 |
Занятие № 11. Интерполяция с кратными узлами и формула Эрмита.
|
|
|
|
Рассмотрим задачу полиномиальной интерполяции функции у= f(x) в более общей постановке.
Пусть на промежутке 
расположены m+1 несовпадающих узлов 
и пусть в этих точках известны значения у0 = f(x0), у1 = f (x1,),..., ут = f(xm) данной функции, а также некоторые ее производные (максимальный порядок производных в разных узлах различен; в каких-то узлах производные могут быть вовсе неизвестны). Такие узлы будем называть кратными узлами. Конкретнее, будем считать, что заданы:
(1)
тогда кратность узла x0 считаетсяравной k0, узла x1 - k1, …, узла xm - km.
Предполагая, что суммарная кратность узлов есть
(2)
ставим задачу построения многочлена Нп(х) степени n (не выше п) такого, что
(3)
где 
— заданные посредством (1) значения функции f(x) и ее производных и по определению считается 
Многочлен 
будем называть интерполяционным многочленом Эрмита, а совокупность требований (3) — условиями эрмитовой интерполяции.
Формально можно считать, что нахождение такого многочлена состоит в том, чтобы однозначно определить п +1 коэффициентов a0, а1,..., ап его канонического представления
(4)
из условий (3). В силу предположения (2) о суммарной кратности узлов эрмитовой интерполяции, совокупность требований (3) можно рассматривать как систему из п+1 уравнений относительно п+1 неизвестных — коэффициентов ak многочлена (4):
Выявление общего вида интерполяционных многочленов Эрмита Нп(х) представляет непростую задачу и требует привлечения определенных сведений из теории функций комплексной переменной. Рассмотрим одну из возможных процедур фактического построения таких многочленов, не требующую знания их общего вида.
Пусть Lm(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по данным т+1 значениям yi = f (x i = 0,1,..., т. Будем пользоваться обозначением 
Так как по условию т заведомо не превосходит п, то по теореме о делении многочлена с остатком искомый многочлен Эрмита Нп(х) можно представить в виде
|
|
|
(5)
где Hn-(m+1)(x) — некоторый неизвестный пока многочлен степени п-т- 1.
Для построения многочлена Hn-(m+1)(x) будем привлекать информацию о производных данной функции, т.е. равенства 
в тех узлах хi где первые производные, в соответствии с (1), заданы (информация о самих значениях функции уже полностью исчерпана: в силу 
для всех хi от х0 до хm, согласно (5), будет и 
при любых i∈{ 0,1,..., т}).
Продифференцировав равенство (5), имеем
(6)
Поскольку 
в тех узлах хi, где по условию эрмитовой интерполяции справедливо можно записать
Отсюда выражаем значения многочлена Hn-(m+1)(x) в этих узлах:
Правая часть этого равенства может быть вычислена; обозначим ее через 
. Таким образом, в ряде узлов хi известны значения многочлена Hn-(m+1)(x) = , по которым этот многочлен однозначно восстанавливается обычной лагранжевой интерполяцией, если в условиях (1) не содержится производных порядка, выше первого (т.е. нет ни одного узла кратности больше 1); подстановка найденного многочлена Hn-(m+1)(x) в (5) приводит к искомому интерполяционному многочлену Эрмита. Если же в исходной информации (1) об f(x) имеются значения производных более высокого порядка, чем первый, то для восстановления многочлена Hn-(m+1)(x) ставится задача эрмитовой же интерполяции, для чего наряду с полученными его значениями , находят значения его производных путем дифференцирования равенства (6) (возможно неоднократного, в зависимости от максимального порядка заданных производных функции f(x)). Эта процедура построения интерполяционных многочленов Эрмита все более низких степеней продолжается до исчерпывания всей информации (1) о функции и ее производных.
|
|
|
Рассмотрим реализацию описанного процесса эрмитовой интерполяции на простом примере, демонстрирующем возможность восстановления многочлена n-й степени по его значениям и значениям некоторых его производных при суммарной кратности узлов п+ 1.
Пример. Пусть сведения о некоторой функции у= f(x) представлены следующей дискретной информацией:
В соответствии с обозначениями (1) здесь: т=2;к0-1 =1, k1 - 1 = 2, к2 -1=1 => п+1=к0+к1+к2 = 7 => n =6.Таким образом, по данным сведениям о функции у = f(x), сосредоточенным в трех узлах 
кратности, соответственно, 2, 3, 2, следует строить интерполяционный многочлен Эрмита Н6(х).
Согласно предложенной выше схеме, сначала, пользуясь столбцами 
таблицы данных, записываем интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени
Далее по формуле (5) представляем Н6(х) через L2(x),H3 (x) и П3(х):
(7)
и дифференцируем этот многочлен дважды:
Подстановкой в 
значений х = -1, х = 0 и х=1 иприравниванием 
заданным значениям 
получаем значения 
Учитывая их, из условия Я 
находим 
Итак, для выявления многочлена H 3(х) в (7) снова имеем задачу
эрмитовой интерполяции с данными, содержащимися в следующей
таблице:
Здесь: 
В соответствии с (5), для этого случая записываем:
(где 
— многочлен Лагранжа, интерполирующий функцию Н3(х))- Остается найти постоянную H0, для чего воспользуемся условием 
Имеем:
Следовательно, 
Подставив это в (7), получаем окончательное выражение искомого многочлена: 
|
|
|
