 |
Методические указания к заданию 3.2
|
|
|
|
Следует обратить внимание на терминологию, используемую в данной работе.
Понятие «формирование логического выражения» практически эквивалентно понятию «синтез цифрового устройства», так как на основании имеющегося математического выражения легко реализовать конкретное устройство. Другими словами, говоря о минимизации логического выражения (уменьшении размера математической формулы) мы говорим и о минимизации цифрового устройства (о сокращении аппаратных затрат на его реализацию). Чем компактнее логическое выражение, тем меньшее число микросхем требуется на реализацию конкретного КЦУ.
В процессе выполнения данной работы каждый студент создаёт устройство, которое работает в соответствии с таблицей 3.1.1. Причём вначале создаётся математическое описание этой таблицы (математическая модель), а затем на основании математического описания реализуется устройство.
Структурная схема синтезируемого устройства показана на рисунке.
Механизм (алгоритм) получения логических выражений с помощью прибора Logic Converter (Логического конвертора) скрыт от пользователя. Пользователь в процессе синтеза устройства получает лишь конечный результат (формулу) на основании введённой таблицы истинности и не знает, как эта формула получена.
Рассмотрим два способа формирования математических моделей КЦУ: аналитический (алгебраический) и графоаналитический.
Опишем аналитически устройство, алгоритм работы которого задан с помощью табл. 4.2.1 (вариант № 16).
Таблица 4.2.1
| Номера состояний | Входные сигналы преобразователя кода | Выходной сигнал Y | |||
| A | B | C | D | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | Х |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | Х |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 1 | 1 | Х |
| 8 | 1 | 0 | 0 | 0 | Х |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 1 | Х |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 12 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 13 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
|
|
|
В таблице 4.2.1 каждому состоянию устройства соответствует один набор аргументов A, B, C, D (один минтерм).
Аналитическое (алгебраическое) описание произведём с помощью совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ). СДНФ представляет собой сумму минтермов, для которых выходной сигнал равен логической единице.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма имеет такое название потому, что она совершенна: все слагаемые (минтермы) имеют одинаковую размерность (в данном случае число переменных равно четырём). СДНФ представляет собой сумму (дизъюнкцию) минтермов. При составлении СДНФ использовано только три логические операции (дизъюнкция, конъюнкция и инверсия).
Из таблицы 4.2.1 видно, что выходной сигнал Y принимает значение логической единицы в состояниях 4, 10, 11, 12, 13 и 14. Таким образом, аналитическое выражение будет содержать шесть слагаемых (шесть минтермов). Для правильной записи минтермов нужно использовать следующее правило. Входная переменная (аргумент) берётся без инверсии, если она равна 1 и берётся с инверсией, если равна 0. Таким образом, минтерм для состояния 4 должен быть записан так:
Поступая аналогично с другими пятью минтермами, получим аналитическое выражение, которое описывает работу преобразователя кода:
Сопоставление полученного выражения с выражением, сформированным автоматически с помощью прибора Logic Converter, показывает, что они идентичны.
Рассмотрим процедуру получения математической модели графическим способом с помощью диаграмм Вейча. Аналогичный результат можно получить и с помощью Карт Карно. Эти две методики минимизации комбинационных цифровых устройств (КЦУ) отличаются незначительно (лишь порядком маркировки таблиц).
|
|
|
Порядок использования диаграмм Вейча рассмотрим на примере варианта №16 (табл. 4.2.1, 4.2.2 и 4.2.3).
На следующей диаграмме показано, в какую клетку диаграммы Вейча нужно заносить значение выходного сигнала в зависимости от номера состояния (номера минтерма).
Таблица 4.2.2
| B |
| A |
| C |
| D |
| 3 |
| 11 |
| 9 |
| 1 |
| 7 |
| 15 |
| 13 |
| 5 |
| 6 |
| 14 |
| 12 |
| 4 |
| 2 |
| 10 |
| 8 |
| 0 |
Прямые линии и буквы рядом с таблицей 4.2.2 показывают, в каких состояниях данная переменная принимает значение логической единицы. Например, переменная D принимает значение логической единицы в состояниях 3, 11, 9, 1, 7, 15, 13, 5. Это, действительно, так. Младший разряд двоичного числа равен единицы для всех нечётных чисел.
На следующем этапе графического синтеза устройства нужно в каждую клетку таблицы 4.2.2 занести соответствующие выходные сигналы из таблицы 4.2.1. Ниже представлен результат переноса выходных сигналов из табл. 4.2.1 в табл. 4.2.2.
| B |
| A |
| C |
| D |
| 0 |
| 1 |
| Х |
| Х |
| Х |
| 0 |
| 1 |
| 0 |
| 0 |
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 0 |
| 1 |
| Х |
| Х |
После выполненного переноса нужно охватить контурами все клетки (ячейки), которые содержат единицы (см. таблицу 4.2.3). Перечислим правила, которыми следует руководствоваться при формировании контуров.
1. Объединять можно соседние (смежные) по столбцам или строкам ячейки, которые содержат единицы, контурами, охватывающими 2, 4, 8, 16…2n ячеек.
2. Контуры могут объединять ячейки, расположенные на противоположных сторонах диаграммы (таблицы).
3. Одна и та же ячейка может несколько раз входить в различные контуры.
4. При охвате ячеек контурами следует стремиться к тому, чтобы контур был как можно больше, а число контуров было минимальным.
5. В контур запрещено включать ячейки, содержащие нули, однако допустимо включать ячейки, выделенные знаками безразличного состояния.
6. Ячейки, отмеченные знаками безразличного состояния, могут быть не охвачены контурами.
Таблица 4.2.4
Таблица описывается следующим логическим выражением:
Ниже будет описан порядок получения этого выражения.
Предыдущий рисунок показывает, что потребовалось четыре контура для охвата шести клеток с единицами. Это означает, что в итоговом логическом выражении будет четыре слагаемых (четыре импликанты). Следует обратить внимание, что контуры включают в себя не только ячейки, содержащие единицы, но и ячейки со знаками безразличного состояния. Ещё одна любопытная особенность рассматриваемого устройства: контур № 1 начинается на верхней стороне таблицы, а заканчивается на нижней стороне. Считается, что горизонтальные стороны таблицы совмещены друг с другом (также соседними являются вертикальные стороны таблицы). Интересно, что единица, расположенная в ячейке № 12, входит одновременно в три контура (это допустимо).
|
|
|
После выполнения графических построений необходимо каждый контур описать алгебраическим выражением. При составлении формул нужно руководствоваться следующими правилами.
В итоговое выражение (в сокращённую дизъюнктивную нормальную форму) должны войти следующие слагаемые.
1. Импликанты, число которых равно числу контуров.
2. Минтермы, которые описывают отдельные клетки с единицами, не вошедшие ни в один контур.
При составлении выражений для импликант следует отбрасывать те аргументы, границы которых пересекаются контуром.
На рисунке показаны границы областей для 
и 
(1), 
и 
(2), 
и 
(3), 
и 
(4). Серым цветом выделены области, в которых аргументы имеют неинвертированные значения.
Рассмотрим, как получить логическое выражение для контура 2 (табл.6). Нанесём этот контур на четыре таблицы с изображением границ.
Из таблицы, расположенной слева вверху (она обозначена цифрой 1 в кружочке), видно, что контур пересекает границы переменной А. Поэтому в логическом выражении, которое описывает эту импликанту, переменной А не будет. Из следующей таблицы (2 в кружочке) видно, что контур пересекает границы переменной В. Поэтому в логическом выражении, которое описывает эту импликанту, переменной В не будет. Табл. 3 показывает, что контур расположен полностью в области 
, а табл. 4, что контур расположен в области 
.
Таким образом, рассмотренная импликанта описывается выражением:
.
Аналогично составляются выражения для трёх оставшихся импликант.
|
|
|
Рассмотрим, как описываются отдельные ячейки, содержащие единицы (Табл.4.2.5).
Таблица 4.2.5
Первая единица находится в областях A, B, 
, D, поэтому данный минтерм описывается конъюнкцией 
Единица (2) описывается выражением 
.
|
|
|
