Уравнение Даниила Бернулли.

Выделим двумя нормальными к линиям тока се­чениями 1 - 1 и 2 - 2 отсек жидкости, который будет находиться под действием сил давления и сил тяжести dG Под действием этих сил через малый про­межуток времени отсек жидкости из своего первона­чального положения переместится в положение между __сечениями

Силы давления, приложен­ные к живым сечениям отсека с правой и с левой сторон имеют противоположные друг другу направления.

Перемещение всего отсека жидкости можно заменить перемещением массы жидко­сти между сечениями: 1-1иГ-Г в положение 2-2и2'-2', при этом центральная часть отсека жидкости (можно утверждать) своего первоначального положения не меняет и в движении жидкости участия не принимает.
Тогда работа сил давления по перемещению жидкости можно определить сле­дующим образом:

Работа сил тяжести будет равна работе по перемещению веса отсека жидкости на разницу уровней

При перемещении отсека жидкости кинетическая энергия изменится на величину:
f
Теперь запишем общее уравнение баланса энергии:

Разделив все элементы уравнения на dG и, переместив в левую часть уравнения ве­личины с индексами «1» а в правую - с индексом «2», получим:

Это последнее уравнения носит название уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг гидравлических задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β.

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту . В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию.Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z₁ и z₂ - удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;
- удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;
- удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис.2.1, можно заметить, что z₁ и z₂ - геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения; - пьезометрические высоты; - скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии.

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α₁ и α₂, которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости (α = 2 для ламинарного режима, α = 1 для турбулентного режима).

Потерянная высота складывается из потерь по длине, вызванных силой трения между слоями жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)

= h_лин + h_мест

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ₁ω ₁ = υ₂ω₂.

Условия применимости уравнения Бернулли следующие:

1. Движение установившиеся; из массовых сил действует только сила тяжести.

2. Сечения берутся только там, где поток параллельноструйчатый или плавно изменяющийся. При этом совсем не обязательно, чтобы поток на всем участке между рассматриваемыми сечениями был близким к параллельноструйчатому.

3. Для сжимаемой жидкости движение должно происходить при постоянном давлении и температуре без разрывов струй и образований пустот.

Сечения потока плоские и перпендикулярны векторам скорости.
Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Перед тем, как записать уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости необходимо оговорить два момента. Поток жидкости отличается от элементарной струйки тем, что он имеет реальные размеры поперечного сечения, которые могут быть довольно значительных размеров. Распределение давлений и скоростей по сечению потока может быть неравномерным.

Рассмотрим распределение давления. В плоскости перпендикулярной направлению движения, гидродинамическое давление распределяется по закону гидростатики. В связи с этим справедливо условие:

т.е. сумма отметки z и пьезометрической высоты во всех точках сечения потока остается одинаковой, хотя меняется для различных сечений.

В связи с тем, что распределение местных скоростей U в плоскости сечения потока неравномерно и в большинстве случаев неизвестно, то возникают трудности с определением кинетической энергии потока, т.е. с третьим слагаемым в уравнении Бернулли . Поэтому вводим корректирующий коэффициент ±, представляющий собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в сечении. Корректив ± называется коэффициентом кинетической энергии потока или коэффициентом Кориолиса, и отражает неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.

Для наиболее распространенных случаев движения жидкости значения ± следующее: при ламинарном движении в круглой трубе ± = 2, при турбулентном – зависит от режима и принимает значение ± = 1,1 1,3. Обычно ± определяют опытным путем.

С учетом вышесказанного, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости может быть записано в виде:

где Uср1, и Uср2 – средние скорости в сечениях 1 и 2;

– потери энергии на преодоление сопротивлений между сечениями 1 и 2.

Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью движения, давления и геометрическим положением любой точки сечения потока, для которого это написано.

Рассмотрение энергетической и геометрической интерпретации уравнения Бернулли

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и представляет удельную энергию, отнесенную к единице веса жидкости и подсчитанную относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Такая удельная энергия потока состоит из удельной потенциальной энергии где z – энергия положения, - энергия давления, и удельной кинетической энергии потока . С теоретической точки зрения потери энергии на преодоление сопротивления безвозвратно теряются для потока, т.е. часть механической энергии превращается в тепловую.

С геометрической точки зрения в уравнение Бернулли входят следующие линейные величины:

z – геометрическая высота положения (геометрический напор);

или пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р;

в каждом сечении называется пьезометрическим (при р=ризб) или гидростатическим напором;

- скоростной напор;

0 – гидродинамический или полный напор;

- потеря напора на преодолении сопротивлений.

Геометрическое место точек верхних концов отрезка суммы называется пьезометрической линией Н (на рис.5.2 показана штриховкой). Изменение пьезометрической линии на единицу длинны поток называется пьезометрическим уклоном ip.

Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы называется напорной линией или линией удельной энергии Но, которая для потока идеальной жидкости т.е. без потерь энергии, будет горизонтальной. При движении вязкой жидкости изменение напорной линии на единицу длинны потока называется гидравлическим уклоном .

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: