Приложение к главам II и III

6. Влияние увеличения дохода на спрос. Преобразуем уравнения (3.1) и (3.2), записав их в форме:

Возьмем частную производную по М:

Решая, получим

Из (6.1) находим: p_s=u_s/μ, так что это можно записать в виде:

О знаке U_r ничего не известно, следовательно, δx_r/δМ мо-жет быть как положительным, так и отрицательным. (См. гл. II.)

7. Последствия изменения цены при постоянном уров-не дохода. Предположим теперь, что рг меняется, а ос-тальные цены (а также М) неизменны. Из (6.1) имеем:

Это уравнение, полученное первоначально Слуцким, мож-но считать Основным Уравнением Теории Стоимости. Она показывает, как изменение цены товара x_r воздействует на спрос индивида на другой товар (х_s); это воздействие состоит из двух частей, которые мы назвали эффектом дохода и эффектом замещения соответственно. Так как x_r=dM/dp_r (если М не фиксировано, а все х и все про-чие р фиксированы), то из уравнения следует, что член, соответствующий эффекту замещения, выражает воздей-ствие на спрос на товар x_s изменения цены x_r совместно с таким изменением дохода, которое позволило бы потре-бителю при желании купить то же самое количество то-вара, что и раньше, несмотря на изменение р_r. Очевидно, что изменение дохода будет тем меньше, чем меньшую роль играет x_r в бюджете потребителя.

Полагая, что r=s (а у нас нет причин, которые не позволяли бы нам так считать), то же уравнение можно использовать для разделения воздействия цены х_r на спрос на сам товар x_r. Уравнение примет тогда вид:

Из условий стабильности непосредственно следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения, должен быть отрицательным.

8. Свойства члена, соответствующего эффекту замещения. В остальном теория спроса состоит по большей ча-сти из выявления свойств этого фундаментального урав-нения. Прежде всего, удобнее переписать его в другой форме. Член μ U_rs/U, соответствующий эффекту замеще-ния, в действительности инвариантен относительно заме-ны u на φ (u) в качестве функции полезности, следова-тельно, лучше записать его в такой форме, при которой уравнение не будет иметь прямой связи с определенной функцией полезности. Поэтому я буду писать его в ней-тральной форме (x_rs), так что уравнения будут иметь вид:

Это как раз такая форма, в которой нам будет наиболее удобно использовать уравнение в дальнейшем [С некоторых точек зрения (я думаю, не все так считают) есть определенный смысл в том, чтобы выражать фундаментальное уравнение в форме эластичностей, что нетрудно сделать, домножив уравнение на p_r/x_s, и сгруппировав полученные выражения в эле-менты, не зависящие от единиц измерения. В моей французской брошюре La Theorie mathematiqae de la Valeur (Hermann 1937) изложены по большей части последующие рассуждения, с исполь-зованием представления в форме эластичностей. Таким образом, читатель сам может сделать выбор.].

Два свойства члена уравнения, соответствующего эф-фекту замещения, сразу следуют из того, что уже сказа-но. Вначале я выпишу эти свойства, а потом выведу и некоторые другие.

(1) Так как оба определителя U_rs и U симметричны по r и s, то x_rs тоже симметричен. Это означает, что x_sr=x_rs. Таким образом, члены, соответствующие эффекту замещения в δх_s/δр_r и δх_r/δр_s, тождественны. Но члены, соответствующие эффекту дохода, вообще говоря, не рав-ны друг другу. Значит, для того чтобы δх_s/δр_r и δх_r/δр_s были равны, необходимо равенство x_rδх_s/δМ и x_sδх_r/δр_r. Это предполагает, что (М/x_r) δх_r/δМ должно быть равно (М/x_s) δх_s/δМ, т. е. эластичность спроса на x_r и эластичность спроса на x_s по отношению к доходу должна быть одинаковой.

(2) Так как U_rr/U отрицательно, а μ положительно, то x_rr<0.

(3) Выражение

0U_r+ u₁U_1r+ u₂U_2r+....+ u_nU_nr

образует определитель, у которого две строки одинаковы; следовательно, оно равно нулю. Но так как u_sU_rs=p_sμUx_rs=p_sUx_rs, то из этого соотношения можно вывести соотношения между х, а именно

Следовательно, Σp_sX_rs (по всем значениям s, кроме r) = -р_rХ_rr. которое несомненно положительно.

(4) В нашей работе до сих пор использовались лишь два условия стабильности из всего их набора (4.1), при-чем эти два условия мы свели к одному условию, соглас-но которому U_rr/U отрицательно. Что означают остальные условия стабильности? Пойдем дальше, чтобы ответить на этот вопрос.

Пусть U_{11, 22}-алгебраическое дополнение u₂₂ в U₁₁; U_{11, 22, 33}-алгебраическое дополнение u₃₃ в U_{11, 22}; и т. д. Тогда условия стабильности говорят о том, что

отрицательны и положительны попеременно.

Из хорошо известного свойства обратных определите-лей [См., например: Вurnside and Pantоn, II, р. 42.] следует, что

будут отрицательными и положительными попеременно.

Но это условие того, что квадратичная форма вида

отрицательна для всех значений z. (См. выше.) Помимо прочих значений, z могут оказаться равными u. Следо-вательно,

Итак,

для всех значений m, меньших n.

Таким образом, мы получили четыре правила, кото-рым должны подчиняться члены уравнения, выражаю-щие действие эффекта замещения:

для всех значений m, меньших n.

Из второго и третьего правил, взятых вместе, следует, что

а из третьего и четвертого, взятых вместе, - что

Это шестое правило можно выразить и следующим об-разом. Если разделить n товаров на две группы любым возможным способом и образовать выражение p_rp_sx_rs (здесь x_r берется из одной группы, а x_s - из другой), то Σ Σp_rp_sx_rs (где r и s пробегают все возможные значе-ния в своих группах) должно быть положительным.

Насколько я понимаю, это единственно важные пра-вила, которым должно соответствовать количество това-ров, приобретенных потребителем на доход. Можно заме-тить, что правило (2) является частным случаем прави-ла (4), а правило (5)-частным случаем правила (6).

9. Дополняемость. Как и в самом тексте книги, я бу-ду говорить, что два блага X_r и х_s являются взаимо-заменяемыми с точки зрения определенного потребителя, если для него x_rs>0, и взаимодополняемыми, если для него X_rs<0. Из правила (5) сразу следует, что хотя и воз-можно, чтобы все прочие потребляемые блага были заменителями Х_r, но невозможно, чтобы все они были допол-няющими по отношению к x_r. А из правила (6) следует, что есть еще одно ограничение на распространенность отношений дополняемости. Существует много способов собрать члены, соответствующие эффекту замеще-ния между парами благ, в группы, внутри которых количество пар взаимозаменяемых товаров должно перевеши-вать количество пар взаимодополняемых товаров. Из группы в n благ можно составить 1/2 n (n-1) различных пар благ; эти 1/2n (n-1) пары можно объединить в груп-пы такого типа

различными способами. 1/2n (n- 1) выражений p_rp_sx_rs (r<>s) не обязаны быть все положительными; но существует 2^n-1-1 различных наборов этих выражении, суммы кото-рых должны быть положительными. Именно в этом смыс-ле заменяемость является доминирующим отношением в системе в целом.

10. Спрос на группу благ. Нам предстоит рассмотреть еще самое важное применение правила (4). Начнем с то-го, что из нашего фундаментального уравнения следует, что стоимость приращения спроса на Х_s, которое вызвано данным пропорциональным изменением цены Х_r, равна

Здесь р_rx_r - объем расходов на товар x_r; p_s (δх_s/δМ) оп-ределяет приращение расходов на товар x_s, которое было бы вызвано увеличением дохода потребителя.

Предположим теперь, что цены группы благ x₁, x₂,... x_m (m_s (s

Стоимость приращения спроса на всю группу благ опре-деляется дальнейшим суммированием:

 

Это выражение идентично по форме выражению (10.1); ему можно дать соответствующую интерпретацию. Далее, так как г и s суммируются по одной и той же группе товаров, то из правила (4) следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения в (10.2), обязательно будет отрицательным.

Таким образом, мы математически показали очень важный принцип, часто используемый в самой книге, что, если цены на группу благ изменяются в одной и той же пропорции, эту группу благ можно рассматривать точно так же, как если бы речь шла о единичном товаре.

11. Предложение товаров. Предположим теперь, что индивид выходит на рынок не с данной суммой денег (ко-торая не меняется при изменении цен), а с определенным количеством товара на продажу, так что сумма, которую он сам может израсходовать, зависит от уровня рыноч-ных цен. Чтобы рассмотреть общий случай, предположим, что вначале у него имеется n товаров в количестве x₁, x₂,..., x_n каждый. В результате торговли он будет увеличивать или уменьшать эти количества таким образом, чтобы получить, как говорилось прежде, предпочитаемый им набор благ х₁, x₂,..., х_n. Первое из условий равнове-сия (6.1) примет тогда следующий вид:

Это единственное изменение, которое необходимо внести в данную систему.

Оно сводится к замене М на Σ p_rx (cp)_r, последняя вели-чина теперь зависит от уровня цен. Следовательно, диф-ференцируя уравнения, мы не можем больше считать, что δМ/δр_r=0, а должны утверждать, что δМ/δр_r=x (ср)_r. Первое уравнение из (7.1) приобретает тогда вид:

Вместо уравнения (8.1) получим:

Это уравнение отличается от нашего исходного фунда-ментального уравнения только тем, что его член, соответ-ствующий эффекту дохода, взвешивается чистым прира-щением блага x_r.

12. Рыночный спрос. Одно из самых очевидных до-стоинств нашего фундаментального уравнения заключа-ется в том, что его можно использовать непосредственно для изучения воздействия, которое изменение цепы ока-зывает на спрос со стороны группы индивидов. Если сум-мирование производится по всем членам группы, то полу-чаем:

Член уравнения, соответствующий эффекту дохода, отра-жает воздействие, которое оказывает на спрос со сторо-ны группы индивидов на товар х увеличение их дохода, если общий прирост дохода распределяется между пред-ставителями группы пропорционально их предшествующему чистому спросу на товар x_r. Член уравнения, соответ-ствующий эффекту замещения, является просто суммой <индивидуальных> членов, соответствующих эффекту за-мещения; следовательно, он должен определяться по тем же правилам, по которым определяются его составные части. Если записать член уравнения, соответствующий эффекту замещения для группы индивидов Σx_rs в виде X_rs, то получим совершенно аналогичные правила:

Приложение к главе IV

13. Равновесие обмена. Здесь необходимо лишь выра-зить классические рассуждения Вальраса в наших собст-венных терминах.

Есть N индивидов, которые выносят на рынок в раз-личных количествах n товаров и обмениваются ими в ус-ловиях совершенной конкуренции. Так как мы обозна-чаем количество r-го товара, находящееся первоначально у представительного индивида, через x (ср)_r, а количество товара, которое он оставит у себя после окончания тор-говли, через x_r (x_r>x (ср)_r, если он является покупателем то-вара и x_rr, если он является продавцом), то обозначим общее количество товара, представленного на рынке все-ми индивидами вместе, через X (ср)_r, а количество товара, которое у них останется - через X (ср)_r.

Цены n товаров будем обозначать, как и прежде: p₁, р₂,..., р_n. Но необходимо помнить, что один из товаров (например, x_n) придется принять за масштаб стоимости. Таким образом, р_n=1. Остальные цены (p₁, р₂,..., p_n-1) должны быть определены.

Если система будет находиться в равновесии, то спрос на каждый товар должен равняться его предложению. Следовательно,

Х_r=Х_r (r= 1, 2, 3,..., n). (13.1)

Тем самым мы получаем n уравнений, соответствую-щих n товарам; но нам предстоит определить только n-1 цен. Одно уравнение, однако, служит следствием всех остальных. Среди уравнений равновесия для репрезента-тивного индивида есть такое:

Суммируя эти уравнения по всем индивидам, получим:

Последнее уравнение должно выполняться всегда, неза-висимо от того, выполнятся ли уравнения (13.1). Следовательно, если n-1 уравнение (13.1) выполняется, то должно выполняться и n-е уравнение. Таким обра-зом, у нас есть n-1 уравнение для определения n-1 цены.

Приложение к главе V

14. Стабильность равновесия обмена. Так как значения Х_г можно считать постоянными, то условия стабильности обмена можно получить из анализа знака dX_r/dp_r. Чтобы равновесие было совершенно стабильным, dX_r/dp_r должно быть отрицательным.

(1) если цены всех прочих, кроме данного, товаров не изменяются,

(2) если p_s приводится в соответствие с другими цена-ми таким образом, что на рынке x_s поддерживается рав-новесие, а цены остальных товаров не меняются.

(3) если p_s и p_t применяются аналогичным образом и т. д., пока не будут изменены соответствующим образом все цены, за исключением р_r (и, конечно, р_n, которая обя-зательно равна 1).

Так, третье из этих условий предполагает, что dX_r/dp_r отрицательно, если

Избавившись от dp_s/dp_r и dp_t/dp_r, получим

Так мы получим одно из выражений, которое должно быть отрицательным, чтобы система оказалась стабиль-ной.

Если рассмотреть все такие условия вместе и учесть, что они должны выполняться для рынка каждого из то-варов x_r (r=1, 2, 3,..., n-1), то условиям стабильности можно придать более удобную форму. Необходимо, что-бы якобианы

(для всех значений r, s, t в диапазоне 1, 2, 3,..., n-1) были отрицательны и положительны попеременно.

15. Мы знаем, что

Таким образом, когда Х_rr отрицательно, условия стабиль-ности первого порядка могут не выполняться только в том случае, если значение члена, соответствующего эф-фекту дохода в приведенном выше выражении, велико и положительно. Но если приведенную выше формулу применить к группе индивидов (ко всему рынку в целом, т. е. к продавцам и покупателям вместе), то член урав-нения, соответствующий эффекту дохода, обнаружит одно своеобразное свойство. Если количество товара δх_r/δМ (т. е. приращение x_r), которое будет куплено в резуль-тате данного повышения дохода, окажется одинаковым для всех агентов рынка, то член уравнения, соответствую-щий эффекту дохода, примет вид: (Х (ср) _r-Х_r) (δх_r/δМ). Так как для состояния равновесия Х_r=Х (ср) _r, то член уравнения, соответствующий эффекту дохода, будет равен нулю. Сле-довательно, значение члена уравнения, соответствующего эффекту дохода, будет велико, когда покупатели и про-давцы реагируют на изменение в уровне дохода совер-шенно неодинаково. Его значение велико и положитель-но в том случае, когда продавцы склонны по мере того, как становятся богаче, увеличивать потребление товара Х _r гораздо больше, чем покупатели этого товара в тех же самых обстоятельствах.

Таким образом, подобное значительное различие в поведении покупателей и продавцов является одной из воз-можных причин нарушения стабильности. Чтобы выяс-нить, могут ли существовать какие-либо другие причи-ны, предположим, что подобного несоответствия нет ни на одном рынке, так что всеми членами уравнения, со-ответствующими эффекту дохода, можно пренебречь.

Якобианы устойчивости сводятся тогда к следующему виду:

Про эти определители мы знаем, что первый из них отри-цателен. Чтобы рассмотреть определитель второго поряд-ка, преобразуем его, используя правило (3). Будет удоб-но предположить, что все прочие товары, за исключением Х_m и X_s, сгруппированы вместе в составной товар Х₀ (мы имеем право это делать, так как данный определитель второго порядка возникает из рассмотрения случаев, ког-да цены прочих, кроме данного, товаров предполагаются заданными). Используя правило (3) в форме

получим второе условие нестабильности в виде следую-щего выражения:

Очевидно, что это условие будет удовлетворяться, если все три пары товаров будут взаимозаменяемы; оно будет также выполняться, даже если в системе присутствует определенная дополняемость, при условии, что масштабы этой дополняемости не слишком велики.

Нетрудно с помощью метода индукции показать, что условия и более высокого порядка могут быть представ-лены аналогичным образом. Следовательно, наши рассуж-дения сохранят силу и здесь.

16. Последствия расширения спроса. Предположим, что спрос на товар x_r немного увеличится. С этим вопро-сом можно разобраться, как мы делали (см. гл.V), выяснив, какие изменения цен были бы необходимы в ста-рых условиях, чтобы вызвать на рынке товара x_r малое превышение предложения над спросом, если предложе-ние остается равным спросу на рынках прочих товаров (за исключением рынка товара x_n, принятого за единицу масштаба стоимости, так как спрос на x_r расширился за счет спроса на товар x_n).

Из условий стабильности с очевидностью следует, что следует предполагать повышение цены товара x_r.

Каким будет воздействие на цены прочих товаров, можно понять из анализа уравнений (14.1). Предполо-жим вначале, что влияние повышения цены x_r на все прочие цены, за исключением цены товара x_s, достаточно мало и его можно не рассматривать. Тогда из второго уравнения (14.1) получаем:

следовательно,

(если членами уравнений, соответствующими эффекту дохода, можно пренебречь). Так как x_ss отрицательно, то цена товара x_s увеличится, если товары x_s и x_r взаимоза-меняемы, и уменьшится, если они взаимодополняемы.

Если переписать эту формулу в виде:

(мы использовали правило (3)), то p_s увеличится по срав-нению с р_r в меньшей степени, за исключением случаев, когда x_s и x₀ находятся в отношении дополняемости).

Далее, предположим, что цены товаров х_s, и x_t могут существенно измениться. Тогда из второго и третьего уравнений (14.1) имеем:

(членами уравнений, соответствующими эффекту дохо-да, мы пренебрегаем). В этом выражении знаменатель положителен, что следует из условий стабильности. Первый член числителя означает, что есть прямое воздейст-вие на цену товара x_s, второй член свидетельствует о опо-средованном воздействии на цену x_s через цену x_t. Если товар x_t не взаимосвязан с х_r и x_s, то значение последнего члена будет, как правило, пренебрежимо мало, а форму-ла сведется к более простому виду (см. 16.1). Но если между товарами наблюдается тесная взаимосвязь, то кос-венное воздействие повышения цены xr будет осущест-вляться в соответствии с правилом <замещения взаимо-заменяемых товаров (см. гл. V).

17. Возьмем последний якобиан из всего набора опре-делителей стабильности-тот, у которого n-1 строк и столбцов, так что он включает в себя все товары, за ис-ключением товара, принятого за единицу масштаба стои-мости, и все переменные цены. Назовем его I. Пусть I_rr, I_rs - алгебраические дополнения δХ_r/δр_r, δХ_r/δр_s в I. Пусть I_{rr, ss}, I_{rr, st} - алгебраические дополнения δХ_s/δр_s, δХ_s/δр_t в I_rr.

Тогда, учитывая косвенное воздействие повышения цены x_r через цены всех прочих товаров, получаем (см. 14.1):

Если, пренебрегая эффектом дохода, мы уберем все элементы Х_rr, Х_ss и т. д. при помощи третьего правила, то полученное уравнение можно рассматривать как <пре-образование> dX_r/dp_r в понятия эффектов замещения, дей-ствующих между парами товаров Х_rs, Х_st, где r<>s<>t. Что можно сказать о зависимости уравнения от этих эффек-тов замещения?

Дифференцируя (17.1) по Х_st, где или s, или t (но, как очевидно, не оба вместе) может равняться r, получим:

Из нашего третьего правила следует, что δx_ss/δx_st = -p_t/p_s, а из хорошо известного свойства обратных определителей – что

Используя эти свойства, мы можем продолжить диффе-ренцирование

что означает обязательный отрицательный результат. dX_r/dp_r неизбежно отрицательно; следовательно, мы до-казали, что абсолютная величина этого выражения будет тем больше, чем больше эффект замещения между лю-бой парой товаров в системе.

Приложение к главе VI

18. Равновесие фирмы. Условия равновесия. Можно считать, что фирма использует различные количества факторов y₁, у₂, у₃,..., y_m для производства различных ко-личеств продуктов x_m+1, x_m+2,..., x_n. Ее цель состоит в максимизации прибыли:

при условии, что выполняется соотношение, связывающее х и у. Так как с точки зрения фирмы разница между фактором и продуктом-всего лишь разница в знаке, то для простоты мы можем рассматривать факторы как отрицательные продукты, обозначив -y_r через x_r (r

при соблюдении условия f(x₁, x₂, х₃,..., x_n)=0. (Необхо-димо отметить, что функция f произвольна в том же са-мом смысле, в каком была произвольна функция полезно-сти u. Любая функция φ (f), которая равна 0, когда f рав-на 0, годится для анализа наравне с f.)

Если предположить, что фирма находится в условиях совершенной конкуренции, то задачу максимизации можно опять исследовать путем введения множителя Лагранжа и максимизации выражения V-μ f. Отсюда имеем:

d(V-μf)=0

d²(V-μf)<0.

Из первого условия мы получаем: pr=μ f_r {r=1, 2, 3,......, r_e). Если избавиться от μ, то получим n-1 уравнение, которые вместе с производственной функцией опреде-ляют n величин x₁, х₂,..., Х_n.

Так как V линейна, то d²V=0, следовательно, второе условие предполагает, что d²f>0, если df=0.

Преобразуя полученные выражения (так же как и в § 4, но с учетом разницы в знаке), мы получаем анало-гичный набор условий стабильности. Все определители

должны быть отрицательными. (См. 2(3).)

Будет удобно использовать обозначения, в точности аналогичные тем, которые мы применяли при рассмотре-нии теории полезности. Так, если F - последний из дан-ных определителей, то алгебраическое дополнение f_rs в F будет обозначаться как F_rs. Условие того, что F_rr/μ F поло-жительно, инвариантно относительно замены f на φ (f) в качестве производственной функции.

Приложение к главе VII

19. Равновесие фирмы. Воздействие на него изменения цены. Предположим теперь, что цена рr меняется, а цены всех остальных товаров остаются неизменными.

Уравнения равновесия выглядят следующим образом:

Продифференцируем их по:

Из вида определителей стабильности следует, что вы-ражения F_rs/μ F будут подчиняться законам, очень похо-жим на те, которым подчинялись члены уравнений, соот-ветствовавшие эффекту замещения в теории полезности. Если один раз изменить знак, то эти правила можно сде-лать идентичными. Поэтому обозначим:

Соответственно, получим наше фундаментальное уравне-ние в виде

и в точности аналогичный набор правил:

Фундаментальное уравнение записано в такой форме, в которой оно выражает воздействие изменения цены (про-дукта или фактора) на предложение продукта. Чтобы вы-яснить, каким будет воздействие на величину спроса на фактор, необходимо лишь заменить x_s на -y_s. Фундаментальное уравнение будет тогда выглядеть следующим образом: σy_s / σp_r = х_rs. Наши правила остаются совершенно без изменений.

20. Тенденция к преобладанию отношений дополняе-мости между факторами. В теории производства, разра-ботанной в двух предыдущих разделах, неявно предпола-гается, что предприниматель обладает некоторым фикси-рованным производственным ресурсом, который ограни-чивает размеры производства и по отношению к которому прибыль V может считаться доходом. Если такого фик-сированного ресурса не существует, то у нас нет основа-ний считать, что одинаковое пропорциональное увеличе-ние всех факторов не позволит увеличить производство всех продуктов в соответствующей пропорции. С матема-тической точки зрения это будет означать, что если f (x₁,x₂,..., x_n)=0

то f(λx₁, λх₂,..., λх_n)=0

для всех значений λ. Производственная функция (запи-санная, как мы ее писали, в неявной форме) будет одно-родной функцией нулевого порядка.

Тогда, по теореме Эйлера, Σx_rf_r=0. (Так как из 19.1 следует: pr=μf_r, предполагается, что V=0.) Дифференцируя еще раз, получим f_s+ Σ x_rf_r, s=0 (s=l, 2, 3,..., n).

Если использовать эти тождества для преобразования определителей стабильности, то сразу станет ясно (мы умножаем 2-ой, 3-ий,... столбцы на х₁, х₂... и складываем их с первым), что F (последний из определителей устой-чивости) равен нулю.

Так как х'_rs=- F_rs/μ F, все члены х' обращаются в беско-нечность. Цена одного фактора (или продукта) не может измениться, если не меняются цены других факторов или продуктов, чтобы равновесие не оказалось полностью на-рушенным. Если цена продукта растет, объем производ-ства будет бесконечно большим; если же цена фактора растет, его значение станет равным нулю. Для того край-него случая, который мы рассматриваем наш анализ мо-жет оказаться совсем непригодным.

Тем не менее полезно выяснить, чем определяется на-правление изменения предложения продуктов или спро-са на факторы, так как можно ожидать, что соответст-вующие законы будут верны и тогда, когда мы будем приближаться к рассмотрению крайнего случая, не до-стигая его. Для ответа на этот вопрос можно вычислить F_rs, при условии, что производственная функция однород-на в нулевой степени.

Преобразуя этот определитель дважды тем же методом, который мы использовали для преобразования F, полу-чим, что он равен x_rx_sF₀, где F₀ - алгебраическое допол-нение 0 в определителе F, т. е. главный минор определи- теля. Следовательно,

x'_rs=-x_rx_s F₀/μ F

для всех значений r и s.

Так как мы знаем, что x'_rr отрицательно, то F₀/μ F должно быть положительным. Если x_r и х_s, оба продук-ты или оба факторы, то x_rx_s будет положительным, a x'_rs, следовательно, отрицательным. Если один из них - про-дукт, а другой - фактор, то x_rx_s отрицательно, a x'_rs, сле-довательно, положительно.

Таким образом, по мере приближения к рассмотре-нию предельного случая, мы должны полагать, что фак-торы и продукты распадутся на две взаимодополняемые группы; в то время как <заменяемость>, которая тем не менее должна доминировать в системе в целом (в системе факторов и продуктов, взятых вместе), будет обеспечиваться исключительно отношениями фактор - продукт.

Приложение к главе VIII

21. Общее равновесие производства. Теперь необходи-мо свести воедино все выводы, к которым мы пришли, и использовать их для выяснения вопроса о том, как ра-ботает вся статическая система в целом. Мы предполагаем (как и в тексте книги), что индивиды, составляющие эко-номическую систему, представляют на рынок один (или оба) из ресурсов двух видов: (1) товары или факторы, которые можно непосредственно продавать на рынке, (2) <предпринимательские> ресурсы, которые можно ис-пользовать для производства товаров на обмен, но которые сами по себе не могут быть проданы. При любой данной системе цен будут использоваться только те предприни-мательские ресурсы, использование которых принесет по-ложительную прибыль.

При данной системе цен будет наблюдаться опреде-ленный спрос на товары со стороны потребителей (со-вокупный потребительский спрос на товар Х_r мы обозна-чим как Х_r); будет наблюдаться предложение непосред-ственно от частных лиц (X_r); и будет наблюдаться пред-ложение только что произведенных товаров (Х'_r). Рынок товара Х_r будет находиться в равновесии, если

Х_r=Х(ср) _r+Х'_r. (21.1)

Необходимо отметить, что это уравнение записано и самом общем виде; оно может использоваться по отноше-нию к товару, услуге, продукту или фактору. Если Х_r - товар конечного потребления, предложение которого це-ликом обусловлено производством, то Х_r=0 и уравнение приобретает вид:

X_r=X'_r

Если этот фактор производства (такой как труд), то Х'_r отрицательно. Х_г включает в себя спрос па прямые услу-ги фактора, независимо от того, предъявляется он другими людьми или самим поставщиком фактора. (Это, видимо, самый удобный способ учитывать изменения в предложе-нии фактора). Таким образом, уравнение выглядит сле-дующим образом:

(-Х'_r)+Х_r =Х(ср) _r.

Если Х_r - полуфабрикат, который производится и потреб-ляется в ходе производства, но продается одной фирмой другой фирме, то только по этой причине X, и Х(ср)=0 и уравнение принимает вид: x'_r=0.

(Чистое предложение всех фирм, взятых вместе, равно нулю.)

Таким образом, уравнение одного и того же вида под-ходит для всех товаров и услуг. Как и прежде, один из товаров должен служить масштабом измерения стоимо-сти; так что если имеется всего n товаров, то необходи-мо определить n-1 цен. Как и прежде, одно уравнение следует из остальных. Среди уравнений, задающих усло-вия равновесия частного лица, имеется следующее:

где V - прибыль, которую оно получает от обладания каким-либо предпринимательским ресурсом. Суммируя ато по всем индивидам, получаем:

где Σ V - общая сумма прибыли для всей экономики. Аналогично, для каждой фирмы:

Σ p_rx_r =V

Суммируя эти уравнения, получаем:

следовательно:

Таким образом, если уравнения равновесия (21.1) вы-полняются для n-1 товаров, то они должны выполнять-ся и для n-го товара. Есть только n-1 независимое уравнение, и система не является переопределенной.

22. Стабильность общего равновесия. Как и в равно-весии обмена, для обеспечения стабильности необходимо, чтобы падение цены на любом рынке делало спрос боль-шим, чем предложение. Чтобы стабильность была совер-шенной, это условие должно выполняться, если (1).цены всех прочих товаров постоянны, (2) цены меняются одна за другой таким образом, чтобы поддерживалось равно-весие на остальных рынках. Для несовершенной стабиль-ности необходимо, чтобы это условие выполнялось и пос-ле изменения всех прочих цен.

Данное условие можно записать в виде: d/dp_r (X_r-X_r-x'_r) < 0. Но так как Xr можно считать заданным неза-висимо от уровня цен, оно сводится к выражению:

Это выражение можно раскрыть, как и в разделе 14. Оно превратится в отношение двух определителей, типичный элемент которых будет выглядеть как

Мы знаем, как преобразовать последнее выражение. Из (12.1) следует:

(с учетом изменения V при изменении p_r).

Из (19.4) следует, что δx_s/δp_r=-x'_rs для каждой фирмы; таким образом, суммируя, мы получим δX_s/δp_r=-X'_rs, где X'_rs должно изменяться как и X_rs.

Следовательно, δ/ δp_r (X_s-X'_s)= Σ (x(ср) _r+x'_r-x_r) δx_s/δM+ X_rs+X'_rs. Так как движение X_rs и X'_rs подчиняется од-ним и тем же правилам, то и движение X_rs+X'_rs должно подчиняться тем же правилам.

Таким образом, выражение δ/ δp_r (X_s-X'_s) изменяется так же, как и выражение δx_s/δp_r, которое мы рассматривали в теории обмена. Следовательно, дальнейший анализ общего равновесия производства совпадает с анализом общего равновесия обмена; все выводы разделов 15-17 можно интерпретировать в более широком смысле.

Приложение к главе XV.

23. Определение плана производства. Продолжим рас-сматривать факторы как отрицательные продукты, как это было удобно делать в теории статики. В динамике задача, стоящая перед фирмой, заключается в том, чтобы определить поток выпускаемых продуктов, который может быть произведен на имеющемся оборудовании и который будет обладать максимальной дисконтированной стоимо-стью (см. гл. XV). Если мы обозначим через x_r0, x_r1,..., x_rv количества товара x_r, которые планируется продавать в каждую последующую <неделю>, начиная с нынешней, то производственная функция примет вид f(x₁₀, x₂₀,..., Х_n0, х₁₁, х₂₁,..., x_n1, x₁₂, x₂₂,..., х_n2,..., x_1v, x_2v,..., x_nv) =0, если считать, что план распространяется вперед на v недель.

Дисконтированная стоимость плана равна

где Βt=l/(l+i_t), a i_t-ставка процента (в неделю) для ссуд сроком на t недель; р_ro - текущая цена x_r и p_rt - цена, которая, как считает предприниматель, установится через t недель. (Необходимо считать, что в prt учитывает-ся риск таким образом, как это описано в тексте в гл. XV, раздел 6.)

С точки зрения индивидуального предпринимателя, в условиях совершенной конкуренции все бета и все р заданы; следовательно, несмотря на то, что эта задача кажется более сложной, с формальной точки зрения она тожде

⇐ Предыдущая25262728293031323334

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: