 |
Методика изучения темы «Объем. Объемы призмы. Объемы прямоугольного параллелепипеда»
|
|
|
|
При планировании данной темы следует предварительно разбить ее на логически законченные части. Это поможет учителю правильно организовать повторение, проводить систематически учет и контроль знаний учащихся, своевременно и постепенно готовить средства наглядности, сгруппировать умения и навыки в соответствии с указаниями программы, заблаговременно подобрать соответствующие задачи и упорядочить их, подготовить тематику и содержание самостоятельных и контрольных работ, а также другие дидактические материалы (Приложение 2).
Тема «Объемы многогранников» изучается в 11 классе. На уроки геометрии в 11 классе отводится по два часа в неделю, всего 68 часов. Из них на объемы многогранников отводится 15-19 часов (в зависимости от учебника).
Подготовительной работой к началу изучения темы «Объемы многогранников» может служить повторение темы «Многоугольники», свойств и формул площадей многоугольников, многогранников, задач на построение сечений из курса 10 класса.
Уже в 7-9 классах учитель может включать в уроки задания типа:
1) Чему равна площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер, исходящих из одной вершины, равны a, b, c?
2) Вычислите площадь диагонального сечения куба, ребро которого равно 4 см (рис. 4).
3) Сколько краски потребуется, чтобы окрасить
куб с ребром 2,5 см, если на покраску одного квадратного метра требуется 200 г краски?
4) Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а высота 7 см.
|
5) На рис. 5 изображена развертка четырехугольной призмы. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь полной поверхности призмы.
|
|
|
6) Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, а боковое ребро 20 см (основанием правильной пирамиды является квадрат, а все боковые ребра имеют одинаковую длину).
7) Вычислите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 8,3 см, а боковое ребро – 12 см.
Основная цель уроков – ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.
Для введения понятия объема учащимся понадобятся знания из курса планиметрии, которые необходимо повторить, а именно: понятие многоугольника, его площадь, свойства площадей, знание формул для нахождения площадей некоторых многоугольников, понятие многогранника, их виды, свойства.
Необходимо напомнить известные учащимся понятия призмы и прямоугольного параллелепипеда. Подчеркнуть, что каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело и отделяет его от остальной части пространства. Если следовать строго дедуктивному пути изложения школьного курса стереометрии по учебнику [7], надо определить такие понятия как «геометрическое тело», «ограниченность тела», «простое тело», которые лежат в основе определения объема многогранника. Однако на любом этапе обучения в средней школе следует руководствоваться принципом педагогической целесообразности при введении понятия. В данном случае, как понятие геометрического тела, так и понятие ограниченности тела, педагогически целесообразно считать интуитивно ясным для учащихся из их опыта и не давать им формально-логических определений, которые окажутся недоступными для всех учащихся. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.
|
|
|
Считаем, что полезно перед изучением определения «Объем» провести с учениками беседу по теме «Многогранники и его элементы».
1. Объясните, что такое:
а) многогранник;
б) поверхность многогранника.
2. Дан выпуклый многогранник. Что называют его гранью, ребром, вершиной?
3. Назовите известные вам многогранники. Выпуклым или невыпуклым является каждый из них? Сколько граней, ребер, вершин у каждого из них?
4. Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер, граней имеет полученный многогранник?
5. Какие фигуры можно получить в сечении куба плоскостью, проходящей через:
а) одно из ребер;
б) одну из диагоналей;
в) одну из его вершин?
6. Приведите пример, показывающий, что объединение выпуклых фигур может не быть выпуклой фигурой.
7. Является ли пространственный крест (фигура из семи равных кубов) правильным многогранником? Сколько квадратов его ограничивает? Сколько у него вершин и ребер?
8. Обязательно ли является многогранник правильным, если все его ребра и многогранные углы равны? [17]
После введения понятия объемов многогранников необходимо решение задач на нахождение объемов, на свойства объемов многогранников. У учителя есть выбор: или он сам подбирает необходимые задачи, или он берет задачи из учебника.
Для формирования понятия объема тела авторами учебника [7] предлагается использовать следующие типы задач:
ü нахождение объемов тел с помощью формул;
ü нахождение элементов тел по их объему;
ü вычисление объемов многогранников, используя свойство аддитивности.
Используя модели многогранников (куб, тетраэдр, параллелепипед, призма и др.) необходимо назвать его элементы: вершины, грани, диагонали граней, диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировку задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения. Также эти знания понадобятся в дальнейшем при выводе формул для нахождения объемов тел.
В настоящее время в школьных программах по геометрии все чаще используют учебные пособия [7] и [8]. Доказательства теорем в данных учебниках представлены в приложениях 5 и 6, выделим положительные и отрицательные стороны изложения материала.
|
|
|
Доказательство теоремы в учебнике [7] разбито на два случая:
1) измерения a, b, c - конечные десятичные дроби,
2) хотя бы одно из измерений a, b, c - бесконечная десятичная дробь. При этом автор делает ссылку, что доказательство этой теоремы не является обязательным для изучения. В первом случае (a, b, c - бесконечная десятичная дробь), автор предлагает разбить каждое ребро параллелепипеда на равные части длины 1/10n, а затем через эти точки провести плоскости, перпендикулярные данному ребру. После находят объем каждого такого куба (с опорой на понятие объема), а затем по свойствам объема находят объем данного тела, то есть прямоугольного параллелепипеда.
Следствием теоремы являются обобщение полученной формулы для прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, как произведения площади основания на высоту.
По учебнику [8] при выводе данной формулы вначале доказывают утверждение о том, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. При доказательстве этого утверждения автор также предлагает разбить ребро одного из параллелепипедов на большое число n равных частей, а ребро другого параллелепипеда на m равных частей. Затем через точки деления проводит плоскости, параллельные основанию. Находит для каждого из них объемы, рассматривает промежутки, в которых они находятся. А так как число n можно брать сколь угодно большим, то следовательно доказывается условие данного утверждения. Затем автор берет куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а,1,1; а,b,1; a,b,c. Обозначил их объемы и по доказанному утверждению вывел формулу.
Преимущество учебника [7] в том, что после каждого пункта идет список вопросов и задач, в то время, как в учебнике [8] практическая часть представлена небольшим количеством задач. Но основная тематика задач двух учебников похожа друг на друга. Далее порядок изучения тем расходится. В учебнике [8] предлагается рассмотреть объем наклонного параллелепипеда, причем доказательство сводится к добавлению и отсечению треугольной призмы. Тогда доказательство будет опираться на формулу прямоугольного параллелепипеда.
|
|
|
Используя следствие теоремы и свойства объемов, доказывается формула объема прямой призмы, также в два этапа. Сначала для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник, а затем более общий случай – для произвольной призмы. При доказательстве авторский коллектив учебника [7] опирается на выведенную формулу объема прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник. Поэтому на втором этапе учащиеся легко могут доказать формулу для произвольной прямой призмы, разбив основание на треугольники.
Автор учебника [8] при доказательстве теоремы об объеме призмы, дополняет сначала её до параллелепипеда; используется свойство симметрии для того, чтобы показать, что достроенная призма симметрична исходной, а следовательно их объемы равны. Учащиеся уже умеют находить объем параллелепипеда, а площадь основания (состоящая из двух треугольников) они умеют находить еще из планиметрии. Следовательно, они смогут найти объем призмы. Далее Погорелов рассматривает произвольную призму. Так же как и Атанасян, Погорелов разбивает основание призмы на треугольники. Затем находит объем каждой такой призмы, а уже затем по определению объемов находит объем данной призмы (как сумма объемов треугольных призм, её составляющих).
|
|
|
