Критерии Байеса, Лапласа, Сэвиджа, Вальда, Гурвица.

При поиске оптимальных решений обычно используют различные критерии, дающие некоторую схему принятия решений. Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Байеса. При использовании критерия Байеса статистику известны вероятности q_k наступления события П_к. Обычно вероятности q_kопределяются путем проведения экспериментов. Такие вероятности называются апостериорными. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия A_i, при которой средний выигрыш статистика , становится максимальным.

Критерий Лапласа. Критерий Лапласа отличается от критерия Байеса тем, что апостериорные вероятности неизвестны. Тогда их принимают равными и рассчитывают по формуле

Критерий Сэвиджа. Этот критерий является критерием крайнего пессимизма, т.е. статистик исходит из предположения, что природа действует против него наихудшим образом. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию A_i, при которой максимальный риск является минимальным. Такой риск называется минимаксом и рассчитывается по формуле

Критерий Вальда. Как и критерий Сэвиджа, критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма. Поэтому статистик выбирает такую чистую стратегию А,, при которой наименьший выигрыш будет максимальным. Этот выигрыш называется максимином и вычисляется по формуле

Критерий Гурвица. Этот критерий является критерием пессимизма-оптимизма и рекомендует применять нечто среднее. В этом случае статистик выбирает такую чистую стратегию А_i, для которой справедливо условие:

где γ=0÷1 выбирается из субъективных соображений. При γ = 1 Критерий Гурвица преобразуется в критерий Вальда.

Пример 4.6. Создается ателье для ремонта телевизоров в стационарных условиях. Для простоты принимаем, что поток заявок на ремонт выражается числами 2, 4, 6 и 8 тыс. заявок в год. Из опыта известно, что прибыль от ремонта одного телевизора составляет 9 ден. ед. в год. Потери, вызванные отказом в ремонте ввиду недостатка мощностей, - 5 ден. ед. Убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок - 6 ден. ед. за каждую заявку.

Дать информацию о мощности создаваемого ателье, используя приведенные критерии.

Решение. В качестве игрока А здесь выступает орган, принимающий решение о мощности создаваемого ателье. Его чистыми стратегиями являются:

■ А₁ — открытие ателье мощностью 2 тыс. телевизоров в год;

§ A₂ — открытие ателье мощностью 4 тыс. телевизоров в год;

■ A₃ — открытие ателье мощностью 6 тыс. телевизоров в год;

■ A₄ — открытие ателье мощностью 8 тыс. телевизоров в год.

Вторым игроком выступает совокупность всех обстоятельств, в которых формируется поток заявок на ремонт телевизоров в условиях ателье, т.е. природа П. Природа может реализовать любое из четырех состояний:

■ П₁ — поток составит 2 тыс. телевизоров в год;

■ П_г— поток составит 4 тыс. телевизоров в год;

■ П₃ — поток составит 6 тыс. телевизоров в год;

§ П₄ — поток составит 8 тыс. телевизоров в год.

Вычислим выигрыши a_ik игрока А при любых сочетаниях обстоятельств (A_i, П_k). Наиболее благоприятными будут ситуации, когда количество поступивших заявок совпадает с возможностями ателье.

Для комбинации (A₁, П₁) прибыль составит а₁₁=2*9 = 18 тыс. ден. ед., для комбинации (A₂, П₂) имеем а₂₂=4*9 = 36 тыс. ден. ед. и т.д.

Для случая (A₁, П₂) в ателье можно отремонтировать 2 тыс. телевизоров, а заявок поступило 4 тыс. Потери при этом составят 2*5=10 тыс. ден. ед., а общая прибыль а_п=2*9-2*5=8 тыс. ден. ед.

Для случая (A_i, П_k) в ателье можно отремонтировать 4 тыс. телевизоров, а заявок поступило 2 тыс. Потери при этом составят 2*6 = 12 тыс. ден. ед., а общая прибыль а₂₁=18-12 = 6 тыс. ден. ед. Аналогично находятся другие элементы платежной матрицы. Результаты расчетов представлены в табл. 4.13.

Из табл. 4.13 следует, что нижняя чистая цена игры

а верхняя чистая цена игры

Так как α ≠ β, то игра не содержит седловой точки. Доминирующих стратегий у статистика нет.____________

Критерий Байеса. Пусть известны вероятности q_k состояния природы П_к. В табл. 4.13 эти вероятности обозначены как . По формуле (4.23) находим значения средних выигрышей . Эти значения приведены в седьмом столбце табл. 4.13. В качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия А₃ (открыть ателье на 6 тыс. ремонтов в год), при которой средний выигрыш статистика .

Таблица 4.13

	П1 (2)	П2 (4)	П3 (6)	П4 (8)	αi			0,8αi	δi	0,2δi	hi
A1(2)			-2	-12	-12	3,5		-9,6		3,6	-6
A2(4)						23,5		4,8		7,2
A3(6)	-6				-6	29,5		-4,8		10,8
A4(8)	-18				-18	25,5		-14,4		14,4
βi
	0,2	0,35	0,25	0,2
	0,25	0,25	0,25	0,25

 

Здесь использованы следующие обозначения:

.

Критерий Лапласа. По этому критерию вероятности принимаются равными и рассчитывают по формуле

В качестве оптимальной по критерию Лапласа также принимается чистая стратегия А₃, при которой средний выигрыш статистика

Критерий Сэвиджа. Для анализа игры по этому методу построим матрицу рисков. Для расчетов используются формулы (4.21), (4.22). Результаты расчетов представлены в табл. 4.14.

Как следует из табл. 4.14, минимальный из всех максимальных рисков равен . Этот риск соответствует чистой стратегии А₃ (открыть ателье на 6 тыс. ремонтов в год).

Таблица 4.14

	П1	П2	П3	П4	max rik
A1
A2
A3
A4

 

Критерий Вальда. Из табл. 4.13 видно, что нижняя чистая цена игры . Эта цена соответствует чистой стратегии А_г (открыть ателье на 4 тыс. ремонтов в год).

Критерий Гурвица. Положим γ = 0,8. Рассчитываем по формуле δ_i = max a_ik (см. столбец 10 табл. 4.13). Затем, используя данные столбцов 6 и 10 табл. 4.13, проводим расчет по формуле .

Результат представлен в столбце 12 табл. 4.13. Значение и соответствует стратегии A₂ (открыть ателье на 4 тыс. ремонтов в год).

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: