 |
Таблицы истинности и методика ее построения
|
|
|
|
Тема 3. Математическая логика
Цель: получить представление о методах и средствах формальной логики длярешения практических задач.
Задание:
1. изучить материал данной лекции;
2. сделать краткий конспект, который необходимо представить к зачету;
3. подготовиться к письменному опросу по данной теме;
4. подготовиться к контрольной работе по данной теме.
Понятие высказывания
Центральным понятием математической логики является понятие "простого высказывания".
Высказывание - это утвердительное повествовательное предложение, о котором точно можно сказать истинно оно или ложно.
Логические значения высказываний это "истина" и "ложь", принятые обозначения "и", "л" или 1 и 0.
пример:
· Днепр река.
· Рим - столица Италии.
· Число 9 делится на 3 и 5.
· Если студент окончил университет, то он получил высшее образование.
Логические операции над высказываниями.
Конъюнкция (логическое умножение) - сложное логическое выражение, которое истинно только в случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.
Талица истинности для конъюнкции имеет следующий вид:
| А | В | А ∧ В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Логическая связка конъюнкции - союз "и".
пример: Прочитай книгу и иди гулять.
Дизъюнкция (логическое сложение) - сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно и если оба простых логических выражения ложны.
Талица истинности для дизъюнкции имеет следующий вид:
| А | В | А ∨ В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Логическая связка дизъюнкции - союз "или".
пример: В этом сезоне я хочу пойти на “Ромео и Джульетту” или на “Отелло”.
|
|
|
Сложение по модулю 2 (логическое сложение, исключающее «или»,
строгая дизъюнкция ) - булева сумма, значит "один или другой, но не оба вместе".
Талица истинности для исключающей дизъюнкции имеет следующий вид:
| А | В | А ⊕ В |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Логическая связка сложения по модулю 2 - союз "или", "либо...либо".
пример: Она учится в Московском или в Санкт-Петербургском институте.
Импликация (логическое следствие) - сложное логическое выражение, которое ложно только в случае, когда из истины следует ложь.
Талица истинности для импликации имеет следующий вид:
| А | В | А→В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Логическая связка импликации - "если... то", "когда... тогда".
пример: Если Днепр - река, то Бразилия - большой город.
Эквиваленция - сложное логическое выражение, которое истинно только при одинаковых значениях истинности простых выражений, которые в него входят.
Талица истинности для эквиваленции имеет следующий вид:
| А | В | А↔В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Логическая связка эквиваленции - "тогда и только тогда, когда", "если и только если".
пример: Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он является равноугольным.
Инверсия (логическое отрицание) - делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным.
Талица истинности для инверсии имеет следующий вид:
| А | А |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Логическая связка инверсии - "не", "нет", "неверно".
пример: Неверно, что 8 есть четное число.
Штрих Шеффера - это бинарная операция, отрицающая логическое умножение, соответственно значение ложно тогда и только тогда, когда оба простые выражения истинны.
Талица истинности для штриха Шеффера имеет следующий вид:
| А | В | А|В |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Штрих Шеффера выражается в виде: А|В = (А ∧ В)
|
|
|
Стрелка Пирса - это бинарная операция, отрицающая логическое сложение, соответственно значение истинно тогда и только тогда, когда оба простые выражения ложны.
Талица истинности для стрелки Пирса имеет следующий вид:
| А | В | А ↓ В |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Штрих Шеффера выражается в виде: А ↓ В = (А ∨ В)
Порядок выполнения логических операций:
1. инверсия
2. конъюнкция
3. дизъюнкция
4. импликация
5. эквиваленция
6. штрих Шеффера
7. стрелка Пирса
Чтобы изменить данный порядок необходимо использовать скобки. Для штриха Шеффера и стрелки Пирса приоритет не определен.
Закон алгебры логики
1. закон тождества: А=А
2. закон непротиворечия: А∧ 
=0
3. закон исключенного третьего: А∨ =1
4. закон двойного отрицания: А=А
5. законы констант:
§ 0= 1
§ А∨0=А
§ А∨1=1
§ А∧0=0
§ А∧1=А
6. законы идемпотентности:
§ А∧А=А
§ А∨А=А
7. законы коммутативности:
§ А∧В=В∧А
§ А∨В=В∨А
8. законы ассоциативности:
§ А∧(В∧С)=(А∧В)∧С
§ А∨(В∨С)=(А∨В)∨С
9. законы дистрибутивности:
§ А∧(В∨С)=(А∧В)∨(А∧С)
§ А∨(В∧С)=(А∨В) ∧(А∨С)
10. законы поглощения:
§ А∧(А∨В)=А
§ А∨(А∧В)=А
11. законы де Моргана:
§ (А∧В) = А ∨ В
§ (А∨В) = А ∧ В
12. законы замены импликации:
§ А→В = А∨В
§ А→В = В → А
13. законы замены эквивалентности:
§ А↔В = (А∧ В)∨(А∧В)
§ А↔ В = (А∨В) ∧(А∨В)
§ А↔В = (А→В) ∧ (В→А)
Таблицы истинности и методика ее построения
Любую логическую формулу можно записать с помощью таблицы истинности, она показывает, чему будет равно значение логического выражения при всевозможных комбинациях значения исходных переменных.
Таблицы истинности задают логическую функцию. Сложные высказывания следует разбить на несколько простых, вычислив сначала значения этих промежуточных величин, и в итоге - окончательный результат.
Количество комбинаций зависит от количества переменных и находится по формуле 2n, где n - количество переменных.
Высказывание, которое истинно при любых значения переменных является тождественно истинным или тавтологией.
Высказывание, которое всегда ложно является тождественно ложным или противоречием.
|
|
|
Если 2выражения принимают одинаковые значения при всех значениях переменных их называют равносильными или тождественно равными.
|
|
|
