 |
Основные свойства операций над множествами
|
|
|
|
1. коммутативное:
· А∩В = В∩А
· А∪В = В∪А
· (А∩В)∩С = А∩(В∩С)
· (А∪В)∪С = А∪(В∪С)
2. ассоциативное:
· А ∩(В ∪ С)=(А ∩ В)∪(А ∩ С)
· А ∪(В ∩ С) = (А ∪ В)∩(А ∪ С)
3. дистрибутивное:
· А∩(А∪В) = А
· А∪(А∩В) = А
4. закон поглощения:
· А∩А= А
· А∪А= А
· A Ø È = A
· A Ø Ç = Ø
· A È U = U
· A Ç U = A
5. законы идемпотентности:
· (А\В)\С = (А\С)\В
· (А∪В)\С = (А\ С)∪(В\С)
· (А\ В)∩С = (А∩С) \ (В∩С)
· А\ (В∪С) = (А\ В)∩(А\С)
· А\ (В∩С) = (А\ В)∪(А\С)
Разбиение множеств. Классификация
Классификация - действие распределения объектов по классам.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество разбито на классы Х 1, Х 2, …, Х n, …, если:
1) подмножества Х 1, Х 2, …, Х n, … попарно не пересекаются;
2) объединение подмножеств Х 1, Х 2, …, Х n, … совпадает с множеством Х.
Если одно из условий не выполнено, то классификация считается неправильной.
Классификация относится к такой операции над множествами как разбиение множеств. Наглядно эту операцию можно представить в виде разбитой тарелки. Кусочки разбитой тарелки не пересекаются, и при соединении их вновь получается «целая» тарелка.
Формула включений и исключений конечных множеств.
|
Если A и B - конечные множества, то число элементов множества A будем обозначать m ( A ) и называть численностью множества A. Определим численность объединения множеств A и B.
Если множества A и B не пересекаются, то m(A È B) = m (A) + m (B). Следовательно, численность объединения конечных непересекающихся множеств будет равна сумме численностей этих множеств.
|
|
|
Если множества A и B пересекаются, то в сумме m (A) + m (B) число элементов пересечения A Ç B содержится дважды: один раз в m ( A ), а другой - в m ( B ). Значит для того, чтобы найти численность объединения m (A È B), требуется из указанной суммы вычесть m (A Ç B).
Следовательно:
m (A È B) = m (A) + m (B) - m (A Ç B)
Определим теперь численность разности множеств A и B.
Если множества A и B не пересекаются, то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A).
Если множества A и B пересекаются, то m(A\B) = m(A) - m(AÇB).
Если В Ì А, то AÇB = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B).
Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна и формулы включения и исключения конечных множеств:
пример: В 4-х классах всего 70 учеников. Из них 27 ходит на театральный кружок, 32 - в хор, 22 занимаются волейболом. В театральном кружке 10 учеников из хора, в хоре 6 учеников, которые занимаются волейболом, на театральный ходят 8 волейболистов. Театральный кружок и хор посещают 3 волейболиста. Найти сколько учеников не посещают ни одного кружка.
решение: Пусть Е - множество всех учеников в 4-х классах; А - множество учеников, которые ходят на театральный кружок; В - множество учеников, посещающих хор; С - множество учеников, занимающихся волейболом.
m(A)=27, m(B)=32, m(C)=22, m(E)=70, m(A∩B)=10, m(A∩C)=8, m(B∩C)=6, m(A∩B∩C)=3.
1) 10-3=7 - учеников ходят только на театр. кружок и на хор
2) 8-3=5 - учеников ходят только на театр. кружок и на волейбол
3) 6-3=3 - учеников ходят только на хор и волейбол
4) 27-(7+3+5)=12 - учеников посещают только театральный кружок
5) 32-(7+3+3)=19 - учеников посещают только хор
6) 22-(5+3+3)=11 - учеников посещают только волейбол
7) 70-(12+19+11+7+5+3)=10 учеников не посещают ни одного кружка.
Декартово произведение множеств
Декартовым произведением множеств А и В называют множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая - множеству В.
А × В = {(x; y) | x∈A и y∈B}
|
|
|
пример: Проверить справедливость равенства А×С=(А× (С \ В)) È
È (А× (С Ç В)), если А={1,2}, В={2,3}, С={1,3}.
Решение:
1) А×С = {1,2}×{1,3}= {(1,1);(1,3);(2,1);(2,3)}.
2) С \ В = {1,3}\{2,3}={1};
3) А× (С \ В) = {1,2}×{1}={(1,1);(2,1)};
4) С Ç В = {1,3}Ç{2,3}={3};
5) А× (С Ç В) = {1,2}×{3}={(1,3);(2,3)};
6) 3È5 = {(1,1);(2,1)} È {(1,3);(2,3)}= {(1,1);(1,3);(2,1);(2,3)}.
Равенство справедливо.
Наглядно представить декартово произведение можно с помощью графа или таблицы (в случае, если множества конечны и содержат небольшое число элементов), а также координатной плоскости.
пример: А={1,3,5} и В={5,8} найти А×В
с помощью графа:
 |
табличный способ:
| А | В | |
| 5 | 8 | |
| 1 | (1,5) | (1,8) |
| 3 | (3,5) | (3,5) |
| 5 | (5,5) | (5,8) |
на координатной плоскости:
у
 |
8 * * *
5 * * *
0 1 3 5 х
Так как нам надо найти А×В, то элементы множества А отметим на оси Ох, а элементы множества В на оси Оу. Звездочками обозначены координаты декартова произведения.
Представление декартова произведения множеств с помощью координатной плоскости целесообразно использовать в случаях, когда хотя бы одно из множеств является бесконечным.
|
|
|
