 |
Тема 6 Вариационное исчисление.
|
|
|
|
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«методы оптимизации и исследование операций»
Краткое описание дисциплины
Дисциплина «методы оптимизации и исследование операций» предполагает изучение основной терминологии вычислительной математики; особенностей применения компьютерных технологий, тенденции их развития и совершенствования. Задачами курса является формирования у студентов в систематизированной форме понятия о приближенных (численных) методах решения прикладных задач и подготовить студентов к разработке и применению с помощью ЭВМ вычислительных алгоритмов решения математических задач, возникающих в процессе познания и использования в практической деятельности законов реального мира, посредством математического моделирования.
После изучения дисциплины студент приобретает:
1.
Знания, умения и навыки, необходимые для освоения и применения вычислительной техники в дальнейшей профессиональной деятельности.
навыки работы, необходимые для освоения и применения вычислительной техники в дальнейшей профессиональной деятельности;
компетенции в вопросах использования известных методов решения прикладных задачи, умения делать.
Цели изучения дисциплины
- формирование у студентов базовые понятия о численном решении задачи;
логического мышления для уяснения основных понятий теории дисциплины и освоения современных информационных технологий;
алгоритмы и принципы использования программных средств;
иметь представления об основных методах вариационного исчисления.
Литература
Основная литература
1.
Численные методы и задачи оптимизации. / под ред. В.Н. Игнатьева, Г.Ш. Фридмана. Томск, изд-во Томского ун-та, 1983.-165 с.
|
|
|
2.
В.М. Монахов и другие. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике. Пособие для учителя. М., Просвещение, 1978.-175 с.
3.
Г. И. Марчук Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980.
4.
Г.С. Ганшин Методы оптимизации и решение уравнений. М., Наука, 1987.
5.
В.М. Заварыкин Лабораторный практикум по вычислительной математике. Учебное пособие для физико-математического факультета пед. Институтов. Свердловск, Свердловский гос. Пед. Институт, 1986.-87 с.
6.
Н. Культин Программирование на Object Pascal в Delphi 5. Спб, БХБ, Санкт-Петербург, 1999.
7.
Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0 Учебный курс.-М., 1998.-433с.
8.
Фаронов В.В. DELPHI 4. Учебный курс.-М., 1999.-464с.
9. Электронные учебники по языкам программирования.
Дополнительная
1.
Корн Т., Корн К. Справочник по математике для научных работников и инженеров определения, теоремы, формулы. Издание четвертое.
2.
Реньи А. Трилогия о математике. М., 1980. - 374 с.
3.
Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. - М.:Наука, 1973. - 511с.
| ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ | |||||
| № р/с | Наименование тем | часы | |||
| лекции | прак | лаб | СРО | ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Введение. | 2 | ||||
| Элементы выпуклого анализа. | 2 | 1 | 2 | ||
| Линейное программирование. | 2 | 1 | 2 | ||
| Нелинейное программирование. | 2 | 1 | 2 | ||
| Вариационное исчисление. | 2 | 1 | 2 | ||
| Оптимальное управление и принцип максимума. | 2 | 1 | 2 | 4 | |
| Оптимальное управление. Динамическое программирование. | 2 | 1 | 2 | 4 | |
| 8 | Предмет, история и перспектива развития предмета “Исследования операций”. | 2 | 1 | 2 | |
| 9 | Основные понятия предмета “ исследования операции” и системного анализа. Методологические основы теории принятия решений. | 2 | 1 | 2 | |
| 10 | Линейные модели ИСО. Задачи линейного программирования. Двойственные задачи линейного программирования. | 2 | 1 | 2 | 4 |
| 11 | Экстремальные задачи на графах. Основные понятия и определения из теории графов. Задача о кратчайшем пути. Задача о максимальном потоке. | 2 | 1 | 3 | 4 |
| 12 | Сетевое планирование. Постановка задачи сетевого планирования. | 2 | 1 | 2 | 4 |
| 13 | Теория расписаний. Постановка задачи составления расписаний. | 2 | 1 | 3 | 2,5 |
| 14 | Вероятностные модели. | 2 | 1 | 2 | |
| 15 | Имитационное моделирование. Системный анализ. | 2 | 2 | 2 | |
| Всего: | 30 | 15 | 30 | 22,5 |
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
Тема 1 Введение. Предмет, история становления и перспективы развития методов оптимизации.
Общие сведения об экстремальных задачах в конечномерном пространстве. История исследования задач на экстремум. Формализация экстремальных задач. Основные определения. Постановка задачи на экстремум при наличии ограничений.
Компактные множества. Полунепрерывность снизу. Теоремы о достижении нижней грани функции на заданном множестве.
Тема 2 Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые множества. Аффинная оболочка. Внутренние, граничные, относительно внутренние точки. Выпуклая комбинация точек. Необходимые и достаточные условия выпуклости множеств. Выпуклая оболочка. Теоремы о свойствах выпуклой оболочки.
Выпуклые функции. Сильно выпуклые функции. Критерии выпуклости гладких функции. Свойства выпуклых функции. Способы задания выпуклых множеств.
Отделимость выпуклых множеств. Отделимость множества и точки. Отделимость выпуклых множеств, не имеющих общих точек. Сильная отделимость выпуклых множеств. Теорема о пустоте пересечения выпуклых множеств. Теорема Дубовицкого- Милютина.
Функция Лагранжа. Седловая точка. Основная лемма о седловой точке. Основная теорема о глобальном минимуме.
Теорема Куна - Таккера. Условия Слейтера. Теорема существования седловой точки функции Лагранжа. Лемма Фаркаша. Различные формы условий оптимального выпуклой функции на выпуклом множестве. Элементы теории двойственности в линейном программировании.
Тема 3 Линейное программирование.
Основная, общая и каноническая задачи линейного программирования. Двойственные задачи. Задача линейного программирования в канонической форме. Задачи линейного программирования, их различные формы и метод сведения к задаче с ограничениями в форме равенства. Симплекс – метод и его модификации. Лемма о крайней точке. Лемма о свойстве векторов условий. Лемма о крайней точке в невырожденной задаче. Лемма о выпуклой комбинаций крайних точек. Лемма о глобальном минимуме. Критерий оптимальности. Выбор направления. Построение симплекс- таблицы. Построение начальной крайней точки. Специальные задачи линейного программирования.
|
|
|
Тема 4 Нелинейное программирование.
Постановка задачи. Необходимые условия оптимальности. Построение конусов. Конус направления убывания. Конус внутренних направлений. Конус касательных направлений. Доказательства теоремы об оптимальности.
Тема 5 Нелинейное программирование.
Градиентные методы минимизации функции при наличии ограничений. Методы, основанные на сведении задач условной минимизации к решению задач безусловной минимизации. Регуляризация некорректных экстремальных задач. Основы многоэкстремальной минимизации, глобальный экстремум. Понятие о задачах дискретного программирования. Методы направленного перебора и принцип динамического программирования.
Теория двойственности. Основная задача. Связь между решениями основной и двойственной задачи.
Тема 6 Вариационное исчисление.
Задача о брахистохроне. Простейшая задача. Сильный локальный минимум. Слабый локальный минимум. Необходимые условия слабого локального минимума. Лемма Лагранжа. Уравнение Эйлера. Лемма Дю Буа-Реймонда. Задача Больца. Необходимые условия Вейерштрассе. Условия Лагранжа. Условия Якоби. Условия Вейерштрассе-Эрдмана.
Функционалы, зависящие от n неизвестных функции. Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.
|
|
|
