Пропедевтика изучения темы «Объемы многогранников»

Как по ранее действовавшей, так и по новой программе тема «Прямоугольный параллелепипед и его объем» изучается в 5 классе и увязывается с изучением законов арифметических действий. Изложение этого материала содержит максимально полное рассмотрение вопросов, связанных с первоначальными пространственными представлениями, прямоугольным параллелепипедом и понятием объема. Эксперимент, проведенный во многих школах, показал, что такое изложение темы требует 15-16 уроков, в то время, как новая программа отводит на этот материал (вместе с решением задач) несколько меньшее время. Учебник математики должен содержать полное объяснение, позволяющее учащемуся в случае необходимости (например, в случае пропуска двух-трех уроков по болезни) самостоятельно разобраться в материале по учебнику. Между тем изложение первоначального геометрического материала в наших учебниках для 5 класса традиционно является чрезмерно сжатым, практически не раскрывает все моменты элементарной геометрии. Поэтому при объяснении материала и при решении задач учитель вынужден сам давать дополнительные разъяснения.

Во-первых, учащиеся должны понимать, что такое прямоугольный параллелепипед. Речь идет вовсе не о том, чтобы они представляли себе прямоугольный параллелепипед как нечто похожее на коробку или брусок. У учащихся должны быть сформированы первоначальные пространственные представления: поверхность и каркас прямоугольного параллелепипеда, четверки параллельных ребер, измерения прямоугольного параллелепипеда, равенство противоположных граней, развертка и т. д.

Каким бы простым телом ни казался параллелепипед, учащимся требуется определенное время на знакомство с ним. Каждый ученик должен иметь на уроке и дома какую-нибудь модель параллелепипеда. При этом важно, чтобы учащиеся не просто рассматривали параллелепипед, но и задействовали при его изучении и другие виды восприятия. Так, они должны не только глазами, но и пальцами провести по его ребрам, «ощутить», что в каждой вершине сходятся три ребра. Взяв параллелепипед в руки так, чтобы в каждой его вершине оказалось по одному пальцу, они увидят и ощутят мышечно, что число задействованных пальцев равно 8, следовательно, у параллелепипеда 8 вершин. Аналогично можно сосчитать и число его граней. Такое использование при восприятии тела различных органов чувств помогает создать более полный его мыслительный образ [19].

Результатом подобного изучения параллелепипеда должно стать осознание целого ряда особенностей. Все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники, и всего их шесть; напротив друг друга расположены равные грани, таких пар равных граней три; в каждой вершине сходится три неравные грани. Аналогичные выводы можно сделать и о ребрах: всего их 12; есть равные ребра – три группы по четыре ребра; в каждой вершине сходится три ребра разной длины. Наконец, вершины: их 8, по четыре вершины в каждой из противолежащих граней. Такое всестороннее и внимательное изучение параллелепипеда, однако, не предполагает, что предлагаемые далее задания выполняются учащимися в умственном плане без опоры на модели и рисунки.

Особенностью рассмотрения параллелепипеда является комбинированный характер большинства рассматриваемых задач, который заключается не только в активной работе пространственного воображения, но и в привлечении изученных ранее понятий в новых ситуациях и сочетаниях: ломаная, составленная из ребер куба, периметр грани, площадь поверхности и др. Это создает определенные сложности для учащихся, поэтому выполнение таких упражнений требует дополнительных комментариев и разъяснений учителя.

Во-вторых, учащиеся должны получить первоначальное представление об объеме тела как о месте, занимаемом этим телом в пространстве. Эта задача нам представляется особенно важной. Учащиеся должны получить внутреннее убеждение о том, что объем – это объективное свойство окружающих предметов [1].

Начать изучение пункта «Объем параллелепипеда» полезно с напоминания о том, как измеряются длины и площади (выбор единицы измерения и др.) (Приложение 4)

Вывод правила вычисления объема параллелепипеда аналогичен выводу правила вычисления площади прямоугольника, поэтому сначала полезно повторить вывод последнего. Заметим, что очень важно сопроводить вывод правила нахождения объема параллелепипеда практическим выполнением учащимися описанных в учебнике действий. Полезно дать каждому учащемуся возможность повторить эти действия самостоятельно, проговаривая и поясняя их. Эти действия по заполнению пространства кубиками следует постепенно перевести в умственный план. Необходимость в них со временем отпадет и, сохраняя идею измерения пространства, учащиеся смогут сначала перейти к правилу вычисления объема параллелепипеда, а позднее и к формуле. Этим и определяется значительная доля заданий с кубиками, в которых требуется изобразить тело заданного объема, сложить (мысленно или практически) параллелепипед и определить его измерения, по изображению определить число кубиков, вошедших в коробку, и т. д. Кроме того, эти упражнения прекрасно развивают пространственное воображение: умение представить фигуру по ее описанию или изображению, выполнить с помощью нее заданные действия.

В-третьих, учащиеся должны усвоить формулу вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. При этом они должны четко понимать, что, например, формула V = abc дает не определение объема прямоугольного параллелепипеда, а способ его вычисления. Нам представляется совершенно недопустимым ответ учащихся, который чаще всего приходится слышать: «Объем прямоугольного параллелепипеда – это произведение трех его измерений».

Если к этому добавить, что указанный материал должен быть увязан с законами арифметических действий, что необходимо научить пятиклассников решать задачи, связанные с нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, что нужно рассмотреть вопрос о единицах измерения объемов и о переходе от одних единиц к другим и что, наконец, необходимо провести заключительную контрольную работу по теме, то станет ясно, что уложить все это в 16 часов можно лишь при напряженном режиме времени в классе. Тенденция к уменьшению числа часов, отводимых на данную тему, нам представляется не только методически не оправданной, но и вредной.

Учащиеся должны уметь приблизительно представлять кубические единицы измерения: 1 см³, 1 дм³, 1 м³, знать, что 1 дм³ = 1 л, представлять объемы некоторых сосудов, например, объем стакана равен 1/4л = 250 мл = 250 см³, объем ведра равен приблизительно 10 л, объем чайной ложки – 5 см³ или 5 мл., уметь осуществлять переход от одних единиц измерения в другие [19].

Перевод одних единиц в другие должен опираться на знание линейных метрических зависимостей. Полезно, если учащиеся составят табличку зависимостей между основными единицами объема, и будут пользоваться ею в дальнейшем при выполнении упражнений (Приложение 4).

Очень важный момент в теме «Объемы» – это переход от одних единиц измерения к другим. Затруднение детей в непонимании, а что же такое «куб. ед.» (ед³)? Отсюда большое количество ошибок при выполнении заданий типа: «Выразите в кубических сантиметрах 2 дм³ 80 см³». Учащийся судорожно вспоминает, сколько кубических сантиметров в кубическом дециметре. Естественно, он часто ошибается и не имеет алгоритма для проверки своих знаний.

Особое место при изучении объема тел занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. А это необходимый вид деятельности при изучении геометрии.

Итак, разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только способствует общему умственному развитию школьников, но развивает пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5-6 классах при изучении математики.

Задание: 1) Имеются два сосуда вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

 2) Какими могут быть размеры комнаты, объем которой равен 60 м³?

3) Изготовьте каркасную модель куба объемом 1дм³.

4) Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получится ряд?

5) Вычислите объем вашей комнаты, где вы занимаетесь дома [5].

Отметим, что при изучении объемов тел необходимо уделять внимание и разверткам геометрических тел. Начать работу по изучению этого материала необходимо с практической деятельности: изготовления развертки и сворачивания ее в пространственное тело. Важно при этом обращать внимание учащихся на сам процесс сворачивания, на то, какие грани оказались противоположными, а какие – соседними, какие отрезки и точки совместились. Переход от практического решения к мысленному должен осуществляться постепенно, с учетом индивидуального развития учащихся.

Задание: 1) Куб сложен из 8 маленьких кубиков. Сколько прямоугольных параллелепипедов содержится в этом кубе?

2) Деревянный куб покрасили со всех сторон, потом распилили его на 27 одинаковых кубиков. Сколько среди них имеют одну, две, три окрашенные грани? Сколько кубиков не окрашено?

3) Из фигур выберите те, которые являются развертками куба? (рис. 3)

4) Какой длины получится полоса, если кубический километр разрезать на кубические метры и выложить их в одну линию?

5) В пустой прямоугольный бассейн, размеры которого 100 х 100 метров, налили 1 000 000 литров воды. Можно ли плавать в этом бассейне? [27]