Матричные игры. Равновесная ситуация.
Стр 1 из 5Следующая ⇒ РАЗДЕЛ 2. ИГРОВЫЕ МЕТОДЫ Глава 4. Матричные игры Предмет и задачи теории игр. Матричные игры. Равновесная ситуация. Смешанные стратегии матричных игр. Игры с природой. Глава 5. Биматричные игры. Игры с ненулевой суммой. Борьба за рынки. Дилемма узников. Кооперативные игры. Принятие решений в условиях неопределенности или частичной неопределенности.
Глава 4. Матричные игры Предмет и задачи теории игр. В экономике часто сталкиваются с ситуациями, когда эффективность решений одних участников экономического процесса зависит от решений, принятых другими участниками. При этом каждое предприятие сознательно стремится добиться наилучших результатов за счет других. Такие ситуации называются конфликтными. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как все участники процесса принимают решения в условиях неопределенности. Построением математических моделей конфликтных ситуаций и разработкой методов решения возникающих в этих ситуациях задач занимается теория игр. Методы и рекомендации теории игр применимы к однократно повторяющимся конфликтным ситуациям. Если конфликтная ситуация реализуется ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл. Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игр состоит в том, что каждый участник принимает такое решение, которое, как он полагает, обеспечит ему наилучший исход. Исходом игры называется значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться в матричном или аналитическом виде.
Величина выигрыша зависит от стратегии, принимаемой игроком. Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игр. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным. В зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные. Игра состоит из отдельных партий. Партия – это каждый вариант реализации игры. В партии игроки совершают ходы. Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких игроков, поэтому игры бывают парные и множественные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры некооперативные (бескоалиционные), когда участники имеют права заключать соглашения, и кооперативные (коалиционные). В экономике нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называются играми с природой. Под термином «природа» понимают все совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решения. Матричные игры. Равновесная ситуация. Пусть в игре участвуют два игрока. Игрок Обозначим стратегии игрока Если игрок
Поэтому при анализе такой игры достаточно рассмотреть выигрыш только одного игрока, например выигрыш Матричные игры называются парными играми с нулевой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
Если известны все значения Таблица 4.1
Чаще эти выигрыши записывают в виде платежной матрицы (матрицы игр) размера
Матричные игры относятся к разряду антагонистических, т.е. игр, в которых интересы игроков противоположны. Пример 4.1. Каждый из двух игроков Решение. У игрока
В данной матрице строки соответствуют стратегиям игрока Действительно, если игрок В примере 4.1 рассмотрена простейшая математическая модель конечной конфликтной ситуации, когда имеются два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Равновесная ситуация Пусть матричная игра m×n задана платежной матрицей
Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока
и запишем их в правом столбце табл. 4.2. Таблица 4.2.
Действуя разумно, игрок выбираем максимальное число
Число Принцип построения стратегии игрока Проведем анализ стратегий игрока и запишем их в нижней строке табл. 4.2. Действуя разумно, игрок B остановится на той стратегии
Число β называется верхней ценой игры. Принцип построения стратегии игрока B, основанный на минимизации максимальных выигрышей, называется принципом минимакса (minmax). Нижняя цена игра α и верхняя цена игра β связаны неравенством α ≤ β. (4.5) Если
то ситуация Если α=β, то такую игру называют также игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий Седловых точек в матричной игре может быть несколько, но все они имеют одно и то же значение. Пример 4.2. Игроки
Определить оптимальные стратегии. Решение. Здесь строки соответствуют стратегиям игрока
Стратегия игрока Стратегия игрока Определим оптимальные стратегии каждого из игроков. Начнем с анализа стратегий игрока Таблица 4.3.
Игрок Аналогично проведем анализ стратегий игрока Таким образом, в рассматриваемой игре maxmin и minmax совпали: maxmin =minmax = 1. Таким образом, ситуация оказывается равновесной, матрица игры имеет седловую точку
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|