Производная и её приложения
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 141-150. Найти производные 141. а) в) 142. а) г) 143. а) г) 144. а) в) 145. а) г) 146. а) в) 147. а) в) 148. а) в) 149. а) г) 150. а) в) д) 101-110. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график. 191. 193. 195. 197. 199.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 231. Дана функция Показать, что 232. Дана функция Показать, что 233. Дана функция Показать, что 234. Дана функция Показать, что 235. Дана функция Показать, что 236. Дана функция 237. Дана функция Показать, что 238. Дана функция Показать, что
239. Дана функция Показать, что 240. Дана функция Показать, что
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. 251. z=x 2 +y 2 - 9 xy+ 27; 0≤ x ≤3, 0≤ y ≤3. 252. z=x 2 + 2 y 2 + 1; x ≥0, y ≥0, x + y ≤3. 253. z= 3-2 x 2 -xy - y 2; x ≤1, у ≤ х, у ≥0. 254. z=x 2 + 3 y 2+x-y; x ≥1, y ≥-1, х+y ≤1. 255. z=x 2 + 2 xy +2 y 2; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤2. 256. z= 5 x 2 - 3 xy + y 2 + 4; x ≥-1, y ≥-1, х+y ≤1. 257. z= 10+2 xy - x 2; 0≤ y ≤4- x 2. 258. z=x 2+2 xy -y 2 + 4 x; x ≤0, y ≤0, х+y +2≥0. 259. z=x 2 + xy -2; 4 x 2-4≤ y ≤0. 260. z=x 2+ xy; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤3.
261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор 261. 262. 263. 264. 265. 266. 267. 268. 269. 270.
Неопределённый и определённый интегралы 281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) в) 282. а) в) 283. а) в) 284. а) в) 285. а) в) 286. а) в) 287. а) в) 288. а) в) 289. а) в) 290. а) в)
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. 30 1. 30 3. 30 5. 30 7. 30 9.
Дифференциальные уравнения 321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения. 321. 323. 325. 327. 329.
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения 341. 342. 343. 344. 345. 346. 347. 348. 349. 350.
Двойные и криволинейные интегралы 351-360. Вычислить двойные интегралы по области D. 351. 352. 353. 354. 355. 356. 357. 358. 359. 360.
361 – 370. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры, ограниченной областью D. 361. Область D ограниченна линиями: 362. Область D ограниченна линиями: 363. Область D ограниченна линиями: 364. Область D ограниченна линиями: 365. Область D ограниченна лемнискатой: 366. Область D ограниченна линиями: 367. Область D ограниченна линиями: 368. Область D ограниченна линиями: 369. Область D ограниченна линиями: 370. Область D ограниченна лемнискатой:
371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы 371. 372.
А(2;4). 373.
374. 375. 376. 377. 378. 379. 380. Ряды 421-430. Исследовать сходимость числового ряда. 421. 423. 425. 427. 429. 431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда. 431. 433. 435. 437. 439.
441-450. Вычислить определенный интеграл 441. 443. 445. 447. 449. 451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения 451. 452. 453. 454. 455. 456. 457. 458. 459. 460.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольных работах. Задания 11 – 20 Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5] Гл. I –IV, стр.39 – 91. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти: 1. длину ребра АВ; 2. угол между ребрами АВ и AS; 3. угол наклона ребра AS к основанию пирамиды; 4. площадь основания пирамиды; 5. объем пирамиды; 6. уравнение прямой АВ; 7. уравнение плоскости АВС; 8. проекцию вершины S на плоскость АВС; 9. длину высоты пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5). Решение 1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками: 2) Угол между рёбрами
3) Найдем координаты вектора Найдем координаты вектора Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол
φ
Отсюда получаем 4) Площадь
5) Объём пирамиды
7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору 6) Уравнение прямой Канонические уравнения прямой, вектор 7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору 8) Для определения проекции вершины а) составляется уравнение высоты пирамиды б) находится точка пересечения высоты и основания Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору Он будет направляющим для
Подставив во второе уравнение, найдём значение Точка 9) Длину высоты Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).
Задания 51 – 60 Дана система линейных уравнений Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса. а) Матричный метод Данной системе соответствует матричное уравнение
Находим обратную матрицу Находим матрицу
б) Метод Крамера
Вычислим все определители
в) Метод Гаусса Составим расширенную матрицу Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные
Вторая строка соответствует уравнению:
Аналогично из первой строки напишем уравнение: Итак:
Задания 91 – 100. Дано комплексное число Записать число Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101. Найдём алгебраическую форму комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа
Изобразив число на плоскости, найдём
Итак, число Найдём корни уравнения
Задания 111 – 120 Вычислить пределы: а) За скобку выносили наивысшую степень б) Для исключения неопределённости в) В данном случае для исключения неопределённости г) д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю.
Задания 111 – 120 Задана функция Сделать чертёж.
Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах. Проверим непрерывность в граничных точках.
Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке
Пределы различны, значит в точке График функции выполните самостоятельно. Обратите внимание на учебное пособие [5], ч.I, гл.IV, §§4 – 6.
Задания 141– 150 Найти производные а) в) д) б) в) г) Прологарифмируем обе части равенства Продифференцируем обе части равенства д) Функция
Задания 151 – 160 Найти Решение: а) б)
Задания 191 – 200 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график. Рассмотрим свойства функции: 1. Область определения: 2. Чётностьь, нечётность функции: Функция общего вида. 3. Асимптоты. а) Так как б) Найдём Найдём
4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции: Так как Производная
5. Точки пересечения с координатными осями а) с осью б) с осью Используя исследование функции, строим график (схематично).
Задания 231-240 Показать, что функция Находим частные производные по
Подставим в равенство частные производные.
Равенство верно.
Задания 251-260 Найти наименьшее и наибольшее значения функции в области D =(ABCD):
|
|
|