 |
Понятия: множество, комплект, мощность комплекта.
|
|
|
|
Формализм теории сетей Петри основан на понятии комплекта, явл. обобщенным понятием мн-ва, а комплект,подобно мн-ву, явл. набором элементов, но в отличии от него допускает кратные вхождения эл-тов. В случае мн-ва эл-т может входить или не входить во мн-во, в случае комплекта – эл-т может входить в него целое неотриц. число раз. Взаимосвязь между эл-тами и мн-вом определяется ф-цией членства, принимающей значения 0 или 1.
Взаимосвязь между эл-тами и комплектом определяется ф-цией числа вхождений, обозначающейся #(x,B).
Из определения следует, что #(x,B)>=0, если х принадлежит В, то #(x,B)>0, если х не принадлежит В, то #(x,B)=0.
Комплект явл. по определению пустым, если для всякого x -> #(x,B)=0
Мощностью комплекта В наз |В| общее число вхождений эл-тов в комплект В, т.е.
|В|= СУММА по х #(x,B)
А наз подкомплектом В, если всякий эл-т А некот кол-во раз входит в В. Комплекты наз равными #(x,А)= #(x,B) для всех х. Из определения следует, что А=В тогда и только тогда, когда А явл подкомплектом В и В явл подкомплектом А. Из рав-ва А=В следует, что мощность комплектов А и В равны, а из того, что А подкомплект В – мощность А меньше или равна мощности В.
Комплект А строго включен в В, если А явл подкомплектом В, А неравно В, мощность А строго меньше В, но необязательно, что #(x,A) <#(x,B).
Операции над комплектами.
Над комплектами определены 4 операции:
1. объединение: для комплектов А и В объединением явл комплект, для кот #(x,A объединенное с B)=max (#(x,A),#(x,B))
2. пересечение: явл комплект, для кот #(x,A пересечение с B)=min (#(x,A),#(x,B))
3. сумма: А+В явл комплект, для кот #(x,A + B)=#(x,A)+#(x,B)
4. разность: А-В явл комплект, для кот #(x,A - B)=#(x,A)-#(x,B)
Операции объединения, пересечения и сумма- коммутативные и ассоциативные. Кроме того, справедливы отношения
|
|
|
#(x,A пересечение с B)<=A<= #(x,A объединенное с B)
#(x,A - с B)<=A<= #(x,A + с B)
Различия между суммой и объединением:
|#(x,A объединенное с B)| <= |A| объединенное с |B|
|A+B|=|A| + |B|
Пусть D мн-во эл-тов, из кот строятся комплекты, пространством комплектов D в степени n наз мн-во, эл-ты кот принадлежат D и никакой эл-т не входит в комплект более n раз, иначе: B принадлежит D в степени n, x принадлежит B, x принадлежит Dв степени n, #(x,b)<=n
D в степени бесконечности – мн-во всех комплектов над D
Выбор критериев оптимальности, понятие «принятие решения», целевая функция.
На разных этапах проектирования тех объектов встает задача выбора наилучшего варианта из мн-ва допустимых проектных решений, удовлетворяющих требованиям.
Принятие решения- компромисс среди различных факторов (технических, экономических, научных, социальных и человеческих)., принять «правильное решение», выбрать вариант оптимальный с учетом разнообразных факторов. Задача оптимального проектирования заключается в определении вектора Х=(х1,х2,…) оптимальных конструктивных пар-ров проектируемого объекта, исходя из технических и технико-экономических критериев оптимальности и поставленных ограничений. Переменные проектирования Хi явл внутренними переменными, допускающие варьирование. От того как составлен комплекс критериев зависит успех разработки. Процесс принятия решения при оптимальном проектировании характеризуют след основные черты: наличие цели (критериев оптимальности) и альтернативных вариантов проектируемого объекта с учетом существенных факторов при проектировании. Если при проектировании можно выделить один параметр, кот отдается предпочтение и кот наиболее полно характеризует св-ва проектируемого объекта, то этот параметр можно принять за целевую функцию (ц.ф.).
Такой выбор ц.ф. лежит в основе критериев оптимальности, наз частными критериями.
|
|
|
При оптимизации по частным критериям задача проектирования сводится к задаче оптимизации выборной ц.ф. при условии соблюдения определенных ограничений, одна часть параметров подпадает под категорию ограничений, а др. часть, на кот не накладываются ограничения, принимается такой, какой получилась при оптимизации ц.ф.
При разработке новых сложных техсистем задачу нельзя отнести к однокритериальной, обычно, часть пар-ров имеет увеличивающиеся значения при оптимизации, а др. пар-ры необходимо минимизировать. В тоже время, взаимосвязи между пар-рами не позволяют конструкторам системы увеличивать беспредельно пар-ры, повышающие качество системы, и уменьшать беспредельно те, кот улучшают систему. В таких системах нельзя при выборе вариантов рассматривать какую-либо одну характеристику. Необходимо принимать во внимание всю совокупность характеристик. Такие задачи проектирования, кот проводятся по нескольким критериям оптимизации, наз многокритериальными, или задачами векторной оптимизации.
Известные методы оптимизации сводят решение задачи к задачам скалярной оптимизации. Частные критерии Fi(x), i=от1 до n, тем или иным образом объединяют в состав критериев F(x)=Ф(F1(x),F2(x)…Fn(x)), кот затем максимизируется или минимизируется. В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий, различают критерии: аддитивные, мультипликативные, минимаксные (максимильные).
Если оптимизация ведется без учета статистического разброса характеристик, то соответствующий критерий оптимальности наз детерминированным, если учитывается, то есть статистический критерий.
Структурированный синтез систем. Основные понятия.
Понятие «синтез» технического объекта близко по содержание к понятию «проектирование». Задача синтеза тех.объекта состоит в том, чтобы по заданному фун-ному назначению объекта или закону его фун-ния получить проектное решение в виде некот. описания проектируемого объекта.
Синтез тех.объекта нацелен на создание нов. вариантов.
Анализ использования для оценки этих вариантов. При синтезе заранее должен быть задан:
4. допустимый набор используемых эл-тов (набор балок или балочных конструкций при проектировании строительных сооружений)
|
|
|
5. возможные правила их соединения между собой
6. способы определения ф-ции по синтезированной структуре объекта.
Под стр-рой объекта понимается набор составляющих его эл-тов и связи между ними.
Структура определяется как устроенный объект проектирования, из каких физ частей он состоит и как эти части связаны др. с др.
Под конструкцией понимают материализованную сов-ть соединенных между собой эл-тов, выполняющих заданные ф-ции.
На стр-ру и конструкцию любого проектируемого объекта всегда накладываются ограничения:
1. относится к методу решения задачи (наличие знаний, сроки выполнения, имеющиеся ср-ва проектирования)
2. требования ТЗ на пар-ры проектируемого объекта, требования стандартов, технологий изготовления узлов
3. формируется физ принципами реализации закона функционирования объекта и получаемых характеристик.
Доп ограничения связаны со способами и формами взаимодействия объекта с внешней средой.
Для решения задачи синтеза необходимо выбрать критерий оптимальности проектируемого объекта, т.е. составить ц.ф.
В качестве критерия оптимальности может быть принята его стоимость, КПД, потребляемая мощность и т.д.
При проектировании важно определить оптимальные варианты структур и конструкций машин и устройств, пар-ров схем, режимов работы тех оборудования.
Под оптимальным вариантом понимается такой вариант стр-ры и конструкции, пар-ры кот удовлетворяют всем: системным, конструкторским, технологическим, электрическим, экономическим требованиям ТЗ, а критерий оптимальности принимает максимальное/минимальное значение.
При оптимальном проектировании необходимо обосновать критерий оптимальности и определить мн-во показателей тета=(v1,..vn), на кот наложено мн-во ограничений V=(V1,V2..Vn)
Для решения задачи синтеза тех объекта выделяют сов-ть независимых переменных Х=(х1,х2,..хm), фиксация значений кот определяет один из вариантов объекта. Переменные Х=(х1,х2,..хm) наз переменными проектирования и в зависимости от объекта могут характеризовать кол-во узлов, представлять геометрические размеры изделия.
|
|
|
Критерий оптимальности F(x)=F(x1,x2,.. xm) и показатели тетаi(x)=тета (х1,х2,..хn), на значения кот наложены ограничения, явл ф-циями независимых переменных (х1,х2,… xm)
В формализованном виде задача синтеза тех объектов заключается в определении значений независимых переменных (х1,х2,… xm), при кот критерий оптимальности проектируемого объекта F(x)=F(x1,x2,.. xm) принимает экстремальное значение при условиях тетаi(x)=тета (х1,х2,..хn)>=0, aj<=xj<=bj.
Если ограничения имеют вид тетаi(x)=тета (х1,х2,..хn)>=0, то путем умножения на (-1) приведем к выр-нию тетаi(x)=тета (х1,х2,..хn)<=0. Эти ограничения могут быть заданы в виде ур-ний. Если в виде нер-в, то их можно привести к ур-ниям путем введения доп переменных xm+1-> тета (х1,х2,..хm,xm+1)=0
На ряд переменных может быть наложено условие целочисленности хр- целое число, р=1,q, q<=m. Кол-во ограничений n не может быть больше кол-ва переменных m (n<=m)
Разность (m-n) определяет число степеней свободы в данной задаче.
Только (m-n) переменных берутся произвольно, остальные определяются из степени ограничений.
Если m=n, задача становится алгебраической. Оптимизации ц.ф. при этом не требуется.
Задачи в виде указанных ур-ний представляют собой задачи мат программирования. Если ц.ф. и все ограничения линейны, то задача оптимизации наз задачей линейного программирования. В противном случае- задачей нелинейного программирования. В общем случае нелинейная ц.ф. может иметь несколько локальных экстремумов в допустимой обл, включая ее границу.
Разработано большое кол-во методов и эвристическим алгоритмов решения конкретных задач нелинейного программирования.
При проектировании тех объектов с использованием моделей и методов мат программирования оказывается удобной геометрич иллюстрация процесса получения оптимального решения.
Задачу структурного синтеза трудно формализовать из-за наличия большого кол-ва факторов, влияющих на св-ва и пар-ры объекта, а также из-за сложности решения задач оптимизации большой размерности.
Методы для упрощения решения задач большой размерности:
1. БИП, при кот процесс проектирования разбивается на взаимосвязанные иерархические уровни, синтезируется не вся сложная система, а отдельные блоки с соответ. уровнем детализации
2. проектирование на разных стадиях проектирования позволяет использовать разные процедуры структурного анализа, что упрощает задачу.
· Выбор основных принципов функционирования
· Выбор тех. решения в рамках принципов функционирования
· Выпуск тех. док-ции (рабочей)
|
|
|
В зависимости от возможной формализации различают такие виды задач:
1. полный перебор известных решений
2. задачи, кот невозможно решить перебором за приемлемое время
3. решение кот явл проблематичным
В общем случае- перебор вариантов, его сокращение явл актуальной задачей.
БИП уменьшает кол-во вариантов на каждом уровне и делает решение задачи реальным.
Матеем модели синтезируемых объектов чаще всего оказываются чувствительными к начальным условиям, к размерности задачи оптимизации, к виду ц.ф. и ограничений
|
|
|
