 |
Свойства собственных функций операторов
|
|
|
|
Собственные функции операторов квантовой механики обладают следующими общими свойствами.
1. Если оператор 
имеет дискретный спектр собственных значений 
, то собственные функции этого оператора 
удовлетворяют уравнению
Уравнение, комплексно сопряжённое (18) для квантового числа m,
Умножаем (18) и (19) слева на 
и 
соответственно, интегрируем по всей области пространства и вычитаем из первого второе. В результате получаем 
Отсюда следует 
при n 
m - условие ортогональности собственных функций, соответствующих разным собственным значениям оператора.
Физический смысл ортогональности собственных функций заключается в том, что
при измерении физической величины с достоверностью получается значение в состоянии и 
- в состоянии 
.
Кроме того, в соответствии с (15) функции дискретного спектра всегда могут быть нормированы на единицу:
Соотношения (20) и (21) могут быть объединены:
гдесимвол Кронекера 
определяется следующим образом:
| { | 1, если n = m; | (23) |
| 0, если n m.
|
Набор функций удовлетворяющий условию (22), называется системой ортонормированных функций, т.е. ортогональных и нормированных.
2. Второе свойство собственных функций операторов заключается в том, что их совокупность образует полную систему функций. Это значит, что
любая функция 
, определенная в той же области переменных, что и собственные функции , может быть представлена в виде ряда
где суммирование выполняется по всем значениям квантового числаn.
Чтобы найти коэффициенты разложения 
, умножим(24) слева на и проинтегрируем по всему пространству:
Меняя индексы m на n, получаем выражение для коэффициентов разложения:
Умножим(24) на комплексно сопряженное выражение
|
|
|
и проинтегрируем по всему пространству:
или 
Соотношение (27) - критерий того, что система функций нормирована на единицу. Таким образом, в соответствии с (4)
вероятность нахождения физической величины в состоянии со значением равна квадрату модуля коэффициента в разложении (24), т.е. определяется интенсивностью 
, с которой собственное состояние представлено в состоянии .
Уравнение Шрёдингера
Основное уравнение квантовой механики - уравнение Шредингера, определяющее изменение волновой функции, т.е. состояния системы, в пространстве и времени:
где 
- оператор Гамильтона системы; i - мнимая единица.
Это уравнение - основное уравнение динамики в квантовой механике, поскольку позволяет найти волновые функции в любой момент времена, если известны вид оператора и начальные условия.
Гамильтониан /в отсутствие магнитного поля/ имеет вид (17) в уравнение Шредингера (28) может быть записано явно:
В случае стационарного, т.е. не изменяющегося во времени, внешнего поля 
гамильтониан не зависит от времени 
. В этом случае в (29) переменные могут быть разделены:
Подставляя решения в виде (30) в (29) и обозначая постоянную разделения E, находим
Отсюда следуют два уравнения для T и 
Первое уравнение решается сразу: 
, a второе является уравнением для собственных функций гамильтониана 
. Таким образом, если система имеет дискретный спектр энергии, то решение (30) имеет вид
т.е. гармонически зависит от времени с частотой 
:
где 
- собственное значение гамильтониана .
Волновые функции 
, являющиеся решениями уравнения (32), соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет определенные значения. Такие состояния системы называются стационарными,а (32) поэтому называется стационарным уравнением Шредингера.
Его явный вид
Стационарные уровни энергии 
нумеруются, как правило, в порядке возрастания их абсолютного значения.
|
|
|
Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значений энергии называется основным.
Волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера (29), должны обладать следующими свойствами:
1. Волновые функции должны быть однозначны, непрерывны и конечны во всей области пространства. Эти требования должны также выполняться, когда потенциал U имеет поверхности разрыва. Необходимость однозначности и конечности волновой функции достаточно очевидна из ее физического смысла /см. (4) и (5)/: вероятность местонахождения частицы должна быть величиной конечной и однозначной. Кроме того, так как волновая функция является решением дифференциального уравнения вида (29), то она должна быть неразрывна, а также иметь однозначную, непрерывную и конечную первую производную.
2. Если существуют области пространства, где 
, то в них везде 
. Частица, очевидно, не может находиться внутри этих областей. Непрерывность требует, чтобы на границе этой области . Производные от на границе могут иметь разрыв.
|
|
|
