 |
Универсальное множество. Подмножество. Дополнение множества.
|
|
|
|
Тема 2. Множества и операции над ними
Цель: овладеть навыками теоретико-множественного представления объектовреальной и абстрактной действительности.
Задание:
1. изучить материал данной лекции;
2. сделать краткий конспект, который необходимо представить к зачету;
3. подготовиться к письменному опросу по данной теме;
4. подготовиться к контрольной работе по данной теме.
Общие теоретические сведения
Понятие «множество» является одним из основных понятий математики, не определяемых через другие. Это понятие можно рассмотреть на примерах.
Например:
· множество бананов, растущих на пальме;
· множество студентов, обучающихся в ЛГУ им. А.С. Пушкина;
· множество денежных знаков, находящихся в обороте у населения Российской Федерации;
· множество треугольников;
· множество двусложных слов в русском языке;
· множество букв в немецком алфавите, или множество гласных букв в русском алфавите;
· множество целых чисел; множество рациональных чисел.
Определяющие признаки множества:
· анализируются некоторые группы действительно существующие или абстрактные объекты или явления;
· эти группы объектов или явлений могут быть показаны как единое целое; природа объектов или явлений, которая входит в множество, может быть различная, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы;
· все объекты множества должны отличаться друг от друга.
Множества в математике принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z.
Объекты,которые составляют данное множество,называются элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
|
|
|
Если элемент принадлежит к какому-либо множеству, то данная принадлежность записывается с помощью символа ∈. Математическое выражение b ∈ B означает, что элемент b принадлежит множеству B, а выражение b ∉ B означает, что объект b не принадлежит множеству B.
Существуют такие понятия как конечное, бесконечное, пустое и равные множества.
Элементы конечного множества можно перечислить или оно выражается некоторым числом, а элементы бесконечного множества содержат бесконечное число элементов, которые нельзя сосчитать. Конечные множества можно перечислением и с помощью характеристического свойства. Бесконечные множества задаются только с помощью характеристического свойства.
пример конечного множества: множество букв английского алфавита, множество студентов в аудитории, множество отличников в классе и т.д.
пример бесконечного множества: множество звезд на небе, множество песчинок в пустыне, множество вещественных чисел и т.д.
Мощность конечного множества -это количество элементов,которыепринадлежат данному множеству, обозначается как m (A), что означает мощность множества А.
Пустое множество -это такое множество,которое не содержит элементов. Мощность пустого равна 0. Пустое множество обозначается символом ø.
пример пустого множества: множество людей, имеющих рост 3 см., вес 10 гр. и т.д.
Равные (одинаковые) множества - это множества, состоящие из одних и тех же элементов, порядок записи которых не существенен, обозначается А=В.
пример: А={1, 2, 4, 8, 10} и В={10, 1, 8, 2, 4} следовательно А=В
Универсальное множество. Подмножество. Дополнение множества.
Множество А называют подмножеством (или частью) множестваВ, если каждый элемент множества А является также элементом множества В (рис. 1).
Рис. 1 - А⊂В
Пустое множество - это подмножество любого множества, также любое множество является подмножеством самого себя.
|
|
|
Универсальное множество - это множество, подмножество которого в данный момент рассматриваются. Обозначается заглавной латинской буквой E или U (рис.2).
|
пример:
E - множество букв русского алфавита,
А - гласные буквы
Рис. 2 - Е универсальное множество, А его подмножество.
Дополнением множества А есть разница множеств Е\А. Обозначается А' или А, читается не А.
 |
пример:
Е= {множество студентов в группе};
А= {множество студентов, сдавших математику}, тогда
А'= {множество студентов, не сдавших математику}.
Способы задания множества:
· с помощью характеристического свойства.
Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и которым не обладает ни один элемент не принадлежащий множеству.
пример: А={х|х∈N, -3<х<5}
· с помощью перечисления всех элементов множества.
пример: А={1, 2. 10, 12}
· с помощью описания свойств элементов множества.
пример: А={множество гласных букв русского алфавита}
Операции над множествами
Пересечением множеств А и Вназывается множество С,которое состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: С={х|х∈А и х∈В} (рис. 3). Обозначается А∩В.
Рис. 3. Пересечение
Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит исключительно из всех элементов данных множеств: С={х|х∈А или х∈В} (рис. 4). Обозначается А∪В.
Рис. 4 Объединение
Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат В: С={х|х∈А и х∉В} (рис. 5). Обозначается А\В.
Рис. 5 А/В и В/А
Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, и всех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А: С={х|х∈А и х∉В} или {х|х∉А и х∈В} (рис. 6). Обозначается АΔВ.
Рис. 6 Симметричная разность
|
|
|
