 |
Виды задач, решаемых методом координат
|
|
|
|
Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.
1. Пользуясь координатами можно истолковать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функции первый пример такого применения метода координат.
2. Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Например, можно выразить через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками.
В связи с усилением роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становиться проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих 2 видов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.
Примером задач первого вида может служить следующая:
«В треугольнике ABC, AB=c, AC=b, BC=a, BD - медиана.
Доказать, что 
»
Задача: «Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная» - является примером задач второго вида.
Решения этих задач были разобраны выше.
Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов.
|
|
|
Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 11). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности 
. Используя это уравнение находим координаты точек Р(
) и М(
). Необходимо доказать, что АМ2+АР2 не зависит от переменной b. Найдем АМ2 и АР2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: 
. Они соответственно равны 
и 
, а их сумма после приведения подобных равна 2а2+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)
Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.
Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть (
) и (
). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.
AD2 = 
; BC2= 
; DC2= 
; AB2= 
;
AC 2= 
; BD 2= 
; LP 2= 
.
Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.
AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2
+ 
+ + 
= 
+ 
+4 
Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.
|
|
|
Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.
Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 13).
Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0, 
). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение 
и окружности, заданной уравнением 
. Получаем, что точка Е имеет координаты (
). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.
Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением 
. Она пересекает ось Ох в точке (
, 0). Отсюда координаты точки L(, 0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.
Задачи
1. Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.
2. Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.
3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а)2+(у-с)2= r 2
4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0
5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.
6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4).
7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.
8. Доказать, что для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство:
АВ2*РС+АС*ВР-АР2*ВС=ВС*ВР*РС.
9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки, принадлежащей плоскости этого прямоугольника до его вершин, в два раза больше суммы квадратов расстояний от этой точки до сторон прямоугольника.
10. Доказать, что если через некоторую точку М провести прямую, пересекающую окружность в точках А и В, то произведение МА*МВ постоянно и не зависит от положения прямой.
|
|
|
11. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA2+MC2=MB2+MD2. (ответ: множество точек М есть плоскость)
12. Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, для которых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)
13. Дан прямоугольный треугольник ABC (ÐC=90°). Найти множество точек Р, для которых 2РС2=РА2+РВ2. (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).
Опытное преподавание
Опытное преподавание проводилось в 9 классе средней общеобразовательной школы №51. Перед его проведением была изучена математическая и методическая литература и разработана методика проведения факультатива. Было проведено 2 занятия. В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [2], поэтому в качестве основного теоретического и практического источника я выбрала данный методический комплект.
I. Занятия проводились по теме «Простейшие задачи в координатах», до ознакомления с которыми учащиеся изучали тему «Векторы», познакомились с понятием «координаты вектора», а также узнали формулу середины отрезка.
1 занятие: «Простейшие задачи в координатах»
Образовательная цель урока – рассмотреть задачи о вычислении длины вектора по его координатам и по координатам его начала и конца; показать, как они используются при решении других задач.
Содержание урока:
Ø Вначале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке, а также для проведения пропедевтической работы по повторению тех понятий и фактов, которые будут использованы при объяснении нового материала.
Устный счет:
1. Координаты точек А(-2, 3) и В(2, -4). Найдите координаты векторов 
и 
.
2. Координаты точек М(5,-8) и Р(-3, 4). Найдите координаты точки О (О – середина отрезка МР).
3. СР – диагональ окружности; С(-2, -1), Р(5, 7). Найдите координаты центра окружности – точки Е.
4. ABCD – прямоугольник, АD=7, АВ=5. Найдите АС.
Ø Новый материал:
1) Вычисление длины вектора по его координатам.
|
|
|
Вывод формулы опирается на теорему Пифагора и на то, что расстояние между двумя точками оси координат находится по формулам 
(для точек 
; 
оси х) и 
(для точек 
; 
оси у). Покажем, что длина вектора 
равна 
. Данная формула доказывается только для случая, когда х ≠0 и у ≠0, в достоверности других случаев учащимся предоставляется убедиться самостоятельно. Для доказательства задаем координатную плоскость и рассматриваем вектор 
с началом в начале координат (по теореме: от любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом единственный). Используя формулу для нахождения координат вектора по координатам его начала и конца, можем найти координаты точки А. Далее с помощью теоремы Пифагора находим длину отрезка ОА= 
. следовательно, их длины раны, т.о. 
.
Далее показывается применение данной формулы.
2) Расстояние между двумя точками.
Нахождение данной формулы опирается на использование предыдущей. Пусть имеются точки М1(х1,у1)и М2(х2,у2), необходимо найти расстояние между этими точками. Рассмотрим вектор М1М2. Его координаты равны 
. Находим длину вектора по его координатам: 
, а расстояние между М1 и М2 это длина вектора 
. После выведения данной формулы можно записать формулу 
и показать, что они эквивалентны.
Ø Закрепление: для закрепления используется ряд задач на применение данных формул.
1. Найдите длины векторов: а) 
; b) 
[2: № 938]
2. Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0,1), В(1, -4), С(5,2). [2: № 942]
3. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b, c), а ОА=а. Найдите а)координаты вершины С; b)сторону АС и диагональ СО. [2: № 944].
Ø Домашнее задание № 939, 941 [2]
2 занятие: «Простейшие задачи в координатах». (урок – закрепление)
Общеобразовательная цель урока: показать, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверить усвоение знаний, полученных на прошлом уроке.
Содержание урока:
Ø В начале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке.
Устный счет: записать координаты
●Середины отрезка ● 
Координаты вектора
 |
· Длины вектора 
· Расстояние между точками М и N.
Ø Решение задач.
1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если А(0,1), В(1,-4), С(5,2).
2. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если N(6,1), P(7,4), Q(2,4), М(1,1). [2: № 950(а)]
Ø Самостоятельная работа.
| I. Вариант |
1. Найдите координаты и длину вектора  , если  ,  ,  .
|
| 2. Даны координаты вершин треугольника АВС А(-6,1), В(2,4), С(2,-2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и найдите высоту проведенную из вершины А. |
| Дополнительно для обоих вариантов: Даны координаты вершин треугольника АВС А(-4,3), В(2,7), С(8,-2). Доказать, что треугольник прямоугольный. |
|
|
|
| II. Вариант |
1. Найдите координаты и длину вектора  , если  ,  ,  .
|
| 2. Дано А(-6,1), В(0,5), С(-6,4), Р(0,-8). Докажите, что АВСР прямоугольник и найдите координату точки пересечения его диагоналей. |
Ø Домашнее задание №945, 948(а)
II. Факультатив.
Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.
Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).
При доставке груза из пункта А расходы равны m +10 s 1. При доставке груза из пункта В расходы равны m +20 s 2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m +10 s 1 < m +20 s 2, откуда s 1 <2 s 2, в обратном случае получим s 1 >2 s 2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению
s 1 =2 s 2 (1)
Выразим s1 и 2s2 через координаты:
, 
.
Имея в виду (1), получим 
.
Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.
Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.
Решение:
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие 
записывается в координатах так:
.
Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.
Это равенство можно переписать так: 
или так: 
. Это уравнение окружности с центром в точке (
,0) и радиусом, равным 
. Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.
Задача 3.Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.
Решение:
Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с - длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности - (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:
a2+b2=R2,
(c-a)2+b2=R2,
(q-a)2+(h-b)2=R2.
Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е. (x-a)2+(y-b)2=R2, а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:
, 
,
.
Задача решена, так как мы нашли координаты центра и радиус. Причем следует заметить, что мы при решении задачи не прибегали к построению чертежа.
Домашнее задание:
1. Лестница, стоящая на гладком полу у стены соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?
2. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до сторон квадрата постоянна.
Краткий анализ проведенных занятий: Учащиеся на уроках активно принимали участие, особенно на первом при выводе формул, так как материал не сложный и использует факты и понятия, которые были изучены не так давно и повторены на устном счете. Также на 1 уроке удалось прорешать все запланированные задачи на закрепление, особую трудность вызвала задача № 3, в которой учащиеся долго не могли сделать чертеж и путались в формулах нахождения длины и координат вектора. Проведенная на следующем уроке самостоятельная работа показала, что практически все ученики усвоили материал (с работой не справились 2 человека из 26 учеников этого класса). Наибольшее количество ошибок было сделано в задаче № 2, при использовании формулы нахождения расстояния между 2 точками. Таким образом, можно предположить, что тема «Простейшие задачи в координатах» была успешно усвоена большинством учеников данного класса.
Заключение
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
В данной дипломной работе:
o проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»;
o описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат;
o выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их.
Также было проведено опытное преподавание, которое подтвердило гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.
Библиографический список
1. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов – М. Просвещение, 1988г. – 127с.
2. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение, 1992г.- 335с.
3. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд.- М. Просвещение, 1989г. – 304с.
4. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. – М. Мнемозина, 2001г. – 304с.
5. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]- М. Наука, 1973г. -87с.
6. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Просвещение, 2000г. – 368с.
7. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Дрофа, 1998г. – 416с.
8. Изучение координат в III – IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе - 1983г.- №4
9. Индивидуальные карточки по геометрии для 7-9 кл. / Т. М. Мищенко // Математика в школе – 2001г. - № 8
10. Итоги работы в 7 кл. по учебнику Шарыгина И. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко // Математика в школе - 2002г. №5
11. К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе – 1983г.- №2
12. К началу обучения геометрии 1-7 кл. // Математика в школе 1983г. - №6
13. Лускина М. Г. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ В. И. Зубарева – Киров ВГПУ, 1995г.
14. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко – М. Просвещение, 1988г. – 233с.
15. Метод координат / А. Савин // Квант -1977г. - №9
16. Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев – М. Просвещение 1987г. – 416с.
17. Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст] – М. Просвещение, 1991г. – 383с.
18. Новые компьютерные технологии. Координатная плоскость // Математика - Приложение к газ. «Первое сентября» – 2004г. №29
19. Нужна ли школе XXI века геометрия /И. Шарыгин // Математика - Приложение к газ. «1 сентября» – 2004г. №12
20. О конкретном учебнике геометрии для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян // Математика в школе – 1989г. - №1
21. Обсуждение одного учебника / И.Е Феоктистов // Математика в школе -2001г. №5
22. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 классов средней школы - М: Просвещение, 1990г. - 384с.
23. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст] – М. Наука, 1987г. – 128с.
24. Программа по математике для средней школы - М. Просвещение, 1998г. -205с.
25. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст] – М. Просвещение, 1995г. – 240с.
26. Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [Текст] – М. Просвещение, 1974г.- 315с.
27. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / О.А. Леонова // Математика в школе – 2001г. - №10
28. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. учеб. заведений [Текст] – М. Дрофа, 2000г. -368с.
|
|
|
