Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Занятие № 13. Численное дифференцирование.

Численное дифференцирование применяется в тех случаях, когда: функция f(x) задана таблично и, следовательно, методы дифференциального исчисления неприменимы; аналитическое выражение f(x) столь сложно, что вычисления производной представляют значительны трудности.

В основе численного дифференцирования лежит следующий прием: исходная функция f(x) заменяется на рассматриваемом отрезке [a,b] интерполяционным полиномом P_n(x) и считается, что f'(x) и P'_n(x) примерно равны, т.е. f’(x)=P'_n(x),.(a < x < b).

Рассматривается следующая задача: дана таблица функции, требуется построить таблицу ее производной с тем же шагом.

Всегда, когда это возможно, для численного дифференцирования используется интерполяционный многочлен с равноотстоящими узлами, так как это значительно упрощает формулы численного дифференцирования. При равноотстоящих узлах в начале строится интерполяционный полином Ньютона, а затем он дифференцируется.

Если f(x) задана таблицей с неравноотстоящими узлами, то вначале строится интерполяционный полином Лагранжа, а затем он дифференцируется.

Будем изучать численное дифференцирование, основанное на первой интерполяционной формуле Ньютона. Из-за больших погрешностей численное дифференцирование практически используется для вычисления производных не выше второго порядка. Обычно при численном дифференцировании интерполяционный полином Ньютона строится не по всем узлам таблицы, а по трем-пяти узлам, близлежащим к точке, в которой требуется вычислить производную. Если требуется вычислить производную во всех узлах, то вначале полином Ньютона строится по первым 3-5 узлам и в них вычисляется производная, потом полином Ньютона строится по следующим 3-5 узлам и в них вычисляется производная и т. д. до тех пор, пока не будет просчитана вся таблица.

Если по узлам x₀, x_b x₂, x₃, x₄построить первый интерполяционный полином Ньютона и его продифференцировать с учетом

то получим приближенное выражение для в виде:

(1)

Вторая производная f"(x) в результате дифференцирования формулы (1) с учетом равенства

имеет следующее приближенное выражение:

(2)

Если требуется вычислить f'(x) в узлах x₀, x₁, …, x_n, то в формулу (1) необходимо поочередно поставить q=0, q=1, q=2, q=3, q=4 соответственно.

В случае выбора узлов x_j, x_j₊₁, …, x_j₊₄ вместо узлов x₀, x₁,...,x₄ в формулах (1), (2) следует заменить конечные разности y₀ на конечные y_j, которые берутся из строчки с номером j таблицы конечных разностей. Если требуется найти производные функции f(x) в основных табличных точка x_j то каждое табличное значение считается за начальное и тогда x_j=x₀, q=0, а формулы (1), (2) будут соответственно для всех f'(x) и f'' (x) иметь вид:

(1')

(2')

Если интерполяционный полином строится не по пяти, а по четырем или трем узлам, то в формулах (1), (1'), (2), (2') отбрасываются соответственно одно или два последних слагаемых.

Чтобы вычислить значение производной в точке, соответствующей концу таблицы, следует воспользоваться формулой, полученной дифференцированием второй интерполяционной формулы Ньютона, т.е. формулой

Метод неопределенных коэффициентов

Аналогичные формулы можно получить и для случая произвольного расположения узлов. Использование многочлена Лагранжа в этом случае приводит к вычислению громоздких выражении, поэтому удобнее применять метод неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем. Искомое выражение для производной k-го порядка в некоторой точке х=х_i представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах х₀, x₁,..х_n:

(3)

Предполагается, что эта формула имеет место для многочленов y=1, y=x-x_i, у=(х-x_i)ⁿ. Подставляя последовательно эти выражения в (3), получаем систему n+1 линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов с₀, с₁, …, с_n.