 |
Производная и её приложения
|
|
|
|
141-150. Найти производные 
данных функций.
141. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
142. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
143. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
144. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
145. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
146. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
147. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
148. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
149. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
150. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
.
101-110. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. 
. 192. 
.
193. 
. 194. 
.
195. 
. 196. 
.
197. 
. 198. 
.
199. 
. 200. 
.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция 
.
Показать, что 
.
232. Дана функция 
.
Показать, что 
.
233. Дана функция 
.
Показать, что 
.
234. Дана функция 
.
Показать, что 
.
235. Дана функция 
.
Показать, что 
.
236. Дана функция 
. Показать, что 
.
237. Дана функция 
.
Показать, что 
.
238. Дана функция 
.
Показать, что 
.
239. Дана функция 
.
Показать, что 
.
240. Дана функция 
.
Показать, что 
.
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x 2 +y 2 - 9 xy+ 27; 0≤ x ≤3, 0≤ y ≤3.
252. z=x 2 + 2 y 2 + 1; x ≥0, y ≥0, x + y ≤3.
253. z= 3-2 x 2 -xy - y 2; x ≤1, у ≤ х, у ≥0.
254. z=x 2 + 3 y 2+x-y; x ≥1, y ≥-1, х+y ≤1.
255. z=x 2 + 2 xy +2 y 2; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤2.
256. z= 5 x 2 - 3 xy + y 2 + 4; x ≥-1, y ≥-1, х+y ≤1.
257. z= 10+2 xy - x 2; 0≤ y ≤4- x 2.
258. z=x 2+2 xy -y 2 + 4 x; x ≤0, y ≤0, х+y +2≥0.
259. z=x 2 + xy -2; 4 x 2-4≤ y ≤0.
260. z=x 2+ xy; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤3.
261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор 
. Найти: 1) 
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .
261. 
.
262. 
.
263. 
.
264. 
.
265. 
.
266. 
.
267. 
.
268. 
.
269. 
.
270. 
.
Неопределённый и определённый интегралы
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
|
|
|
281. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
282. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
283. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
284. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
285. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
286. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
287. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
288. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
289. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
290. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
30 1. 
. 30 2. 
.
30 3. 
. 30 4. 
.
30 5. 
. 306. 
.
30 7. 
. 
30 8. 
.
30 9. 
. 310. 
.
Дифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. 
. 322. 
.
323. 
. 324. 
.
325. 
. 326. 
.
327. 
. 328. 
.
329. 
. 330. 
.
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
, 
.
341. 
; 
, 
.
342. 
; 
, 
.
343. 
; , .
344. 
; 
, .
345. 
; , 
.
346. 
; , .
347. 
; , .
348. 
; 
, .
349. 
; , 
.
350. 
; 
, .
Двойные и криволинейные интегралы
351-360. Вычислить двойные интегралы по области D.
351. 
, где D – область, ограниченная линиям 
352. 
, где D – область, ограниченная линиями 
353. 
, где D – область, ограниченная линиями 
354. 
, где D – область, ограниченная линиями 
355. 
где D – область, ограниченная линиями 
356. 
, где D – область, ограниченная линиями 
357. 
где D – область, ограниченная линиями 
358. 
где D – область, ограниченная линиями 
359. , где D – область, ограниченная линиями 
360. 
где D – область, ограниченная линиями
.
361 – 370. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры, ограниченной областью D.
361. Область D ограниченна линиями: 
(І четв.)
362. Область D ограниченна линиями: 
.(І четв.)
363. Область D ограниченна линиями: 
. (І четв.)
364. Область D ограниченна линиями: 
365. Область D ограниченна лемнискатой: 
(І четв.)
366. Область D ограниченна линиями: 
367. Область D ограниченна линиями: 
368. Область D ограниченна линиями: 
369. Область D ограниченна линиями: 
370. Область D ограниченна лемнискатой: 
371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы
371. 
где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой 
в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.
372. 
где L – дуга параболы 
от точки О (0;0) до точки
|
|
|
А(2;4).
373. 
где L – контур прямоугольника, образованного прямыми
в положительном направлении (против часовой стрелки).
374. 
вдоль кривой 
.
375. 
вдоль кривой от точки О (0;0) до точки А(1;1).
376. 
вдоль 
отточки О (0;0) до точки А(1;1).
377. 
, где L – четверть окружности 
0 
, против часовой стрелки.
378. 
, где L – первая арка циклоиды 
0 
.
379. 
вдоль линии 
от точки О (0;0) до точки А(1;1).
380. 
вдоль отрезка ОА, О (0;0), 
.
Ряды
421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
421. 
. 422. 
.
423. 
. 424. 
.
425. 
. 426. 
.
427. 
. 428. 
.
429. 
. 430. 
.
431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
431. 
. 432. 
.
433. 
. 434. 
.
435. 
. 436. 
.
437. 
. 438. 
.
439. 
. 440. 
.
441-450. Вычислить определенный интеграл 
с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.
441. 
. 442. 
.
443. 
. 444. 
.
445. 
. 446. 
.
447. 
. 448. 
.
449. 
. 450. 
.
451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения 
дифференциального уравнения 
, удовлетворяющего начальному условию 
.
451. 
452. 
453. 
454. 
455. 
456. 
457. 
458. 
459. 
460. 
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
В данном разделе приведены образцы выполнения заданий, содержащихся в контрольных работах.
Задания 11 – 20
Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5]
Гл. I –IV, стр.39 – 91.
В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
1. длину ребра АВ;
2. угол между ребрами АВ и AS;
3. угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4. площадь основания пирамиды;
5. объем пирамиды;
6. уравнение прямой АВ;
7. уравнение плоскости АВС;
8. проекцию вершины S на плоскость АВС;
9. длину высоты пирамиды
SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).
Решение
1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками:
2) Угол между рёбрами 
найдём по формуле косинуса угла между векторами 
, координаты которых определяются так:
3) Найдем координаты вектора 
Найдем координаты вектора 
Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол 
между ребром AS и гранью ABC является дополнительным к углу α между векторами 
α
φ
Отсюда получаем
4) Площадь 
определяем с помощью векторного произведения:
,
5) Объём пирамиды 
находится через вычисление смешанного произведения векторов 
Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Формула для нахождения объема V пирамиды:
|
|
|
7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору 
, проходящей через точку А(-3;0;0)
6) Уравнение прямой 
, проходящей через точки 
Канонические уравнения прямой, вектор 
направляющий вектор прямой 
7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)
8) Для определения проекции вершины 
на плоскость 
выполняютсяследующие действия:
а) составляется уравнение высоты пирамиды 
.
б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.
Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору 
или 
- нормали плоскости (ABC.
Он будет направляющим для 
По уравнению 
координаты вершины , т.е. 
. Так как точка О – пересечение прямой (SO) и плоскости (ABC), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений
, которую можно решить подстановкой
Подставив во второе уравнение, найдём значение 
, и следовательно значения
Точка 
- проекция точки на плоскость 
9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле расстояния 
между точками S и O или по формуле расстояния d от точки 
до плоскости 
:
Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).
Задания 51 – 60
Дана система линейных уравнений
Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.
а) Матричный метод
Данной системе соответствует матричное уравнение 
, которое решается по формуле: 
. Матрицы имеют вид:
Находим обратную матрицу
Находим матрицу 
б) Метод Крамера
- формулы Крамера.
Вычислим все определители
в) Метод Гаусса
Составим расширенную матрицу 
и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.
Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные 
и 
. Найдём 
. 
.
|
|
|
Вторая строка соответствует уравнению:
или 
Аналогично из первой строки напишем уравнение:
Итак: 
Задания 91 – 100.
Дано комплексное число 
Записать число 
в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения 
Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.
Найдём алгебраическую форму комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа 
определится по формуле 
.
Изобразив число на плоскости, найдём 
и 
.
-1 
Итак, число 
Найдём корни уравнения 
вычислим по формуле Муавра
Задания 111 – 120
Вычислить пределы:
а) 
За скобку выносили наивысшую степень 
для числителя и знаменателя.
б) 
Для исключения неопределённости 
требуется числитель и знаменатель разложить на множители.
в) 
В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые,например 
г) 
д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю.
Задания 111 – 120
Задана функция 
Найти точки разрыва, если они существуют.
Сделать чертёж.
.
Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах.
Проверим непрерывность в граничных точках.
найдём односторонние пределы
Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке . Значит функция в этой точке непрерывна.
аналогично
Пределы различны, значит в точке 
функция имеет разрыв с конечным скачком.
График функции выполните самостоятельно.
Обратите внимание на учебное пособие [5], ч.I, гл.IV, §§4 – 6.
Задания 141– 150
Найти производные 
следующих функций:
а) 
б) 
;
в) 
г) 
;
д) 
.
б) 
в) 
г) 
Прологарифмируем обе части равенства
Продифференцируем обе части равенства
д) 
Функция 
задана неявно. Учитываем, что 
аргумент, 
функция.
Задания 151 – 160
Найти 
функций:
Решение:
а) 
б) 
Задания 191 – 200
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.
Рассмотрим свойства функции:
1. Область определения: 
2. Чётностьь, нечётность функции: 
Функция общего вида.
3. Асимптоты.
а) Так как 
, то прямая 
является вертикальной асимптотой:
б) 
– наклонная асимптота.
Найдём 
Найдём 
– уравнение наклонной асимптоты.
4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:
Так как 
то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.
Производная 
на всей области определения, значит функция
убывает.
|
|
|
5. Точки пересечения с координатными осями
а) с осью 
при 
,
б) с осью 
при 
.
Используя исследование функции, строим график (схематично).
Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие [5]? Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.
Задания 231-240
Показать, что функция 
удовлетворяет равенству:
Находим частные производные по 
и по 
:
Подставим в равенство частные производные.
;
Равенство верно.
Задания 251-260
Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в области D =(ABCD): 
y
