Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Определение оценок среднеквадратического отклонения

Оценка S ² генеральной дисперсии σ² любого закона распределения может быть вычислена (при неизвестном математическом ожидании генерального среднего) по формуле:

(17)

Эта оценка является несмещенной и состоятельной, а для нормального распределения - еще и эффективной.

Для нормального закона распределения оценка генерального среднеквадратического отклонения (СКО) S результатов наблюдений определяется:

(18)

Оценка является несмещенной, состоятельной и асимптотически эффективной только для нормального закона. В случае представления результатов вариационным рядом следует пользоваться формулой (5.3).

Несмещенная оценка СКО для нормальных распределений так же определяется по формуле:

(19)

(20)

Значения коэффициента М _к приведены в таблице 1

Таблица 1 - Значения коэффициента М _к в зависимости от количества наблюдений п

СКО случайной погрешности оценки центра распределения (СКО результата измерений) убывает по сравнению с СКО результата наблюдений

в как показано по формуле:

(21)

Определение оценок третьего центрального момента μ ₃ коэффициента асимметрии γ_a, СКО коэффициента асимметрии σ (у_a) проводится по формулам:

; (22)

(23)

(24)

Формулы для вычисления начальных a_k и центральных μ _k моментов и соотношения между ними приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Перечень формул

Выбор формул, приведенных во второй и третьей графах таблицы и дающих практически одинаковые результаты, осуществляют в зависимости от особенностей используемых средств вычислительной техники, алгоритмов и программ обработки информации.

Рассмотрим на примере последовательность определения оценок центра распределения. Даны результаты 20 измерений перемещения для точек пера лопатки компрессора под действием центробежной силы. Результаты наблюдения и частота их появления указаны в таблице 3.

Таблица 3 - Результаты наблюдений

Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерения.

Будем считать, что закон распределения не известен. В этом случае, как отмечалось раньше, за оценку центра распределения экспериментальных данных принимают медиану из ряда пяти оценок центров (расположенных в вариационный ряд).

Определяем оценку центра как:

· среднее арифметическое по формуле (4):

мкм;

среднее арифметическое 90 %-ной выборки определяем по
формуле (7). Пять процентов выборки в нашем случае 0,05 ^. n = 0,05 ^. 20 =1,
т. е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с концов
вариационного ряда, т. е. результаты x₁ = 23,0 мкм и x₂₀ = 23,7 мкм.

Тогда:

мкм;

· медиану распределения - по формуле (9). Поскольку n -четное, то

мкм

мкм;

· срединный размах определяем по формуле (15). Для этого вычисляем 25 % и 75 %-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:

мкм; мкм.

Тогда:

мкм.

· центр размаха определяем по формуле (16):

мкм

мкм.

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд:

или

23,20 < 23,225 < 23,25 < 23,26 < 23,35 мкм.

За оценку центра распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое 90 %-ной выборки, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок: мкм.