 |
Производная сложной функции
|
|
|
|
Пусть 
, где 
является не независимой переменной, а функцией независимой переменной 
, т.е. 
. Таким образом, 
.В этом случае функция 
называется сложной функцией ,а переменная - промежуточным аргументом.
Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной . 
Эта теорема распространяется и несложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.
Формулы дифференцирования
С – постоянная, 
и 
функции аргумента 
1. 
| 4. 
| 7. 
| ||||
2. 
| 5. 
| |||||
3. 
| 6. 
| |||||
| Основные элементарные функции | Сложные функции | |||||
| 1 | 
| 8а | 
| |||
| 2 | 
| 9а | 
| |||
| 3 | 
| 10а | 
| |||
| 4 | 
| 11а | 
| |||
| 5 | 
| 12а | 
| |||
| 6 | 
| 13а | 
| |||
| 7 | 
| 14а | 
| |||
| 8 | 
| 15а | 
| |||
| 9 | 
| 16а | 
| |||
| 10 | 
| 17а | 
| |||
| 11 | 
| 18а | 
| |||
| 12 | 
| 19а | 
| |||
| 13 | 
| 20а | 
| |||
Пример 6. Найти производную функции 
.
Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3, 5 и 8: 
Пример 7. Найти производную функции 
.
Решение: применив последовательно формулы 4, 3, 5 и 8, имеем
.
Пример 8. Найти производную функции 
.
Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим:
Пример 9. Найти производную функции 
и вычислить ее значение при 
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом 
. Используя формулы 8а и 
13, имеем: 
.
Вычислим значение производной при .
.
Пример 10. Найти производную функции .
Решение. Используя правило дифференцирования произведения и соответствующие формулы нахождения производных, получим
|
|
|
.
Пример 11. Найти производную функции 
.
Решение: используя правило дифференцирования частного и соответствующие формулы нахождения производных, получим
Пример 12. Найти производную функции 
.
Решение: полагая 
, получим 
.
Пример 13. Найти производную функции 
.
Решение.
Производные высших порядков
Производная функции 
в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислять производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .
Второй производной функции называется производная от ее первой производной 
.
Вторая производная функции обозначается одним из символов: 
, 
, 
.
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка: 
, 
, 
.
Пример 14. Найти вторую производную функции 
.
Решение. Сначала найдем первую 
производную:
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную: 
.
Пример 15. Найти вторую производную функции 
Решение. Сначала найдем первую производную этой сложной функции: 
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную: 
Неопределенный интеграл.
Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке 
, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):
.
Определение: совокупность первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом 
. Таким образом, 
.
Здесь f(x) - подынтегральная функция, 
- подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1 Если функция 
имеет первообразную, то 
, 
.
2 Если - дифференцируемая функция, то 
, 
.
3 Если функция имеет первообразную, то при 
верно равенство 
.
4 Если функция и 
имеют первообразные, то 
.
Таблица неопределенных интегралов.
1.  при 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
Пример 16. Для функции 
, найти первообразную F(x), график которой проходит через точку (2;2).
|
|
|
Решение: так как при всех 
верно равенство 
то 
- одна из первообразных функции 
. Следовательно, 
С – некоторая постоянная. Постоянную С находим из условия F(2)=2, то есть 
откуда 
. Значит, 
.
Пример 17. Найти интеграл 
.
Решение: 
.
Пример 18. Найти интеграл 
.
Решение: 
Пример 19. Найти интеграл 
.
Решение: так как 
, то 
.
Пример 20. Найти интеграл 
.
Решение: так как 
, то 
.
Пример 21. Найти интеграл 
.
Решение: так как 
, то 
.
Пример 22. Найти интеграл 
.
Решение: 
Определенный интеграл.
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьем этот отрезок на n частей точками 
, выберем на каждом элементарном отрезке 
произвольную точку 
и обозначим через 
длину каждого такого отрезка.
Определение. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида 
.
Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: 
.
Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл 
.
Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл 
, служит формула Ньютона – Лейбница: 
, то есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки 
в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования 
и 
, которые находятся из исходной подстановки: 
, 
. Таким образом, имеем 
.
Пример 23. Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение:
.
Пример 24. Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение: 
.
Пример 25. Вычислить определенный интеграл: 
.
.
Пример 26. Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение: 
.
Пример 27. Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение: положим 
, тогда 
, 
. Вычисляем новые пределы интегрирования: 
, 
. Поэтому
.
Пример 28. Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение: преобразуем подкоренное выражение: 
. Положим 
, откуда 
. Найдем новые пределы интегрирования: 
, 
. Следовательно,
.
|
|
|
Задания.
№№ 1– 30. Даны числа: 
, 
. Найдите 
.
| № | 
| 
| № |
|
|
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
|
№№ 31– 60. Вычислить 
и 
, если
| № | 
| № |
| № |
|
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
|
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
№№ 61– 90. Найти производные функции
| № | № | ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
| ||
а) 
| а) 
| ||
б) 
| б) 
|
№№ 91– 120. Найти неопределенный интеграл.
| № | |||
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в)
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
|
№№ 121– 150. Вычислить определенный интеграл.
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
а) 
| б) 
| |
| а) | ||
|
|
|
