 |
Законы Кирхгофа в операторной форме
|
|
|
|
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 - 
; 2 - 
.
В первом случае в соответствии с законом Ома 
.
Тогда
и
.
Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
откуда 
; 
и 
.
Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
|
|
|
.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение 
искомой переменной определяется отношением двух полиномов
,
где 
.
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
 ,
| (3) |
где 
- к-й корень уравнения 
.
Для определения коэффициентов 
умножим левую и правую части соотношения (3) на (
):
.
При 
.
Рассматривая полученную неопределенность типа 
по правилу Лапиталя, запишем
.
Таким образом,
.
Поскольку отношение 
есть постоянный коэффициент, то учитывая, что 
, окончательно получаем
 .
| (4) |
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. 
, то уравнение (4) сводится к виду
.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального 
и конечного 
значений оригинала можно использовать предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
Литература
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
- В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
- Что такое операторная схема замещения?
- Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
- Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
- Для чего используются предельные соотношения?
- Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?
-
С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.
Ответ: 
.
|
|
|
- С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.
Ответ: 
.
Лекция N 28
|
|
|
