Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Занятие № 11. Интерполяция с кратными узлами и формула Эрмита.




Рассмотрим задачу полиномиальной интерполяции функ­ции у= f(x) в более общей постановке.

Пусть на промежутке расположены m+1 не­совпадающих узлов и пусть в этих точках извест­ны значения у0 = f(x0), у1 = f (x1,),..., ут = f(xm) данной функции, а также некоторые ее производные (максимальный по­рядок производных в разных узлах различен; в каких-то узлах производные могут быть вовсе неизвестны). Такие узлы будем называть кратными узлами. Конкретнее, будем считать, что за­даны:

(1)

тогда кратность узла x0 считаетсяравной k0, узла x1 - k1, …, узла xm - km.

Предполагая, что суммарная кратность узлов есть

(2)

ставим задачу построения многочлена Нп(х) степени n (не вы­ше п) такого, что

(3)

где — заданные посредством (1) значе­ния функции f(x) и ее производных и по определению считается Многочлен будем называть интерполяционным многочленом Эрмита, а совокупность требований (3) — условиями эрмитовой интерполяции.

Формально можно считать, что нахождение такого много­члена состоит в том, чтобы однозначно определить п +1 коэффициентов a0, а1,..., ап его канонического представления

(4)

из условий (3). В силу предположения (2) о суммарной кратности узлов эрмитовой интерполяции, совокупность требо­ваний (3) можно рассматривать как систему из п+1 уравне­ний относительно п+1 неизвестных — коэффициентов ak мно­гочлена (4):

Выявление общего вида интерполяционных многочленов Эрмита Нп(х) представляет непростую задачу и требует при­влечения определенных сведений из теории функций комплекс­ной переменной. Рассмотрим одну из возможных процедур фактического построения таких многочленов, не тре­бующую знания их общего вида.

Пусть Lm(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по данным т+1 значениям yi = f (x i = 0,1,..., т. Будем пользоваться обо­значением Так как по ус­ловию т заведомо не превосходит п, то по теореме о делении многочлена с остатком искомый многочлен Эрмита Нп(х) можно представить в виде

(5)

где Hn-(m+1)(x) — некоторый неизвестный пока многочлен степени п-т- 1.

Для построения многочлена Hn-(m+1)(x) будем привлекать информацию о производных данной функции, т.е. равенства в тех узлах хi где первые производные, в соответ­ствии с (1), заданы (информация о самих значениях функции уже полностью исчерпана: в силу для всех хi от х0 до хm, согласно (5), будет и при любых i∈{ 0,1,..., т}).

Продифференцировав равенство (5), имеем

(6)

Поскольку в тех узлах хi, где по условию эрмито­вой интерполяции справедливо можно записать

Отсюда выражаем значения многочлена Hn-(m+1)(x) в этих уз­лах:

Правая часть этого равенства может быть вычислена; обо­значим ее через . Таким образом, в ряде узлов хi известны зна­чения многочлена Hn-(m+1)(x) = , по которым этот многочлен однозначно восстанавливается обычной лагранжевой интерполя­цией, если в условиях (1) не содержится производных поряд­ка, выше первого (т.е. нет ни одного узла кратности больше 1); подстановка найденного многочлена Hn-(m+1)(x) в (5) приво­дит к искомому интерполяционному многочлену Эрмита. Если же в исходной информации (1) об f(x) имеются значения производных более высокого порядка, чем первый, то для вос­становления многочлена Hn-(m+1)(x) ставится задача эрмитовой же интерполяции, для чего наряду с полученными его значения­ми , находят значения его производных путем дифференциро­вания равенства (6) (возможно неоднократного, в зависимости от максимального порядка заданных производных функции f(x)). Эта процедура построения интерполяционных многочле­нов Эрмита все более низких степеней продолжается до исчер­пывания всей информации (1) о функции и ее производных.

Рассмотрим реализацию описанного процесса эрмитовой интерполяции на простом примере, демонстрирующем возмож­ность восстановления многочлена n-й степени по его значениям и значениям некоторых его производных при суммарной кратно­сти узлов п+ 1.

Пример. Пусть сведения о некоторой функции у= f(x) пред­ставлены следующей дискретной информацией:

В соответствии с обозначениями (1) здесь: т=2;к0-1 =1, k1 - 1 = 2, к2 -1=1 => п+1=к012 = 7 => n =6.Таким образом, по данным сведениям о функции у = f(x), сосредоточенным в трех узлах кратности, соответственно, 2, 3, 2, следует строить интерполяционный многочлен Эрмита Н6(х).

Согласно предложенной выше схеме, сначала, пользуясь столбцами таблицы данных, записываем интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени

Далее по формуле (5) представляем Н6(х) через L2(x),H3 (x) и П3(х):

(7)

и дифференцируем этот многочлен дважды:

Подстановкой в значений х = -1, х = 0 и х=1 иприравниванием заданным значениям получаем значения

Учитывая их, из условия Я находим

Итак, для выявления многочлена H 3(х) в (7) снова имеем задачу
эрмитовой интерполяции с данными, содержащимися в следующей
таблице:

Здесь: В соот­ветствии с (5), для этого случая записываем:

(где — многочлен Лагранжа, интерполирующий функцию Н3(х))- Остается найти постоянную H0, для чего воспользуемся условием Имеем:

Следовательно,

Подставив это в (7), получаем окончательное выражение искомого многочлена:

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...