным ускорением а_ОТ #

2)Движение, совершаемое подвижной сист отсчета Oxyz (и все точки принадлежащие подв сист отсч) по отношению к неподвижной сист отсчета O₁x₁y₁z₁ V_ПЕР, а_пер Скорость той неподвижно связанной с подвижными осями Oxyz т. m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью т М в данный момент времени. Ускорение той неподвижно связанной с подвижными осями Oxyz т. m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносным ускорением т М в данный момент времени.

3) Движение, совершаемо т по отношению к неподвижной системе отсчета O ₁x ₁y ₁z ₁ называется абсолютным или сложным V_АБ, а_АБ Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией. Скорость – асбсолютн ск, ускорение – абс ускор.

Для решения соотв задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными, абсолютными скоростями и ускорениями.

51. Теорема о сложении скоростей.

# Пусть т М совершает за промежуток ∆t=t₁-t вдоль траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором ММ’. Сама кривая АВ двигаясь вместе с подвижными осями перейдет за тот же промежуток времени в новое положение A’B’. Одновременно та точка m кривой АВ с которой в данный момент времени совпадает т М, совершает переносное движение, определяемое вектором mm₁. m принадлежит M, Mm₁M₁ mm₁=Mm₁, MM₁=Mm₁+m₁M₁ | ∆t Поделим обе части на ∆t и перейдем к пределу. lim_(∆t-0)MM/∆t=lim_(∆t-0)Mm₁/ ∆t + lim_(∆t-0) m₁M₁/ ∆t Исходя из определения lim_(∆t-0)MM/∆t=V_АБ lim_(∆t-0)Mm₁/ ∆t=V_ПЕР Так как при ∆t-0 кривая A’B’ стремится к кривой АВ - lim_(∆t-0) m₁M₁/ ∆t=V_ОТ. V_АБ =V_ОТ+V_ПЕР # При сложн движении V_АБ= геом сумме относительн и переносной скоростей. Если угол между векторами V_OTH и V_ПЕР обозначить как α, то модуль V_АБ =

52. Теорема о сложении ускорений (Теорема Кориолиса).

53 Вычисление относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Найдем зависимость между относительным, переносным и абсолютным ускорением точки.

a_АБ=dV_АБ/dt = dV_ОТ/dt+dV_ПЕР/dt

Условимся,что изменение, к-е векторы V_OT и V_ПЕР получают при относительном движении отмечать индексом 1, а при переносном движении индексом 2. a_АБ=(dV_ОТ/dt) _{1 –} а _ОТ + (dV_ОТ/dt) ₂ +(dV_ПЕР/dt) ₁+ ( dV_ПЕР/dt) _{2 -} а_ПЕР a_АБ=a_ОТ +a_ПЕР +{(dV_ОТ/dt) ₂ +(dV_ПЕР/dt) ₁ } _– a_КОР

Величина, характеризующая изменение скорости при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении наз-ся поворотным или кориолисовым ускорением.

а_АБ= а_ОТ+а_ПЕР+а_КОР При сложном движении ускорение точки равно геом сумме 3х ускорений – относ, переносн и кориол.

Найдем формулировку для определения ускорения Кориолиса

Рассматривая общий случай будем считать переносное движение, т.е. движение подвижных осей Охуz, а с ними кривой АВ, слагающимися из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращение вокруг этого полюса с угловой скоростью ω, называемой переносной угловой скоростью. dV_OT/dt=V_OT* ω При рассматриваемом переносном движении вектор V_OT направлен по касательной кривой АВ. Переместится с этой кривой поступательно и одновременно повернется вокруг этой т m до положения V_{ОТ 1} (dV_OT) ₂ =bb₁= V_bdt {mb ω=V_b, mb=V_OT} (dV_OT)=V_OT ωdt # # Определим (dV_ПЕР /dt) ₁ Cкорость V_ПЕР= скорости той неизменно связанной с подвижными осями т m кривой АВ с к-й в данный момент времени совпадает М.

Проведем из т О радиус вектор, задающий положение т М Om=оМ V_ПЕР=V₀+ ωr Совершим за промежуток времени ∆t относительн перемещение MM’=V_OT*dt Точка придет в положение M’ для которого: V’_пер=V₀+ ω(r+MM’) Вследствие того, что точка совершает относительное перемещение MM’= V_OT*dt вектор V_ПЕР получит приращение (dV_ПЕР) ₁ =V’_ПЕР –V_ПЕР = (V₀+(r+MM’))+(V₀+ ωr)= ωMM’= ωV_OTdt a_КОР=2(ωV_OT)

Кориолисово ускорение = удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости (ω – угл ск подвижной сист отсч) на относительную скорость точки.

Вычисление относительного, переносного и кориолисового ускорение: Относит ускорение вычисляется обычными методами кинематики точки: а_ОТ= a_n+a_τ Переносное уск вычисляется,как ускорение точки некоторого твердого тела а_пер=а^Ц+а^В= a_n+a_τ=а_Х+а_Y Кориолисово уск вычисляется по ф-ле a_КОР=2(ωV_OT) Модуль кориолисового уск, если угол между векторами ω и V_OT обозначить за α, то модуль будет равен: a_КОР=2|ω||V_OT|sin α V_ОБ=V_{ОБ Х}+ V_{ОБ Y}

Направлен вектор ускорения Кориолиса также, как вектор произведения угловой скорости на относительную, т.е. ┴ пл-ти, проходящей ч/з векторы ω и V_ОТ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение (ω V_ОТ) видно происходящим против часовой стрелки.

Правило Жуковского: Вектор относительной скорости V_r проецирем на пл-ть ┴ оси переносного вращения, получим проекцию, поворачиваем в данной пл-ти в направлении ω_е на 90^о.

53. Законы динамики. Задачи динамики материальной точки

Динамика – раздел теор механики, где изучается движение мат тел под действием сил. В динамике, в отличие от кинематики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие силы, так и инертность самих тел.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил.

В классической механике масса m рассматривается, как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела. Кроме суммарной массы движение тела зависит от формы тела (общий случай), точнее от взаимного расположения образующих его частей – от распределения массы в теле. При первоначальном изучении динамики вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке обладающей массой.

З-ны динамики 1) Закон инерции Изолированная от внешних воздействий мат т сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое т при отсутствии сил – называется движением по инерции. З-н инерции отображает 1 из осн свойств материи – пребывать в неизменном состоянии. Система отсчета, в к-й справедлив з-н инерции – инерциальная система отсчета.

2) Осн закон динамики. Произведение массы мат точки на ускорение, к-е оно получило под действием данной силы = модулю этой силы, а направление ускорения совпадает с направлением этой силы. ma=F, a↑↑F

2й з-н динамики, как и первый имеет место только по отношению к ИСО. Если на точку действует одновременно несколько си, осн з-н динамики примет вид: ma=R ↔ ma= ∑F_i, R= ∑F_i

3) З-н действия и противодействия. Для 2х мат т он гласит: Две мат точки действуют друг на друга с силами равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные направления.