Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Аналитическая теория эвольвентного зацепления

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Уравнение эвольвенты имеет вид:

θ = tg α ─ α = inv α (инволюта α); соs α = r_b / R,

где r_b – радиус основной окружности; углы θ и α измеряются в радианах;

остальные обозначения указаны на рис. 1.5.

Толщина S_y зуба колеса с внешними зубьями по окружности произвольного радиуса r_y:

, (1.4)

где S и r – соответственно толщина зуба и радиус делительной окружности.

r = mz/2;

. (1.5)

Радиус делительной окружности прямозубого зубчатого колеса

r = m z/ 2.

Для колес, нарезанных без смещения, межосевое расстояние

а_w = (z₁+ z₂) m /2.

Радиусы окружностей вершин и впадин

r_a = r + m_n h_a^*; r_f = r - m_n (h_a^* + c*),

где h_a^* - коэффициент высоты головки зуба;

c*- коэффициент радиального зазора.

Пример № 1.9

Найти толщину зуба колеса с внешними зубьями для основной окружности S_a и для окружности вершин зубьев S_b при α =20⁰, m = 10 мм, Z = 20, х = 0, h_a^*= 1.

Решение: радиус делительной окружности r = m z/ 2 = 100 мм.

Толщина зуба по делительной окружности S = π۰ m/ 2 = 15,7 мм.,

inv α = inv 20⁰ = 0,0149; inv α _b = 0.

По основной окружности: α _b = 0⁰; r_b = r ۰cosα = 100۰0.94 = 94 мм.

По окружности вершин зубьев: r_а = r+ h_a^*m= 100+1۰10 = 110 мм.,

α _a= arcos(r_b/ r_а) = arcos(94/ 110) = 31⁰20’; inv α _a = inv (31⁰20^’) = 0.0623.

Пример № 1.10

По данным предыдущего примера установить: на каком радиусе толщина зуба равна нулю.

Решение: Принимая в формуле (1.4) S_y = 0, получим

По таблице инволют α_у = 35⁰26’. cos α_у = 0.815.

Следовательно r_y = r_b/ cos α_у = 94 / 0.815 = 115 мм.

Пример № 1.11

Колесо с внешним зубом нарезано с положительным смещением х = 0,49. Остальные данные соответствуют примеру 1.9.

Найти толщину зуба колеса с внешними зубьями для основной окружности S_a и для окружности вершин зубьев S_b, для равносмещенного зацепления, когда х₂= - х₁.

Решение: толщина зуба по делительной окружности

Радиус окружности вершин r_a = r+m(x+ h_a^*)= 100+10 (0.49+1) = 114.9 мм.

cos α _a = r_b/ r_a = 94/114.9 = 0.817. α _a= 35⁰17’. Inv α _a = 0.0912.

КОСОЗУБЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КОЛЕСА

На рис. 1.6.показана косозубая рейка (p_n ─ нормальный шаг; p_t ─ торцевой шаг; β – угол наклона зуба).

Зависимости между этими величинами такие:

p_t = p_n / cos β; m_t = m_n / cos β; tgα _t = tgα _n / cos β,

где m_n, m_t ─ нормальный и торцевой модули;

α _n, α _t ─ углы зацепления в нормальном и торцевом сечениях.

Как правило, нормальный модуль является стандартным.

Радиус делительной окружности косозубого зубчатого колеса

r = m_t z/ 2 = z m_n / (2 cos β).

Для косозубых колес, нарезанных без смещения, межосевое расстояние

а_w = (z₁+ z₂) m_n / (2 cos β).

Радиусы окружностей вершин и впадин

r_a = r + m_n h_a^*; r_f = r - m_n (h_a^* + c*),

где h_a^* - коэффициент высоты головки зуба;

c*- коэффициент радиального зазора.

Коэффициент перекрытия косозубых колес

ε_γ = ε_α + ε_β= ε_α +(b sin β)/ p_n,

где ε_α – коэффициент торцевого перекрытия, ε_β – коэффициент осевого перекрытия, b – рабочая ширина венца колес.

Число зубьев эквивалентного колеса z_v = z / cos³ β.

Подрез зубьев косозубого колеса будет, если

z_v < z_min / cos³ β.

При h_a^* = 1, α _n = 20⁰ - z_min= 17.

Торцевой угол зацепления

где α _t ─ угол зацепления исходного контура в нормальном сечении.

Межосевое расстояние

а_w = (z₁+ z₂) m_n cos α _t / (2 cos α _tw).

Пример № 1.12

Спроектировать косозубую передачу при условии устранения подреза зубьев при z₁ = 8, z₂ = 12, m = 6 мм, β = 30⁰, h_a^* = 1, с*=0,25, α _n = 20⁰.

Решение: Число зубьев эквивалентных колес

z_v1 = z₁ / cos³ β = 8/ cos³ 30⁰ = 12,3;

z_v2 = z₂ / cos³ β = 12/ cos³ 30⁰ = 18,4.

Корригируем только шестерню: х_n₁= (17 – 12.3) / 17 = 0.276; х_n₁= 0.

Коэффициент смещения в торцевом сечении

х_t₁= х_n₁ cos β = 0.276 ۰0.867 = 0.239.

Угол зацепления исходного профиля в торцевом сечении

tg α _t = tg α _n / cos β = tg 20⁰ / cos 30⁰ = 0,420; α _t = 22⁰47’; inv α _t = 0,0224;

cos α _t = 0,922.

Угол зацепления в торцевом сечении

;

α _tv = 25⁰35’; cos α _tv = 0,902.

Межосевое расстояние

а_w = (z₁+ z₂) m_n cos α _t / (2 cos α _tw) =20۰6۰0,922/(2۰0,867۰0,902) = 70,77 мм.

Радиусы делительных окружностей, вершин и впадин зубьев такие:

r₁ = z₁ m_n / (2 cos β) = 6۰8 / (2 ۰cos 30⁰) = 27,75 мм;

r₂ = z₂ m_n / (2 cos β) = 6۰12 / (2 ۰cos 30⁰) = 41,58 мм;

r_f1 = r₁ - m_n (h_a^* + c*- х_n1) = 27,75 – 6 (1+ 0,25 - 0.276) = 21,85 мм;

r_f2 = r₂ - m_n (h_a^* + c*- х_n2) = 41,58 – 6 (1+0,25) = 34,08 мм;

r_а₁ = а_w- r_f2- m_n c* = 70,77 – 34,08 - 6۰0,25 = 35,19 мм;

r_а₁ = а_w- r_f1- m_n c* = 70,77 – 21,85 - 6۰0,25 = 47,72 мм.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОГО ОТНОШЕНИЯ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ РАЗЛИЧНЫХ СХЕМ

Планетарный однорядный механизм (механизм Джеймса).

Передаточное отношение можно определить:

1. графическим способом по чертежу;

2. аналитическим способом, используя формулу Виллиса.

Графический способ определения передаточного отношения.

Выберем на водиле Н точку F которая расположена на том же расстоянии от оси О₂, что и точка А.

Оси О₁ и О₂ расположены на одном уровне.

Для данной схемы входное звено – звено 1 (солнечное колесо), выходным является водило Н.

Зададимся отрезком АА’, который изображает линейную скорость колеса 1 в точке А. Т.к. колесо 1 вращается вокруг О₁, то закон распределения линейной скорости по первому звену изображается прямой линией О₁А’. Сателлит 2 в т.А имеет такую же линейную скорость, что и колесо 1. В т.С сателлит 2 имеет МЦС в абсолютном движении, т.к. идет контакт с неподвижным колесом 3. Закон распределения линейной скорости по второму колесу изображается прямой линией СА’. В т.В сателлит имеет линейную скорость, которая изображается отрезком ВВ’, однако т.В является также и осью водила Н, которое вращается вокруг О₂. Следовательно, закон распределения линейной скорости по водилу изобразиться прямой линией О₂В’. Для точки F водила линейная скорость изображается отрезком FF’.

От вертикали до линии распределения скоростей по водилу измеряем угол ψ_н, а от вертикали до линии распределения скоростей по колесу 1 измеряем угол ψ₁. Так как углы ψ₁ и ψ_н отложены от вертикали в одном направлении, то это показывает, что входное звено 1 и выходное звено вращаются в одном направлении.

Аналитический способ определения передаточного отношения.

Применим метод обращения движения, обратив планетарный механизм в непланетарный.

w₁^* = w₁ – w_Н

w₃^* = w₃ – w_Н= – w_Н

– плюсовой механизм.

Планетарный механизм со смешанным зацеплением

(с одним внешним и одним внутренним зацеплением).

Входное звено – первое звено;

Выходное – водило.

1– солнечное колесо;

2,3 – блок сателлитов;

4 – коронная шестерня;

Н – водило.

Выберем на выходном звене (на водиле) точку F так, чтобы O₁A= O₂F (оси O₁ и O₂ лежат на одной прямой - соосны).

1. Графический способ определения передаточного отношения

Отрезок АА' берем произвольно.

2. Аналитический способ определения передаточного отношения.

Обратим мысленно планетарный механизм в механизм с неподвижным водилом, для того чтобы использовать формулы для механизма с неподвижными осями зубчатых колес (применим метод обращения движения).

В обращенном движении каждое из звеньев будет иметь:

1 звено: ω^*₁= ω₁ + (–ω_н)

2 звено: ω^*₂= ω^*₃= ω₂ + (–ω_н)

3 звено: ω^*₃= ω^*₂= ω₃ + (–ω_н)

4 звено: ω^*₄= ω₄ + (–ω_н) = –ω_н

5 звено: ω^*_н= ω_н + (–ω_н) = 0

если (1) переписать через количество зубьев, то

плюсовой механизм.

2.3 Механизм с двумя внешними зацеплениями.

u⁽⁴⁾_1–Н= 20 ÷ 50 при η = 0.99

Входное звено – водило;

Выходное – первое колесо.

u⁽⁴⁾_1–Н = 1 / u⁽⁴⁾_Н–1

Например, если u⁽⁴⁾_Н–1= 20, то u⁽⁴⁾_1–Н = 1 /20.

Графический способ.

Выберем точку F на входном звене так, чтобы O₁F = O₂B.

Точка С для данной схемы может располагаться как выше, так и ниже точки А. В зависимости от положения точки С план скоростей будет разный.

ψ₁и φ₂– направлены в разные стороны от вертикали. Следовательно, водило и колесо 1 вращаются в разные стороны.

Аналитический способ.

Применим метод обращения движения.

u⁽⁴⁾_1–Н= 1 – u^(Н)_1–4

Запишем передаточное отношение через число зубьев: