Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Производная и её приложения




141-150. Найти производные данных функций.

141. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

142. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

143. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

144. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

145. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

146. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

147. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

148. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

149. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

150. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

101-110. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

191. . 192. .

193. . 194. .

195. . 196. .

197. . 198. .

199. . 200. .

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

231. Дана функция .

Показать, что .

232. Дана функция .

Показать, что .

233. Дана функция .

Показать, что .

234. Дана функция .

Показать, что .

235. Дана функция .

Показать, что .

236. Дана функция . Показать, что .

237. Дана функция .

Показать, что .

238. Дана функция .

Показать, что .

 

 

239. Дана функция .

Показать, что .

240. Дана функция .

Показать, что .

 

251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

251. z=x 2 +y 2 - 9 xy+ 27; 0≤ x ≤3, 0≤ y ≤3.

252. z=x 2 + 2 y 2 + 1; x ≥0, y ≥0, x + y ≤3.

253. z= 3-2 x 2 -xy - y 2; x ≤1, ух, у ≥0.

254. z=x 2 + 3 y 2+x-y; x ≥1, y ≥-1, х+y ≤1.

255. z=x 2 + 2 xy +2 y 2; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤2.

256. z= 5 x 2 - 3 xy + y 2 + 4; x ≥-1, y ≥-1, х+y ≤1.

257. z= 10+2 xy - x 2; 0≤ y ≤4- x 2.

258. z=x 2+2 xy -y 2 + 4 x; x ≤0, y ≤0, х+y +2≥0.

259. z=x 2 + xy -2; 4 x 2-4≤ y ≤0.

260. z=x 2+ xy; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤3.

 

261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор . Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

261. .

262. .

263. .

264. .

265. .

266. .

267. .

268. .

269. .

270. .

 

Неопределённый и определённый интегралы

281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.

281. а) ; б) ;

в) ; г) .

282. а) ; б) ;

в) ; г) .

283. а) ; б) ;

в) ; г) .

284. а) ; б) ;

в) ; г) .

285. а) ; б) ;

в) ; г) .

286. а) ; б) ;

в) ; г) .

287. а) ; б) ;

в) ; г) .

288. а) ; б) ;

в) ; г) .

289. а) ; б) ;

в) ; г) .

290. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

30 1. . 30 2. .

30 3. . 30 4. .

30 5. . 306. .

30 7. . 30 8. .

30 9. . 310. .

 

Дифференциальные уравнения

321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.

321. . 322. .

323. . 324. .

325. . 326. .

327. . 328. .

329. . 330. .

 

341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

341. ; , .

342. ; , .

343. ; , .

344. ; , .

345. ; , .

346. ; , .

347. ; , .

348. ; , .

349. ; , .

350. ; , .

 

Двойные и криволинейные интегралы

351-360. Вычислить двойные интегралы по области D.

351. , где D – область, ограниченная линиям

352. , где D – область, ограниченная линиями

353. , где D – область, ограниченная линиями

354. , где D – область, ограниченная линиями

355. где D – область, ограниченная линиями

356. , где D – область, ограниченная линиями

357. где D – область, ограниченная линиями

358. где D – область, ограниченная линиями

359. , где D – область, ограниченная линиями

360. где D – область, ограниченная линиями

.

361 – 370. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры, ограниченной областью D.

361. Область D ограниченна линиями: (І четв.)

362. Область D ограниченна линиями: .(І четв.)

363. Область D ограниченна линиями: . (І четв.)

364. Область D ограниченна линиями:

365. Область D ограниченна лемнискатой: (І четв.)

366. Область D ограниченна линиями:

367. Область D ограниченна линиями:

368. Область D ограниченна линиями:

369. Область D ограниченна линиями:

370. Область D ограниченна лемнискатой:

 

371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы

371. где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.

372. где L – дуга параболы от точки О (0;0) до точки

А(2;4).

373. где L – контур прямоугольника, образованного прямыми

в положительном направлении (против часовой стрелки).

374. вдоль кривой .

375. вдоль кривой от точки О (0;0) до точки А(1;1).

376. вдоль отточки О (0;0) до точки А(1;1).

377. , где L – четверть окружности 0 , против часовой стрелки.

378. , где L – первая арка циклоиды 0 .

379. вдоль линии от точки О (0;0) до точки А(1;1).

380. вдоль отрезка ОА, О (0;0), .

Ряды

421-430. Исследовать сходимость числового ряда.

421. . 422. .

423. . 424. .

425. . 426. .

427. . 428. .

429. . 430. .

431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.

431. . 432. .

433. . 434. .

435. . 436. .

437. . 438. .

439. . 440. .

 

441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.

441. . 442. .

443. . 444. .

445. . 446. .

447. . 448. .

449. . 450. .

451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

451.

452.

453.

454.

455.

456.

457.

458.

459.

460.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольных работах.

Задания 11 – 20

Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5]

Гл. I –IV, стр.39 – 91.

В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

1. длину ребра АВ;

2. угол между ребрами АВ и AS;

3. угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4. площадь основания пирамиды;

5. объем пирамиды;

6. уравнение прямой АВ;

7. уравнение плоскости АВС;

8. проекцию вершины S на плоскость АВС;

9. длину высоты пирамиды

SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

Решение

1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

3) Найдем координаты вектора

Найдем координаты вектора

Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол между ребром AS и гранью ABC является дополнительным к углу α между векторами

α

 

φ

 

 

Отсюда получаем

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

,

5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Формула для нахождения объема V пирамиды:

7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)

6) Уравнение прямой , проходящей через точки

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой

7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняютсяследующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды .

б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.

Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору или - нормали плоскости (ABC.

Он будет направляющим для По уравнению координаты вершины , т.е.

. Так как точка О – пересечение прямой (SO) и плоскости (ABC), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений

, которую можно решить подстановкой

Подставив во второе уравнение, найдём значение , и следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле расстояния между точками S и O или по формуле расстояния d от точки до плоскости :

Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).

 

Задания 51 – 60

Дана система линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) Матричный метод

Данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

 

Находим обратную матрицу

Находим матрицу

 

б) Метод Крамера

- формулы Крамера.

Вычислим все определители

 

в) Метод Гаусса

Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.

Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .

Вторая строка соответствует уравнению:

или

Аналогично из первой строки напишем уравнение:

Итак:

 

Задания 91 – 100.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

 

Изобразив число на плоскости, найдём и .

-1

 

Итак, число

Найдём корни уравнения

вычислим по формуле Муавра

 

Задания 111 – 120

Вычислить пределы:

а)

За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.

б)

Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

в)

В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые,например

г)

д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю.

 

Задания 111 – 120

Задана функция Найти точки разрыва, если они существуют.

Сделать чертёж.

.

Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах.

Проверим непрерывность в граничных точках.

найдём односторонние пределы

Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке . Значит функция в этой точке непрерывна.

 

аналогично

Пределы различны, значит в точке функция имеет разрыв с конечным скачком.

График функции выполните самостоятельно.

Обратите внимание на учебное пособие [5], ч.I, гл.IV, §§4 – 6.

 

Задания 141– 150

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

 

Задания 151 – 160

Найти функций:

Решение:

а)

б)

 

Задания 191 – 200

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:

б) – наклонная асимптота.

Найдём

Найдём

– уравнение наклонной асимптоты.

 

 

4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:

Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

 

Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие [5]? Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.

Задания 231-240

Показать, что функция удовлетворяет равенству:

Находим частные производные по и по :

Подставим в равенство частные производные.

;

Равенство верно.

 

Задания 251-260

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в области D =(ABCD):

 

y

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...