Основные понятия и методы механики

Законы классической механики справедливы по отношению к так называемым инерциальным, или галилеевым, системам отсчёта (см. Приложение). В пределах, в которых справедлива ньютонова механика, время можно рассматривать независимо от пространства. Промежутки времени практически одинаковы во всех системах отчета, каково бы ни было их взаимное движение, если относительная скорость их мала по сравнению со скоростью света.

Основными кинематическими мерами движения являются скорость, которая имеет векторный характер, так как определяет не только быстроту изменения пути со временем, но и направление движения, и ускорение – вектор, являющийся мерой измерения вектора скорости во времени. Мерами вращательного движения твердого тела служат векторы угловой скорости и углового ускорения. В статике упругого тела основное значение имеет вектор перемещения и соответствующий ему тензор деформации¹, включающий понятия относительных удлинений и сдвигов.

Основной мерой взаимодействия тел, характеризующей изменение во времени механического движения тела, является сила. Совокупности величины (интенсивности)

 

силы, выраженной в определенных единицах, направления силы (линии действия) и точки приложения определяют вполне однозначно силу как вектор.

В основе механики лежат следующие законы Ньютона. П е р в ы й з а к о н, или закон инерции, характеризует движение тел в условиях изолированности от других тел, либо при уравновешенности внешних воздействий. Закон этот гласит: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят его изменить это состояние. Первый закон может служить для определения инерциальных систем отсчета. В т о р о й з а к о н, устанавливающий количественную связь между приложенной к точке силой и вызываемым этой силой изменением количества движения, гласит: изменение движения происходит пропорционально приложенной силе и происходит в направлении линии действия этой силы. Согласно этому закону, ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе: данная сила F вызывает тем меньшее ускорение а тела, чем больше его инертность. Мерой инертности служит масса. По второму закону Ньютона сила пропорциональна произведению массы материальной точки на её ускорение; при надлежащем выборе единицы силы последняя может быть выражена произведением массы точки m на ускорение а:

F = ma.

Это векторное равенство представляет основное уравнение динамики материальной точки. Т р е т и й з а к о н Ньютона гласит: действию всегда соответствует равное ему и противоположно направленное противодействие, т. е. действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположных направлениях. В то время как первые два закона Ньютона относятся к одной материальной точке, третий закон является основным для системы точек. Наряду с этими тремя основными законами динамики имеет место закон независимости действия сил, который формулируется так: если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые точка имела бы под действием каждой силы в отдельности. Закон независимости действия сил приводит к правилу параллелограмма сил.

Кроме названных ранее понятий, в механике применяются и другие меры движения и действия. Важнейшими являются меры движения: векторная – количество движения p = mv, равное произведению массы на вектор скорости, и скалярная – кинетическая энергия E_k = ¹/₂ mv², равная половине произведения массы на квадрат скорости. В случае вращательного движения твердого тела инерционные свойства его задаются тензором инерции², определяющим в каждой точке тела моменты инерции и центробежные моменты относительно трех осей, проходящих через эту точку. Мерой вращательного движения твердого тела служит вектор момента количества движения, равный произведению момента инерции на угловую скорость. Мерами действия сил являются: векторная – элементарный импульс силы Fdt (произведение силы на элемент времени её действия), и скалярная – элементарная работа F*dr (скалярное произведение векторов силы и элементарного перемещения точки положения); при вращательном движении мерой воздействия служит момент силы.

Основные меры движения в динамике сплошной среды представляют собой непрерывно распределенные величины и, соответственно, задаются своими функциями распределения. Так, плотность определяет распределение массы; силы задаются их поверхностным или объёмным распределением. Движение сплошной среды, вызываемое приложенными к ней внешними силами, приводит к возникновению в среде напряженного состояния, характеризуемого в каждой точке совокупностью нормальных и касательных напряжений, представляемой единой физической величиной – тензором напряжений³. Среднее арифметическое трех нормальных напряжений в данной точке, взятое с обратным знаком, определяет давление (см. Приложение).

В основе изучения равновесия и движения сплошной среды лежат законы связи между тензором напряжения и тензором деформации или скоростей деформации. Таков закон Гука в статике линейно-упругого тела и закон Ньютона в динамике вязкой жидкости (см. Приложение). Эти законы – простейшие; установлены и другие соотношения, более точно характеризующие явления, происходящие в реальных телах. Существуют теории, учитывающие предшествующую историю движения и напряжения тела, теории ползучести, релаксации и другие (см. Приложение).

Соотношения между мерами движения материальной точки или системы материальных точек и мерами действия сил содержатся в общих теоремах динамики:

количеств движения, моментов количества движения и кинетической энергии. Эти теоремы выражают свойства движений как дискретной системы материальных точек, так и сплошной среды. При рассмотрении равновесия и движения несвободной системы материальных точек, т. е. системы, подчиненной заданным наперед ограничениям – механическим связям (см. Приложение), важное значение имеет применение общих принципов механики – принципа возможных перемещений и принципа Д’Аламбера. В применении к системе материальных точек принцип возможных перемещений состоит в следующем: для равновесия системы материальных точек со стационарными и идеальными связями⁴ необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил⁵ при всяком возможном перемещении системы была равна нулю (для связей неосвобождающих⁶) или же была равна нулю или меньше нуля (для связей освобождающих⁷). Принцип Д’Аламбера для свободной материальной точки гласит: в каждый момент времени силы, приложенные к точке, могут быть уравновешены добавлением к ним силы инерции.

При формулировке задач механика исходит из основных уравнений, выражающих найденные законы природы. Для решения этих уравнений применяют математические методы, причем многие из них зарождались и получали свое развитие именно в связи с проблемами механики. При постановке задачи всегда приходилось сосредотачивать внимание на тех сторонах явления, которые представляются основными. В случаях, когда необходимо учитывать и побочные факторы, а также в тех случаях, когда явление по своей сложности не поддается математическому анализу, широко применяется экспериментальное исследование. Экспериментальные методы механики базируются на развитой технике физического эксперимента. Для записи движений используются как оптические методы, так и методы электрической регистрации, основанные на предварительном преобразовании механического перемещения в электрический сигнал. Для измерения сил используются различные динамометры и весы, снабжаемые автоматическими приспособлениями и следящими системами. Для измерения механических колебаний широкое распространение получили разнообразные радиотехнические схемы. Особых успехов достиг эксперимент в механике сплошных сред. Для измерения напряжения используется оптический метод (см. Приложение), заключающийся в наблюдении нагружённой прозрачной модели в поляризованном свете. Для измерения деформации большое развитие в последние годы приобрело тензометрирование при помощи механических и оптических тензометров (см. Приложение), а также тензометров сопротивления. Для измерения скоростей и давлений в движущихся жидкостях и газах с успехом применяют термоэлектрические, ёмкостные, индукционные и другие методы.

 

 

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ

История механики, так же как и других естественных наук, неразрывно связана с историей развития общества, с общей историей развития его производительных сил. Историю механики можно разделить на несколько периодов, отличающихся как характером проблем, так и методами их решения.

Эпоха, предшествовавшая установлению основ механики. Эпоху создания первых орудий производства и искусственных построек следует признать началом накопления того опыта, который в дальнейшем служил основой для открытия основных законов механики. В то время как геометрия и астрономия античного мира представляли уже довольно развитые научные системы, в области механики были известны лишь отдельные положения, относящиеся к наиболее простым случаям равновесия тел. Ранее всех разделов механики зародилась статика⁸. Этот раздел развивался в тесной связи со строительным искусством античного мира.

Основное понятие статики – понятие силы – вначале тесно связывалось с мускульным усилием, вызванным давлением предмета на руку. Примерно к началу IV в. до н. э. уже были известны простейшие законы сложения и уравновешивания сил, приложенных к одной точке вдоль одной и той же прямой. Особый интерес привлекала задача о рычаге. Теория рычага была создана великим ученым древности Архимедом (III в. до н. э.) и изложена в сочинении “О рычагах”. Им были установлены правила сложения и разложения параллельных сил, дано определение понятия центра тяжести системы двух грузов, подвешенных к стержню, и выяснены условия равновесия такой системы. Архимеду же принадлежит открытие основных законов гидростатики. Свои

теоретические знания в области механики он применял к различным практическим вопросам строительства и военной техники. Понятие момента силы, играющее основную роль во всей современной механике, в скрытом виде уже имеется в законе Архимеда. Великий итальянский ученый Леонардо да Винчи (1452 – 1519) вводил представление о плече силы под видом “потенциального рычага”. Итальянский механик Гвидо Убальди (1545 – 1607) применяет понятие момента в своей теории блоков, где было введено понятие полиспаста. Полиспаст (греч. poluspaston, от polu - много и spaw - тяну) – система подвижных и неподвижных блоков, огибаемых канатом, используются для получения выигрыша в силе и, реже, для получения выигрыша в скорости. Обычно к статике принято относить ещё учение о центре тяжести материального тела. Развитие этого чисто геометрического учения (геометрия масс) тесно связано с именем Архимеда, указавшего, при помощи знаменитого метода исчерпывания, положение центра тяжести многих правильных геометрических форм, плоских и пространственных. Общие теоремы о центрах тяжести тел вращения дали греческий математик Папп (III в. н. э.) и швейцарский математик П. Гюльден в XVII в. Развитием своих геометрических методов статика обязана французскому математику П. Вариньону (1687); наиболее полно эти методы были разработаны французским механиком Л. Пуансо, трактат которого «Элементы статики» вышел в 1804 г. Аналитическая статика, основанная на принципе возможных перемещений, была создана знаменитым французским ученым Ж. Лагранжем.

С развитием ремесел, торговли, мореплавания и военного дела и связанного с ними накопления новых знаний, в XIV и XV вв. – в эпоху Возрождения – начинается расцвет наук и искусств. Крупным событием, революционизировавшим человеческое мировоззрение, явилось создание великим польским астрономом Николаем Коперником (1473 – 1543) учения о гелиоцентрической системе мира, в которой шарообразная Земля занимает центральное неподвижное положение, а вокруг нее по своим круговым орбитам движутся небесные тела: Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн.

Кинематические и динамические исследования эпохи Возрождения были обращены, главным образом, на уточнение представлений о неравномерном и криволинейном движении точки. До этого времени общепринятыми были не соответствующие действительности динамические воззрения Аристотеля, изложенные в его “Проблемах механики”. Так, он считал, что для поддержания равномерного и прямолинейного движения тела к нему нужно приложить постоянно действующую силу. Это утверждение представлялось ему согласным с повседневным опытом. О том, что при этом возникает сила трения, Аристотель, конечно, ничего не знал. Также он считал, что скорость свободного падения тел зависит от их веса: “Если половинный вес в некоторое время пройдет столько-то, то удвоенный вес пройдет столько же в половинное время”. Считая, что все состоит из четырех стихий – земли, воды, воздуха и огня, он пишет: “Тяжело все то, что способно нестись к середине или средоточию мира; легко все то, что несется от середины или средоточия мира”. Из этого он сделал вывод: так как тяжелые тела падают к центру Земли, то этот центр является средоточием мира, а Земля неподвижна. Не владея еще понятием об ускорении, которое было позднее введено Галилеем, исследователи этой эпохи рассматривали ускоренное движение как состоящее из отдельных равномерных движений, в каждом интервале обладающих своей собственной скоростью. Галилей еще в 18-летнем возрасте, наблюдая во время богослужения за малыми затухающими колебаниями люстры и отсчитывая время по ударам пульса, установил, что период колебания маятника не зависит от его размаха. Усомнившись в правильности утверждений Аристотеля, Галилей начал производить опыты, с помощью которых он, не анализирую причины, установил законы движения тел вблизи земной поверхности. Сбрасывая тела с башни, он установил, что время падения тела не зависит от его веса и определяется высотой падения. Он первым доказал, что при свободном падении тела пройденный путь пропорционален квадрату времени.

Замечательные экспериментальные исследования свободного вертикального падения тяжёлого тела были проведены Леонардо да Винчи; это были, вероятно, первые в истории механики специально организованные опытные исследования.

Период создания основ механики. Практика (главным образом торговое мореплавание и военное дело) ставит перед механикой XVI – XVII вв. ряд важнейших проблем, занимающих умы лучших ученых того времени. «… Вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием ремесла развилась и механика. Вскоре она становится необходимой также для судоходства и военного дела» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 145).

Нужно было точно исследовать полет снарядов, прочность больших кораблей, колебания маятника, удар тела. Наконец, победа учения Коперника выдвигает проблему движения небесных тел. Гелиоцентрическое мировоззрение к началу XVI в. создало предпосылки к установлению законов движения планет немецким астрономом И. Кеплером (1571 – 1630). Он сформулировал первые два закона движения планет:

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, за равные промежутки времени описывает равные площади.

Основоположником механики является великий итальянский ученый Г. Галилей (1564 – 1642). Он экспериментально установил количественный закон падения тел в пустоте, согласно которому расстояния, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой, как последовательные нечетные числа. Галилей установил законы движения тяжелых тел по наклонной плоскости, показав, что, падают ли тяжелые тела по вертикали или по наклонной плоскости, они всегда приобретают такие скорости, которые нужно сообщить им, чтобы поднять их на ту высоту, с которой они упали. Переходя к пределу, он показал, что на горизонтальной плоскости тяжелое тело будет находиться в покое или будет двигаться равномерно и прямолинейно. Тем самым он сформулировал закон инерции. Складывая горизонтальное и вертикальное движения тела (это первое в истории механики сложение конечных независимых движений), он доказал, что тело, брошенное под углом к горизонту, описывает параболу, и показал, как рассчитать длину полета и максимальную высоту траектории. При всех своих выводах он всегда подчеркивал, что речь идет о движении при отсутствии сопротивления. В диалогах о двух системах мира очень образно, в форме художественного описания, он показал, что все движения, которые могут происходить в каюте корабля, не зависят от того, находится ли корабль в покое или движется прямолинейно и равномерно. Этим он установил принцип относительности классической механики (так называемый принцип относительности Галилей – Ньютона). В частном случае силы веса Галилей тесно связывал постоянство веса с постоянством ускорения падения, но только Ньютон, введя понятие массы, дал точную формулировку связи между силой и ускорением (второй закон). Исследуя условия равновесия простых машин и плавания тел, Галилей, по существу, применяет принцип возможных перемещений (правда, в зачаточной форме). Ему же наука обязана первым исследованием прочности балок и сопротивления жидкости движущимся в ней телам.

Французский геометр и философ Р. Декарт (1596 – 1650) высказал плодотворную идею сохранения количества движения. Он применяет математику к анализу движения и, вводя в нее переменные величины, устанавливает соответствие между геометрическими образами и алгебраическими уравнениями. Но он не заметил существенного факта, что количество движения является величиной направленной, и складывал количества движения арифметически. Это привело его к ошибочным выводам и снизило значение данных им применений закона сохранения количества движения, в частности, к теории удара тел.

Последователем Галилея в области механики был голландский ученый Х. Гюйгенс (1629 – 1695). Ему принадлежит дальнейшее развитие понятий ускорения при криволинейном движении точки (центростремительное ускорение). Гюйгенс также решил ряд важнейших задач динамики – движение тела по кругу, колебания физического маятника, законы упругого удара. Он первый сформулировал понятия центростремительной и центробежной силы, момента инерции, центра колебания физического маятника. Но основная его заслуга состоит в том, что он первый применил принцип, по существу эквивалентный принципу живых сил (центр тяжести физического маятника может подняться только на высоту, равную глубине его падения). Пользуясь этим принципом, Гюйгенс решил задачу о центре колебания маятника – первую задачу динамики системы материальных точек. Исходя из идеи сохранения количества движения, он создал полную теорию удара упругих шаров.

Заслуга формулировки основных законов динамики принадлежит великому английскому ученому И. Ньютону (1643 – 1727). В своем трактате “Математические начала натуральной философии”, вышедшем первым изданием в 1687 г., Ньютон подвел итог достижениям своих предшественников и указал пути дальнейшего развития механики на столетия вперед. Завершая воззрения Галилея и Гюйгенса, Ньютон обогащает понятие силы, указывает новые типы сил (например, силы тяготения, силы сопротивления среды, силы вязкости и много других), изучает законы зависимости этих сил от положения и движения тел. Основное уравнения динамики, являющееся выражением второго закона, позволило Ньютону успешно разрешить большое число задач, относящихся, главным образом, к небесной механике. В ней его больше всего интересовали причины, заставляющие двигаться по эллиптическим орбитам. Еще в студенческие году Ньютон задумался над вопросами тяготения. В его бумагах нашли следующую запись: “Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу”.

В приведенном отрывке Ньютон не сообщает доказательства, но я могу предположить, что ход его рассуждений состоял в следующем. Если приближенно считать, что планеты равномерно движется по круговым орбитам, то согласно третьему закону Кеплера, на который ссылается Ньютон, я получу

T²₂ / T²₁ = R³₂ / R³₁, (1.1) где T_j и R_j – периоды обращения и радиусы орбит двух планет (j = 1, 2).

При равномерном движении планет по круговым орбитам со скоростями V_j их периоды обращения определяются равенствами T_j = 2pR_j / V_j.

Следовательно,

T₂ / T₁ = 2pR₂V₁ / V₂2pR₁ = V₁R₂ / V₂R₁.

Теперь соотношение (1.1) приводится к виду

V²₁/ V²₂ = R₂ / R₁. (1.2)

К рассматриваемым годам Гюйгенс уже установил, что центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу окружности, т. е. F_j = kV²_j / R_j, где k – коэффициент пропорциональности.

 

Если теперь внести в равенство (1.2) соотношение V²_j = F_jR_j / k, то я получу

F₁ / F₂ = R²₂ / R²₁, (1.3) что устанавливает обратную пропорциональность центробежных сил планет квадратам их расстояний до Солнца.

Ньютону принадлежат также исследования сопротивления жидкостей движущимися телам; им установлен закон сопротивления, согласно которому сопротивление жидкости движению тела в ней пропорционально квадрату скорости тела. Ньютоном открыт основной закон внутреннего трения в жидкостях и газах.

К концу XVII в. основы механики были обстоятельно разработаны. Если древние века считать предисторией механики, то XVII в. можно рассматривать как период создания ее основ.

Развитие методов механики в XVIII в.. В XVIII в. потребности производства – необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема движения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной механики, с другой, - привели к созданию общих приемов решения задач механики материальной точки, системы точек твердого тела, развитых в “Аналитической механике” (1788 г.) Ж. Лагранжа (1736 – 1813).

В развитии динамики посленьютоновского периода основная заслуга принадлежит петербургскому академику Л. Эйлеру (1707 – 1783). Он развил динамику материальной точки в направлении применения методов анализа бесконечно малых к решению уравнений движения точки. Трактат Эйлера “Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом”, вышедший в свет в Петербурге в 1736 г., содержит общие единообразные методы аналитического решения задач динамики точки.

Л. Эйлер - основоположник механики твердого тела. Ему принадлежит общепринятый метод кинематического описания движения твердого тела при помощи трех эйлеровых углов. Фундаментальную роль в дальнейшем развитии динамики и многих ее технических приложений сыграли установленные Эйлером основные дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижного центра. Эйлер установил два интеграла: интеграл момента количеств движения

A²w²_x + B²w²_y + C²w²_z = m

и интеграл живых сил (интеграл энергии)

Aw²_x + Bw²_y + Cw²_z = h,

где m и h – произвольные постоянные, A,B и C – главные моменты инерции тела для неподвижной точки, а w_x, w_y, w_z – проекции угловой скорости тела на главные оси инерции тела.

Эти уравнения явились аналитическим выражением открытой им теоремы моментов количества движения, которая представляет собой необходимое дополнение к закону количестве движения, сформулированному в общем виде в «Началах» Ньютона. В «Механике» Эйлера дана близкая к современной формулировка закона «живых сил» для случая прямолинейного движения и отмечено наличие таких движений материальной точки, при которых изменение живой силы при переходе точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории. Этим было положено начало понятия потенциальной энергии. Эйлер – основоположник гидромеханики. Им были даны основные уравнения динамики идеальной жидкости; ему принадлежит заслуга создания основ теории корабля и теории устойчивости упругих стержней; Эйлер заложил основу теории расчета турбин, выведя турбинное уравнение; в прикладной механике имя Эйлера связано с вопросами кинематики фигурных колес, расчета трения между канатом и шкивом и многими другими.

Небесная механика была в значительной своей части развита французским ученым П. Лапласом (1749 – 1827), который в обширном труде “Трактат о небесной механике” объединил результаты исследования своих предшественников – от Ньютона до Лагранжа – собственными исследованиями устойчивости солнечной системы, решением задачи трех тел, движения Луны и многих других вопросов небесной механики (см. Приложение).

Одним из важнейших приложений ньютоновской теории тяготения явился вопрос о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, частицы которых тяготеют друг к другу, в частности о фигуре Земли. Основы теории равновесия вращающихся масс были изложены Ньютоном в третьей книге “Начал”. Проблема фигур равновесия и устойчивости вращающейся жидкой массы сыграла значительную роль в развитии механики.

Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711 – 1765) высоко оценивал значение механики для естествознания, физики и философии. Ему принадлежит материалистическая трактовка процессов взаимодействия двух тел: “когда одно тело ускоряет движение другого и сообщает ему часть своего движения, то только так, что само теряет такую же часть движения”. Он является одним из основоположников кинетической теории теплоты и газов, автором закона сохранения энергии и движения. Приведем слова Ломоносова из письма Эйлеру (1748 г.): “Все изменения, случающиеся в природе, проходят так, что если что-либо прибавится к чему-либо, то столько же отнимется от чего-то другого. Так, сколько к какому-нибудь телу присоединится материи, столько же отнимется от другого; сколько часов я употребляю в сон, столько же отнимаю от бдения и т. д. Так как этот закон природы всеобщ, то он простирается даже и в правила движения, и тело, побуждающее своим толчком другое к движению столько же теряет своего движения, сколько сообщает другому, движимому им”. Ломоносов впервые предсказал существование абсолютного нуля температуры, высказал мысль о связи электрических и световых явлений. В результате деятельности Ломоносова и Эйлера появились первые труды русских ученых, творчески овладевших методами механики и способствовавших ее дальнейшему развитию.

История создания динамики несвободной системы связана с развитием принципа возможных перемещений, выражающим общие условия равновесия системы. Этот принцип был впервые применен голландским ученым С. Стевином (1548 – 1620) при рассмотрении равновесия блока. Галилей сформулировал принцип в виде “золотого правила” механики, согласно которому “что выигрывается в силе, то теряется в скорости”. Современная формулировка принципа была дана в конце XVIII в. на основе абстракции “идеальных связей”, отражающих представление об “идеальной” машине, лишенной внутренних потерь на вредные сопротивления в передаточном механизме. Выглядит она следующим образом: если в положении изолированного равновесия консервативной системы⁹ со стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Созданию принципов динамики несвободной системы способствовала задача о движении несвободной материальной точки. Материальная точка называется несвободной, если она не может занимать произвольного положения в пространстве. В этом случае принцип Д’Аламбера звучит следующим образом: действующие на движущуюся материальную точку активные силы и реакции связей можно в любой момент времени уравновесить добавлением к ним силы инерции¹⁰.

Выдающийся вклад в развитие аналитической динамики несвободной системы внес Лагранж, который в фундаментальном двухтомном сочинении “Аналитическая механика” указал аналитическое выражение принципа Д’Аламбера – “общую формулу динамики”. Как же Лагранж получил ее?

После того, как Лагранж изложил различные принципы статики, он переходит к установлению “общей формулы статики для равновесия любой системы сил”. Начиная

 

с двух сил, Лагранж устанавливает методом индукции следующую общую формулу для

равновесия любой системы сил:

P dp + Q dq + R dr + … = 0. (2.1)

Это уравнение представляет математическую запись принципа возможных перемещений. В современных обозначениях этот принцип имеет вид

åⁿ_j=1 F_j dr_j = 0 (2.2)

Уравнения (2.1) и (2.2) практически одинаковы. Основное отличие состоит, конечно, не в форме записи, а в определении вариации: в наши дни – это произвольно мыслимое перемещение точки приложения силы, совместимое со связями, а у Лагранжа – это малое перемещение вдоль линии действия силы и в сторону ее действия.

Лагранж вводит в рассмотрение функцию П (теперь она называется потенциальной энергией), определив ее равенством

dП = P dp + Q dq + R dr + …, (2.3) в декартовых координатах функция П (после интегрирования) имеет вид

П = А + Вx + Сy + Dz + … + Fx² + Gxy +Hy² + Kxz + Lyz + Mz² + … (2.4)

Для дальнейшего доказательства Лагранж изобретает знаменитый метод неопределенных множителей. Сущность его состоит в следующем. Рассмотрим равновесие n материальных точек, на каждую из которых действует сила F_j. Между координатами точек имеется m связей j_r = 0, зависящих только от их координат. Учитывая, что dj_r = 0, уравнение (2.2) сразу можно привести к следующей современной форме:

åⁿ_j=1 F_j dr_j + å^m_r=1 l_r dj_r = 0, (2.5) где l_r – неопределенные множители. Отсюда получаются следующие уравнения равновесия, называемые уравнениями Лагранжа I рода:

X_j + å^m_r=1 l_r ¶j_r / ¶x_j = 0, Y_j + å^m_r=1 l_r ¶j_r /¶y_j = 0,

Z_j + å^m_r=1 l_r ¶j_r / ¶z_j = 0 (2.6) К этим уравнениям нужно присоединить m уравнений связей jr = 0 (X_j, Y_j, Z_j – проекции силы F_j).

Покажем, как Лагранж использует этот метод для вывода уравнений равновесия абсолютно гибкой и нерастяжимой нити. Прежде всего, отнесенную к единице длины нити (ее размерность равна F / L). Уравнение связи для нерастяжимой нити имеет вид ds = const, и, следовательно, dds = 0. В уравнении (2.5) суммы переходят в интегралы по длине нити l

ò^l₀ Fdrds + ò^l₀ ldds = 0. (2.7) Учитывая равенство

(ds)² = (dx)² + (dy)² + (dz)²,

найдем

dds = dx / ds ddx + dy / ds ddy + dz / ds ddz.

Отсюда

ò^l₀ ldds = ò^l₀ (l dx / ds ddx + l dy / ds ddy + l dz / ds ddz)

или, переставляя операции d и d и интегрируя по частям,

ò^l₀ ldds = (l dx / ds dx + l dy / ds dy + l dz / ds dz) –

- ò^l₀ d (l dx / ds) dx + d (l dy / ds) dy + d (l dz / ds) dz.

Считая, что нить на концах закреплена, получим dx = dy = dz = 0 при s = 0 и s = l, и, следовательно, первое слагаемое обращается в нуль. Оставшуюся часть внесем в уравнение (2.7), раскроем скалярное произведение F * dr и сгруппируем члены:

ò^l₀ [Xds – d (l dx / ds)] dx + [Yds – d (l dy / ds)] dy + [Zds – d (d dz / ds)] dz = 0.

Так как вариации dx, dy и dz произвольны и независимы, то все квадратные скобки должны равняться нулю, что дает три уравнения равновесия абсолютно гибкой нерастяжимой нити:

d / ds (l dx / ds) – X = 0, d / ds (l dy / ds) – Y = 0,

d/ ds (l dz / ds) – Z = 0. (2.8)

Лагранж так объясняет физический смысл множителя l: “Так как величина ldds может представлять собой момент некоторой силы l (в современной терминологии –“виртуальная (возможная) работа”) стремящейся уменьшить длину элемента ds, то член ò ldds общего уравнения равновесия нити выразит сумму моментов всех сил l, которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную сила, которую называют натяжением. Таким образом, l представляет собою натяжение нити”.

Переходя к динамике, Лагранж, принимая тела за точки массой m, пишет, что “величины

m d²x / dt², m d²y / dt², m d²z / dt² (2.9) выражают силы, примененные непосредственно для того, чтобы двигать тело m параллельно осям x, y, z”. Заданные ускоряющие силы P, Q, R, …, по Лагранжу, действуют вдоль линий p, q, r, …, пропорциональны массам, направлены к соответствующим центрам и стремятся уменьшить расстояния до этих центров. Поэтому вариации линий действия будут -dp, -dq, -dr, …, а виртуальная работа приложенных сил и сил (2.9) будут соответственно равны

å m (d²x / dt² dx + d²y / dt² dy + d²z / dt² dz), - å (P dp + Q dq + R dr + …). (2.10)

Приравнивая эти выражения и перенося все члены в одну сторону, Лагранж получает уравнение

å m (d²x /dt² dx + d²y / dt² dy + d²z / dt² dz) + å (P dp + Q dq + R dr + …) = 0, (2.11) которое он назвал “общей формулой динамики для движения любой системы тел”. Именно эту формулу Лагранж положил в основу всех дальнейших выводов – как общих теорем динамики, так и теорем небесной механики и динамики жидкостей и газов.

После вывода уравнения (2.11) Лагранж разлагает силы P, Q, R, … по осям прямоугольных координат и приводит это уравнение к следующему виду:

å (m d²x / dt² +X) dx + (m d²y / dt² + Y) dy + (m d²z / dt² + Z) dz = 0. (2.12)

С точностью до знаков уравнение (2.12) полностью совпадает с современной формой общего уравнения динамики:

å_j (F_j – m_j d²r_j / dt²) dr_j = 0; (2.13) если раскрыть скалярное произведение, то получим уравнение (2.12) (за исключением знаков в скобках).

Таким образом, продолжая труды Эйлера, Лагранж завершил аналитическое оформление динамики свободной и несвободной системы точек и дал многочисленные примеры, иллюстрирующие практическую мощь этих методов. Исходя из “общей формулы динамики”, Лагранж указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, носящие ныне его имя: “уравнения Лагранжа первого рода” и уравнения в обобщенных координатах, или “уравнение Лагранжа второго рода”. Что навело Лагранжа на уравнения в обобщенных координатах? Лагранж в своих работах по механике, в том числе и по небесной механике, определял положение системы, в частности, твердого тела различными параметрами (линейными, угловыми или их комбинацией). Для такого гениального математика, каким был Лагранж, естественно встала проблема обобщения – перейти к произвольным, не конкретизированным параметрам. Это и привело его к дифференциальным уравнениям в обобщенных координатах. Лагранж назвал их “дифференциальные уравнения для решения всех проблем механики”, теперь мы называем их уравнениями Лагранжа II рода:

d / dt ¶L / ¶q_j - ¶L / ¶q_j = 0 (L = T – П).

Подавляющее большинство решенных в “Аналитической механике” задач отражает технические проблемы того времени. С этой точки зрения необходимо особо выделить группу важнейших задач динамики, объединенные Лагранжем под общим наименованием “О малых колебаниях любой системы тел”. Этот раздел представляет собой основу современной теории колебаний. Рассматривая малые движения, Лагранж показал, что любое такое движение можно представить как результат наложения друг на друга простых гармонических колебаний.

Механика XIX и начала XX вв. “Аналитическая механика” Лагранжа подвела итог достижениям теоретической механики XVIII в. и определила следующие главные направления ее развития:

1) расширение по<

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: