 |
Метод Эйлера — разные подходы к построению
|
|
|
|
Учитывая ключевую позицию, которую занимает метод Эйлера в теории численных методов ОДУ, рассмотрим несколько способов его вывода. При этом будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом 
расчетными точками (узлами) служат точки хi = х0 + ih (i=0,1,..., п) промежутка [ x0, b ]ицелью является построение таблицы
приближенных значений yi решения у = у(х) задачи (1)-(2) в расчетных точках хi.
Геометрический способ. Пользуясь тем, что в точке х0 известно и значение решения у(х0) = у0 (согласно (2)), и значение его производной у'(xо)=f(x0, y0) (согласно (1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y= у(х) в точке (х0;y0):
(6)
При достаточно малом шаге h ордината
(7)
этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (6) значения 
по непрерывности должна мало отучаться от ординаты у(х1) решения у(х) задачи (1)-(2). Следовательно, точка (х1, у1) пересечения касательной (6) с прямой x=x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую
которая уже приближенно отражает поведение касательной к у=у(х) в точке (х1,у(х1)). Подставляя сюда х=х2(=х1 + h), иначе, пересекая эту «касательную» прямой х = х2, получим приближение значения у(х2) значением
и т.д. В итоге этого процесса, определяемого формулой
i = 0,1,..., п (8)
и называемого методом Эйлера, график решения у = у(х) данной задачи Коши (1)-(2) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков приближенных касательных (рис. 1), откуда происходит другое название метода (8) — метод ломаных.
Рис. 1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
Применение формулы Тейлора. Описываемый здесь способ вывода метода Эйлера тесно связан с предыдущим. Линеаризуя решение вокрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем
|
|
|
Отсюда при х = х1 получаем
(9)
Точное равенство (9), переписанное в виде
говорит о том, что здесь мы имеем одновременно как саму формулу Эйлера для вычисления значения 
(сравните с формулой (7)), так и ее остаточный член
(10)
где ξi — некоторая точка интервала (x0, x1).
Остаточный член (10) характеризует локальную (или, иначе, шаговую) ошибку метода Эйлера, т.е. ошибку, совершаемую на одном шаге. Очевидно, что от шага к шагу, т.е. при многократном применении формулы (8), возможно наложение ошибок. За п шагов, т.е. в точке b, образуется глобальная ошибка. П орядок глобальной ошибки (относительно шага h) на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки, а порядком глобальной ошибки и определяется порядок соответствующего численного процесса решения задачи Коши. Таким образом, локальная ошибка метода Эйлера, согласно (10), есть 
глобальная — 0(h), т.е. метод Эйлера относится к методам первого порядка.
Разностный способ. Рассматривая уравнение (1) в точке x0 с учетом (2) имеем равенство
Применяя к его левой части аппроксимацию производной правым разностным отношением первого порядка точности
получаем
что идентично равенству (9), поставляющему формулу для вычисления у1 вида (7) и локальный остаточный член (10). Ясно, что для получения общей расчетной формулы (8) можно было сразу применить аппроксимацию 
по формуле (6.16) в равенстве
(11)
заменив неизвестное точное значение y(xi) известным приближенным значением yi.
Заметим, что порядок получающегося таким способом метода численного интегрирования дифференциальной задачи (1)-(2) совпадает с порядком аппроксимации производной в левой части уравнения (1).
Квадратурный способ. Как было показано начальную задачу для ОДУ (1)-(2) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением (3). При х=х1 из него получится равенство
|
|
|
(12)
Применение к интегралу в правой части равенства (12) простейшей (одноточечной) формулы левых прямоугольников дает приближенную формулу
правая часть которой, очевидно, совпадает с выражением (7) для подсчета значения у1. В общем случае расчетная формула (8) метода Эйлера получается численным интегрированием посредством простейшей формулы левых прямоугольников в равенстве
(13)
в предположении, что на каждом i-м шаге в роли начальной точки (x0,y0) выступает точка (xi, yi). Зная точность используемой в (13) квадратурной формулы, легко прийти к тому же выражению локальной ошибки метода Эйлера, что и при других способах его построения.
Существуют и другие подходы к выводу метода Эйлера. В частности, он будет возникать далее как частный случай некоторых семейств численных методов решения задачи (1)-(2).
|
|
|
