Прямое многократное измерение

Варианты 1,

Условие. Отклонения Δ d (мкм) от номинального значения размера d ₀= 100 мм, полученные при измерении диаметра валика, равны: 0; +2; +1; −1; 0; −3; −1; +1; −1; +2; 0; +4; −2; −1; 0. Предел основной погрешности средства измерений - индикаторной головки - Δ_СИ = 0,4 мкм. Определить доверительные границы интервала для истинного значения линейного размера d с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений Δ d = 1: 15 = 0,0667 ≈ +0,1 мкм. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,1·(4295: 14)^0,5 = 1,752 мкм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата наблюдения d ₁₂ = +4 мкм критерий Граббса равен G ₁ = (4,0 ̶ 0,1) / 1,752 = 2,226 < G _T = 2,549. Вывод: результат наблюдения d ₁₂ = +4 мкм выбросом не является.

Результат измерения диаметра d = d ₀ + Δ d = 100,0667 мм. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S _{Δ d} = S_d = 0,4522 (мкм). Для доверительной вероятности P = 0,95 и числа измерений n = 15 коэффициент Стьюдента t = 2,145. Доверительные границы случайной погрешности ε _d = t · S_d = 2,145·0,6037 = 1,295 мкм. Доверительные границы НСП Θ_Σ (Р) = Δ_СИ = 0,4 мкм. Среднее квадратическое НСП S _Θ = 0,57735027·Θ_Σ (Р) = 0,2309 мкм. Суммарное среднее квадратическое отклонение измеряемого диаметра S _Σ = (S²_Θ + S ² _d)^0,5 = (0,2309² + 0,4522²)^0,5 = 0,5078 мкм. Коэффициент K = (ε _d + Θ_Σ (Р)) / (Sd + S_Θ) = (1,295 + 0,4) / (0,4522 + 0,2309) = 2,481. Доверительные границы измеряемого диаметра Δ _d = K · S _Σ = 2,481·0,5078 = 1,2600 → 1,3 мкм = 0,0013 мм.

Ответ: d = (100,0667 ± 0,0013) мм, P = 0,95 или

100,0654 мм ≤ d ≤ 100,0680 мм, P = 0,95

 

Варианты 2,

Условие. При измерении дифференциального давления p получены следующие результаты наблюдений (Па): 90, 89, 91, 93, 88, 89, 91, 95, 103, 93, 92, 88, 94, 93. Предел основной погрешности средства измерений Δ_СИ = 0,4 Па. Определить доверительные границы интервала для истинного значения дифференциального давления с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений p = 1289: 14 = 92,071 ≈ 92 Па. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (193: 13)^0,5 = 3,853 Па. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата наблюдения p ₉ = 103 Па критерий Граббса G ₁ = (103 ̶ 92) / 3,853 = 2,855 > G _T = 2,755. Вывод: результат наблюдения p ₉ = 103 Па является выбросом и исключается.

Для оставленных результатов наблюдений среднее арифметическое p = 1186: 13 = 91,231 ≈ 91 Па, среднее квадратическое отклонение S = (65: 12)^0,5 = 2,327 Па. Вновь проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результатов наблюдений p ₅ = p ₁₁ = 88 Па критерий Граббса G ₂ = (91 ̶ 88) / 2,327 = 1,289 < G _T = 2,699. Вывод: результаты наблюдений p ₅ = p ₁₁ = 88 Па выбросами не являются.

Результат измерения дифференциального давления p = 91,231 Па. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_p = 0,6455 Па. Коэффициент Стьюдента для P = 0,99 и n = 13 равен t = 3,055. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения дифференциального давления равны ε _p = S_p · t = 0,6455·3,055 = 1,972 Па. Доверительные границы НСП Θ_Σ (Р) = Δ_СИ = 0,4 Па. Среднее квадратическое НСП S _Θ = 0,57735027·Θ_Σ (Р) = 0,2309 Па. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения дифференциального давления S _Σ = (S ²_Θ + S ² _p)^0,5 = (0,2309² + 0,6455²)^0,5 = 0,6856 Па. Коэффициент K = (ε _d + Θ_Σ (Р)) / (S_p + S_Θ) = (1,972 + 0,4) / (0,6455 + 0,2309) = 2,7065. Доверительные границы измеряемого дифференциального давления Δ = K · S _Σ = 2,7065·0,6856 = 1,8556 → 1,9 Па.

Ответ: p = (91,2 ± 1,9) Па, P = 0,99 или 89,3 Па≤ p ≤ 93,1 Па, P = 0,99

 

Варианты 3,

Условия. Результаты измерения напряжения U на участке электрической цепи (мВ): 32,08; 31,97; 31,89; 31,98; 30,67; 31,97; 32,05; 31,93; 31,88; 31,99; 32,02; 32,10; 31,97. Предел основной погрешности вольтметра Δ_СИ = 10 μВ. Методическая погрешность, связанная с подключением вольтметра в цепь Δ_мет = ˗ 25 μВ. Определить доверительные границы интервала для истинного значения электрического напряжения с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений U = 414,50: 13 = 31,8846 ≈ 31,88 мВ. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,01·(16240: 12)^0,5 = 0,3679 мВ. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата наблюдения U ₅ = 30,67 мВ критерий Граббса G ₂ = (31,88 ̶ 30,67) / 0,3679 = 3,289 > G _T = 2,462. Вывод: результат наблюдения U ₅ = 30,67 мВ является выбросом и исключается.

Для оставленных результатов наблюдений среднее арифметическое U = 383,83: 12 = 31,9858 ≈ 31,99 мВ. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,01·(517: 11)^0,5 = 0,06856 мВ. Ещё раз проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результатов измерения U ₈ = 31,88 мВ и U ₁₁ = 32,10 мВ критерии Граббса соответственно равны G ₂ = (31,99 ̶ 31,88) / 0,06856 = 1,677 < G _T = 2,412 и G ₁ = (32,10 ̶ 31,99) / 0,06856 = 1,677 < G _T = 2,412. Вывод: поскольку критерии G ₁ и G ₂ меньше критического значения G _T, результаты измерений U ₈ = 31,88 мВ и U ₁₁ = 32,10 мВ выбросами не являются.

Результат измерения напряжения U = 31,9858 мВ. Среднее квадратическое среднего арифметического S_U = 0,01979 мВ. Коэффициент Стьюдента при условии P = 0,95 и n = 12 имеет значение t = 2,201. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения падения напряжения равна ε _U = t· S_U = 2,201·0,01979 = 0,04356 мВ. Доверительные границы НСП Θ_Σ (0,95) = 1,1·(Δ²_СИ + Δ²_мет)^0,5 = 1,1·(10² + 25²) ^0,5 = 29,62 μВ = 0,02962 мВ. Среднее квадратическое НСП S _Θ = 0,57735027·Θ_Σ (0,95) = 0,01710 мВ. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения напряжения S _Σ = (S ²_Θ + S ² _U)^0,5 = (0,01710² + 0,01979²)^0,5 = 0,02615 мВ. Коэффициент K = (ε _U + Θ_Σ (Р)) / (S_U + S_Θ) = (0,04356 + 0,02962) / (0,01979 + 0,01710) = 1,984. Доверительные границы измеряемого напряжения Δ _U = K · S _Σ = 1,984·0,02615 = 0,05188 → 0,06 Па.

Ответ: U = (31,99 ± 0,06) мВ, P = 0,95 или 31,93 мВ ≤ U ≤ 32,05 мВ, P = 0,95

 

Варианты 4,

Условия. При измерении температуры t в помещении получены следующие результаты (°С): 23,2; 22,8; 22,9; 23,1; 23,0; 23,0; 22,4; 22,8; 22,9; 23,3; 23,2; 23,0; 23,1; 23,3;.23,1. Предел основной погрешности показаний термометра Δ_СИ = 0,05 °С. Погрешность, вызванная выходом за установленные границы параметров условий измерения Δ_У = + 0,12 °С. Определить доверительные границы интервала для истинного значения диаметра с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов измерений t = 345,1:15 = 23,0067 ≈ 23,0 °С. Среднее квадратическое результатов измерений S = 0,1·(75: 14)^0,5 = 0,2315 °С. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения t ₇ = 22,4 °С критерий Граббса G ₂ = (23,0 ̶ 22,4) / 0,2315 = 2,592 < G _T = 2,806. Вывод: результат измерения t ₇ = 22,4 °Свыбросом не является.

Результат измерения температуры t = 23,0067 °С. Среднее квадратическое среднего арифметического S_t = 0,05976 °С. Коэффициент Стьюдента при условии P = 0,99 и n = 15 имеет значение t = 2,977. Доверительная граница случайной погрешности результата измерения падения напряжения равна ε _t = S _Σ· t = 0,07792·2,977 = 0,2320 °С. Θ₁ = Θ_min = Δ_СИ = 0,05 °С; Θ₂ = Θ_max = Δ_У = 0,12 °С. Отношение Θ_max / Θ_min = 2,4. Доверительные границы НСП Θ_Σ (0,99) = 1,18·(Δ²_СИ + Δ²_мет)^0,5 = 1,18·(0,05² + 0,12²) ^0,5 = 0,1534 °С. Среднее квадратическое НСП S _Θ = 0,57735027·Θ_Σ (0,99) = 0,08857 °С. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения напряжения S _Σ = (S ²_Θ + S ² _t)^0,5 = (0,08857² + 0,05976²)^0,5 = 0,1068 °С. Коэффициент K = (ε _t + Θ_Σ (0,99)) / (S_t + S_Θ) = (0,2320 + 0,1534) / (0,05976 + 0,08857) = 2,598. Доверительные границы измеряемого напряжения Δ _U = K · S _Σ = 2,598·0,1068 = 0,2775 → 0,3

Ответ: t = (23,0 ± 0,3) °С, P = 0,99 или 22,7 °С ≤ U ≤ 23,3 °С, P = 0,99

************************************

Варианты 5,

Условия. Результаты измерения глубины h паза (мм): 1,89; 1,87; 1,90; 1,92; 1,89; 1,75; 1,88; 1,91; 1,92; 1,87; 1,89; 1,90; 1,87; 1,88. Предел основной погрешности показаний глубиномера Δ_СИ = 5 мкм. Погрешность, вызванная износом измерительной поверхности глубиномера, составляет Δ_S = +0,01 мм. Определить доверительные границы интервала для истинного значения диаметра с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений h = 26,34: 14 = 1,8814 ≈ 1,88 мм. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = 0,01· (224: 13)^0,5 = 0,04151 мм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения h ₆ = 1,75 мм критерий Граббса G ₂ = (1,88 ̶ 1,75) / 0,04151 = 3,132 > G _T = 2,507. результат измерения h ₆ = 1,75 ммявляется выбросом и исключается.

Для оставленных результатов измерений среднее арифметическое h = 24,59: 13 = 1,8915 ≈ 1,89 мм. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = 0,01· (38: 12)^0,5 = 0,01780 мм. Проверяем вновь наличие выбросов по критерию Граббса. Для результатов измерений h ₄ = h ₇ = 1,92 мм критерий Граббса G ₁ = (1,92 ̶ 1,89) / 0,01780 = 1,685 < G _T = 2,462. Вывод: результаты измерений h ₄ = h ₇ = 1,92 мм выбросами не являются.

Исправленный результат измерения h _испр = h − Δ_S = 1,8915 − (+0,01) = 1,8815(мм). Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_h = 0,004935 мм. Для P = 0,95 и n = 13 коэффициент Стьюдента t = 2,16. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения высоты ε _h = S_h · t = 0,004935·2,16 = 0,01066 → 0,011 (мм).

Ответ: h = (1,882 ± 0,011) мм, P = 0,95 или 1,871 мм ≤ h ≤ 1,893 мм, P = 0,95

 

Варианты 6,

Условия. При измерении силы электрического тока I получены следующие результаты наблюдений (мА): 90, 89, 91, 93, 88, 89, 91, 95, 103, 93, 92, 88, 90, 94, 93. Предел основной погрешности амперметра Δ_СИ = 0,003 мА. Неисключённая систематическая погрешность показаний амперметра Θ_СИ = 0,5 мА. Определить доверительные границы интервала для истинного значения силы тока с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов измерений I = 1379: 15 = 91,933 ≈ 92 мА. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = (197: 14)^0,5 = 3,751 мА. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения I ₉ = 103 мА критерий Граббса G ₁ = (103 ̶ 92) / 3,751 = 2,933 > G _T = 2,755. Вывод: результат измерения I ₉ = 103 мАявляется выбросом и исключается.

Для оставленных результатов измерений среднее арифметическое I = 1276: 14 = 91,143 ≈ 91 мА, среднее квадратическое отклонение S = (66: 13)^0,5 = 2,253 мА. Вновь проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерени I ₈ = 95 мА критерий Граббса G ₁ = (95 ̶ 91) / 2,253 = 1,775 < G _T = 2,755. Вывод: результат измерения I ₈ = 95 мАвыбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение НСП амперметра S _Θ = |Θ_СИ| / 3^0,5 = 0,2887 мА. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_I = 0,6022 мА. Для P = 0,99 и n = 14 коэффициент Стьюдента t = 2,98. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ε _I = t · S_I = 2,98·0,6022 = 1,795 → 1,8 мА. Суммарное среднее квадратическое отклонение оценки измеряемой величины S _Σ = (S ²_Θ + S ² _I)^0,5 = 0,6678 мА. Коэффициент K = (ε _I + Θ_СИ) / (S_I + S _Θ) = (1,8 + 0,5) / (0,6022 + 0,2887) = 2,582. Доверительные границы погрешности результата измерения силы электрического тока Δ _I = K · S _Σ = 2,582·0,6678 = 1,724 → 1,8 мА.

Ответ: I = (91,1 ± 1,8) мА, P = 0,99 или 89,3 мА ≤ I ≤ 92,9 мА, P = 0,99

 

Варианты 7,

Условия. Измерение массы m объекта дало следующие результаты (г): 9,01, 8,97, 9,15, 9,30, 8,89, 8,96, 9,16, 9,37, 10,30, 9,31, 9,23, 8,98, 9,42, 9,33, 9,20. Предел основной погрешности весов Δ_СИ = 15 мг. Неисключённая систематическая погрешность весов Θ_СИ = 20 мг. Определить доверительные границы интервала для истинного значения массы m объекта с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов измерений m = 138,58: 15 = 9,2387 ≈ 9,24 г. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = 0,01·(16000: 14)^0,5 = 0,3381 г. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения m ₉ = 10,30 г критерий Граббса G ₁ = (10,30 ̶ 9,24) / 0,3381 = 3,135 > G _T = 2,549. Вывод: результат измерения m ₉ = 10,30 г является выбросом и исключается.

Для оставленных результатов наблюдений среднее арифметическое m = 128,28: 14 = 9,163 ≈ 9,16 г, среднее квадратическое отклонение S = 0,01·(3932: 13)^0,5 = 0,1739 г. Проверяем ещё раз наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения m ₅ = 8,89 г критерий Граббса G ₂ = (9,16 ̶ 8,89) / 0,1739 = 1,553 < G _T = 2,507. Вывод: результат измерения m ₅ = 8,89 г выбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение НСП весов S _Θ = |Θ_СИ| / 3^0,5 = 0,01155 г. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_m = 0,04648 г. Суммарное среднее квадратическое отклонение оценки измеряемой величины S _Σ = (S ²_Θ + S ² _m)^0,5 = 0,04789 г. Для P = 0,95 и n = 14 коэффициент Стьюдента t = 2,14. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ε _m = t · S_m = 2,14·0,04648 = 0,09947 г. Коэффициент K = (ε _m + Θ_СИ) / (S_m + S _Θ) = (0,09947 + 0,020) / (0,04648 + 0,01155) = 2,059. Доверительные границы погрешности результата измерения массы Δ _m = K · S _Σ = 2,059·0,04789 = 0,09860 → 0,10 г.

Ответ: m = (9,16 ± 0,10) г, P = 0,95 или 9,06 г ≤ m ≤ 9,26 г, P = 0,95

 

Варианты 8,

Условия. При измерении сопротивления R резистора получены следующие результаты измерений (Ом): 901, 899, 912, 1030, 930, 888, 897, 915, 951, 1035, 932, 920, 887, 940, 933. Предел основной погрешности омметра Δ _R = 4 Ом. Погрешность измерения, обусловленная условиями измерений, составила 60 % основной погрешности СИ. Оценить доверительные границы интервала для истинного значения сопротивления резистора с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов измерений R = 13970: 15 = 931,33 ≈ 931 Ом. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = (27667: 14)^0,5 = 44,45 Ом. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения R ₁₀ = 1035 Ом критерий Граббса G ₁ = (1035 ̶ 931) / 44,45 = 2,340 < G _T = 2,806. Вывод: результат измерения R ₁₀ = 1035 Ом выбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_R = 11,478 Ом. Погрешность измерения, обусловленная условиями измерений, Δ_У = 4·60:100 = 2,4 Ом. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения сопротивления S _Σ = (Δ² _R + Δ²_У + S ² _R)^0,5 = 12,39 Ом. Для P = 0,99 и n = 15 коэффициент Стьюдента t = 2,977. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения сопротивления ε _R = t · S _Σ = 36,88 → 40 Ом.

Ответ: R = (930 ± 40) Ом, P = 0,99 или 890 Ом ≤ R ≤ 970 Ом, P = 0,99

 

Варианты 9,

Условия. При измерении длины l получены следующие результаты наблюдений (мм): 1,90; 1,94; 1,91; 1,97; 2,01; 1,94; 1,91; 1,93; 1,81; 1,92; 1,94; 1,98; 1,93; 1,95, 1,90. Паспортная (основная) погрешность средства измерений Δ_СИ = 4 мкм. Погрешность измерения, обусловленная условиями измерений, Δ_У = ± 3 мкм. Определить доверительные границы интервала для истинного значения длины с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов измерений l = 28,94: 15 = 1,9293 ≈ 1,93 мм. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = 0,01·(283: 14)^0,5 = 0,04496 мм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения l ₉ = 1,81 мм критерий Граббса G ₂ = (1,93 ̶ 1,81) / 0,04496 = 2,669 > G _T = 2,549. Вывод: результат измерения l ₉ = 1,81 мм является выбросом и исключается.

Среднее арифметическое оставленных результатов измерений l = 27,13: 14 = 1,9379 ≈ 1,94 мм. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = 0,01·(131: 13)^0,5 = 0,03174 мм. Проверяем вновь наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения l ₅ = 2,01 мм критерий Граббса G ₁ = (2,01 ̶ 1,94) / 0,03174 = 2,205 < G _T = 2,507. Вывод: результат измерения l ₅ = 2,01 мм выбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_l = 0,008484 мм = 8,484 мкм. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения длины S _Σ = (Δ²_СИ + Δ²_У + S ² _l)^0,5 = 9,848 мкм = 0,009848 мм. Для P = 0,95 и n = 14 коэффициент Стьюдента t = 2,14. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения сопротивления ε _R = t · S _Σ = 0,02107 → 0,022 мм.

Ответ: R = (1,938 ± 0,022) мм, P = 0,95 или 1,916 мм ≤ R ≤ 1,960 мм, P = 0,95

 

Варианты 10,

Условия. При измерении интервалов частоты f получены следующие результаты наблюдений (кГц): 901, 897, 915, 930, 889, 896, 910, 937, 1031, 931, 923, 888, 942, 933, 920. Предел основного отклонения частотомера Δ_СИ = 32 Гц. Неисключённая систематическая погрешность частотомера Θ_СИ = 10 Гц. Определить доверительные границы интервала для истинного значения дифференциального давления с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений f = 13863: 15 = 924,2 ≈ 924 кГц. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (16965 / 14)^0,5 = 34,81 кГц. Для результата измерения f ₉ = 1031 Гц критерий Граббса G ₁ = (1031 ̶ 924) / 34,81 = 3,074 > G _T = 2,806. Вывод: результат измерения f ₉ = 1031 кГцявляется выбросом и исключается.

Для оставленных результатов наблюдений среднее арифметическое f = 12832: 14 = 916,6 ≈ 917 кГц, среднее квадратическое отклонение S = (4907 / 13)^0,5 = 19,43 кГц. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения f ₁₁ = 888 Гц критерий Граббса G ₂ = (917 ̶ 888) / 19,43 = 1,493 < G _T = 2,755. Вывод: результат измерения f ₁₁ = 888 кГцвыбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение НСП частотомера S _Θ = |Θ_СИ| / 3^0,5 = 5,774 Гц = 0,005774 кГц. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_f = 5,192 кГц. Ввиду того, что S_f >> S _Θ, принимаем суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения частоты S _Σ = S_f = 5,192 кГ ц. Коэффициент Стьюдента для P = 0,99 и n = 14 равен t = 2,98. Доверительная граница случайной погрешности результата измерения дифференциального давления равна ε _f = t · S _Σ= 2,98·5,192 = 15,47 кГц. Коэффициент K = (ε _f + Θ_СИ) / (S_f + S _Θ) = (15,47 + 0,032) / (5,192 + 0,005774) = 2,982. Доверительные границы погрешности результата измерения массы Δ _f = K · S _Σ = 2,982·5,192 = 15,48 → 16 кГц.

Ответ: p = (917 ± 16) кГц, P = 0,99 или 901 кГц≤ f ≤ 933 кГц, P = 0,99

 

Варианты 11,

Условия. Результаты измерения силы F (кН): 6,66; 6,93; 7,12; 6,88; 6,86; 6,94; 6,91; 6,97; 6,99; 6,95; 6,89; 7,05; 6,87; 6,97. Предел основной погрешности динамометра Δ_СИ = 30 Н. Погрешность метода измерения силы составила 45 % основной погрешности СИ. Определить доверительные границы интервала для истинного значения силы с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений F = 96,99: 14 = 6,928 ≈ 6,93 Н. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,01·(1437: 13)^0,5 = 0,1051 Н. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения F ₁ = 6,69 кН критерий Граббса G ₂ = (6,93 ̶ 6,66) / 0,1051 = 2,569 > G _T = 2,507. Вывод: результат измерения F ₁ = 6,66 кН является выбросом и должен быть удалён.

Среднее арифметическое оставленных результатов наблюдений F = 90,33: 13 = 6,948 ≈ 6,95 Н. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,01·(624: 12)^0,5 = 0,07211 Н. Проверяем вновь наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения F ₂ = 7,12 кН критерий Граббса G ₁ = (7,12 ̶ 6,95) / 0,07211 = 2,358 > G _T = 2,462. Вывод: результат измерения F ₂ = 7,12 кН выбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S _F = 0,0200 кН. Погрешность метода измерения силы Δ_мет = 30·45:100 = 13,5 Н = 0,0135 кН. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения силы S _Σ = (Δ²_СИ + Δ²_мет + S ² _F)^0,5 = 0,03850 кН. Для P = 0,95 и n = 13 коэффициент Стьюдента t = 2,16. Доверительные границы погрешности результата измерения сопротивления ε _R = t · S _Σ = 2,16·0,0385 = 0,08316 → 0,09 кН.

Ответ: F = (6,95 ± 0,09) кН, P = 0,95 или 6,86 кН ≤ F ≤ 7,04 кН, P = 0,95

 

Варианты 12,

Условия. При измерении промежутка времени Δ Т между двумя повторяющимися событиями получены следующие результаты (мс): 901, 899, 912, 903, 908, 898, 897, 905, 901, 903, 902, 906, 897, 904, 903. Предел основного отклонения прибора Δ_СИ = 18 μс. Погрешность, вызванная условиями измерений, составила Δ_S = + 150 μс. Определить доверительные границы интервала для истинного значения промежутка времени Δ Т с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений Δ Т = 13539: 15 = 902,60 ≈ 903 мс. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (238: 14)^0,5 = 4,123 мс. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения Δ Т ₃ = 912 мс критерий Граббса G ₁ = (912 ̶ 903) / 4,123 = 2,183 < G _T = 2,806. Вывод: результат измерения Δ Т ₃ = 912 мс выбросом не является.

Исправленное значение результата измерения промежутка времени Δ Т _испр = Δ Т ̶ Δ_S = 902,60 ̶ 0,15 = 902,45 мс. Среднее квадратическое среднего арифметического результатов наблюдений S _{Δ Т} = 1,058 мс. Поскольку S _{Δ Т} >> Δ_СИ, cуммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения промежутка времени принимается равным S _Σ = S _{Δ Т} = 1,058 мс. Для P = 0,99 и n = 15 коэффициент Стьюдента t = 2,977. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения сопротивления ε_{Δ Т} = t · S _Σ = 2,977·1,058 = 3,150 → 4 мс.

Ответ: Δ Т = (902 ± 4) мс, P = 0,99 или 898 кН ≤ F ≤ 906 мс, P = 0,95

 

Варианты 13,

Условия. Результаты измерения диаметра D отверстия (мм): 32,001; 31,989; 31,996; 31,973; 31,993; 31,998; 32,002; 31,991; 32,000; 32,002; 31,990; 31,994; 31,995. Предел основной погрешности средства измерений Δ_СИ = 0,5 мкм. Погрешность, вызванная отклонениями параметров условий измерений от нормальных, составляет Δ_У = +0,3 мкм. Определить доверительные границы интервала для истинного значения диаметра с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений D = 415,924: 13 = 31,99415 ≈ 31,994 (мм). Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (725: 12)^0,5 = 7,773 мкм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса.. Для результата измерения D ₄ = 31,973 мм критерий Граббса G ₂ = (31994 ̶ 31973) / 7,773 = 2,702 > G _T = 2,462. Вывод: результат измерения D ₄ = 31,973 мм является выбросом и удаляется.

Среднее арифметическое оставленных результатов наблюдений D = 383,951: 12 = 31,99592 ≈ 31,996 (мм). Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (241: 11)^0,5 = 4,681 мкм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса.. Для результата измерения D ₂ = 31,973 мм критерий Граббса G ₂ = (31996 ̶ 31989) / 4,681 = 1,495 < G _T = 2,462. Вывод: результат измерения D ₂ = 31,989 мм выбросом не является.

Исправленное значение результата измерения диаметра отверстия D _испр = D – Δ_У = 31,99592 − (+0,0003) = 31,99562 (мм). Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического результатов наблюдений S_D = 1,826 мкм. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения диаметра S _Σ = (Δ²_СИ + S ² _D)^0,5 = (0,5² + 1,826²)^0,5 = 1,893 мкм. Для P = 0,95 и n = 12 коэффициент Стьюдента t = 2,18. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения сопротивления ε _D = t · S _Σ = 2,18·1,893 = 4,127 → 5 мкм = 0,005 мм.

Ответ: D = (31,996 ± 0,005) мм, P = 0,95 или

31,991 мм ≤ D ≤ 32,001 мм, P = 0,95.

 

Варианты 14,

Условия. При измерении дифференциального давления p получены следующие результаты наблюдений (мПа): 39,00; 39,03; 39,16; 39,11; 39,12; 39,03; 39,14; 39,04; 39,05; 39,08; 39,10; 38,97; 38,99; 39,06. Предел основной погрешности дифференциального манометра ΔСИ = 3 μПа. Неисключённая систематическая погрешность показаний манометра Θ_СИ = 24 μПа. Определить доверительные границы интервала для истинного значения давления с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений p = 546,88: 14 = 39,0629 ≈ 39,06 (мПа). Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,01·(434: 13)^0,5 = 0,05778 мПа. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения p ₃ = 39,16 мПа критерий Граббса G ₁ = (39,16 ̶ 39,06) / 0,05778 = 1,731 < G _T = 2,755. Вывод: результат измерения p ₃ = 39,16 мПа выбросом не является.

Среднее квадратическое отклонение НСП дифференциального манометра S _Θ = |Θ_СИ| / 3^0,5 = 13,86 μПа. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_p = 0,01544 мПа = 15,44 μПа. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения частоты S _Σ = (S ²_Θ + S ² _p)^0,5 = (13,86² + 15,44²)^0,5 = 20,748 μПа. Коэффициент Стьюдента для P = 0,99 и n = 14 равен t = 2,98. Доверительная граница случайной погрешности результата измерения дифференциального давления равна ε _p = t · S_p = 2,98·15,44 = 46,01 μПа = 0,04601 мПа. Коэффициент K = (ε _p + Θ_СИ) / (S_p + S _Θ) = (46,01 + 24) / (15,44 + 13,86) = 2,389. Доверительные границы погрешности результата измерения массы Δ _p = K · S _Σ = 2,389·20,748 = 49,58 → 50 μПа = 0,05 мПа.

Ответ: p = (39,06 ± 0,05) мПа, P = 0,99 или 39,01 мПа≤ p ≤ 39,11 мПа, P = 0,99

 

Варианты 15,

Условия. Результаты измерения силы F (кН): 53,61; 53,59; 53,61; 53,67; 53,60; 53,54; 53,65; 53,70; 53,66; 53,62; 53,68; 53,66; 53,67; 53,58; 53,61. Предел основной погрешности динамометра Δ_СИ = 5 Н. Субъективная погрешность оператора составила 25 % основной погрешности СИ. Определить доверительные границы интервала для истинного значения силы с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений силы F = 804,45: 15 = 53,6300 кН. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,01·(215: 14)^0,5 = 0,03919 кН. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения F ₆ = 53,54 кН критерий Граббса G ₂ = (53,63 ̶ 53,54) / 0,03919 = 2,297 < G _T = 2,549. Вывод: результат измерения F ₆ = 53,54 кНвыбросом не является.

Субъективная погрешность оператора Δ_С = 5·25:100 = 1,25 Н. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_F = 0,01012 кН = 10,12 Н. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения силы S _Σ = (Δ²_СИ + Δ²_С + S ² _F)^0,5 = 11,36 Н. Значение коэффициента Стьюдента для Р = 0,95 и n = 15 равно t = 2,145. Доверительные границы погрешности результата измерения силы Δ _F = t·S _Σ = 2,145·11,36 = 24,37 Н → 0,03 кН.

Ответ: F = (53,63 ± 0,03) кН, P = 0,95 или 53,60 кН ≤ F ≤ 53,66 кН, P = 0,95

 

Варианты 16,

Условия. При измерении силы электрического тока I получены следующие результаты наблюдений (А): 1,932; 1,935; 1,939; 1,938; 1,934; 1,910; 1,929; 1,930; 1,939; 1,941; 1,938; 1,940; 1,942; 1,943. Предел основной погрешности амперметра Δ_СИ = 0,3 мА. Методическая погрешность, связанная с подключением амперметра в цепь, равна Δ_мет = ̶ 0,8 мА. Определить доверительные границы интервала для истинного значения силы электрического тока с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений I = 27,090: 14 = 1,9350 мА. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (920: 13)^0,5 = 8,412 мА. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения I ₆ = 1,910 А критерий Граббса G ₂ = (1935 ̶ 1910) / 8,412 = 2,972 > G _T = 2,755. Вывод: результат измерения I ₆ = 1,910 А являетсявыбросом и должен быть удалён.

Среднее арифметическое оставленных результатов наблюдений I = 25,180: 13 = 1,93692 ≈ 1,937 мА. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = (247: 12)^0,5 = 4,537 мА. Проверяем вновь наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения I ₆ = 1,929 А критерий Граббса G ₂ = (1935 ̶ 1929) / 4,537 = 1,322 < G _T = 2,699. Вывод: результат измерения I ₆ = 1,910 А не являетсявыбросом.

Исправленный результат измерения силы электрического тока I _испр = I ̶ Δ_мет = 1,93772 А. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S_I = 1,258 мА. Суммарное среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S _Σ = (Δ²_СИ + S ² _I)^0,5 = 1,293 мА. Для Р = 0,99 и n = 13 значение коэффициента Стьюдента равно t = 3,01. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения силы тока Δ _I = t · S _Σ = 3,01·1,293 = 3,892 → 4 мА = 0,004 А.

Ответ: I = (1,938 ± 0,004) А, P = 0,99 или 1,934 А ≤ I ≤ 1,942 А, P = 0,99

 

Варианты 17,

Условия. Отклонения Δ d (мкм) диаметра валика от размера меры h = 28,000 мм, на который был настроен измерительный прибор, оказались равными: −1, +3, +2, 0, −1, +3, +1, +2, −2, +1, −1, −5, +3, +2, +3. Предел основной погрешности средства измерений Δ_СИ = 0,4 мкм. Погрешность, обусловленная отклонением рабочей температуры от нормального значения, составила Δ_У = − 0,5 мкм. Определить доверительные границы интервала для истинного значения диаметра d с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений Δ d = 10: 15 = 0,6667 ≈ + 0,7 мкм. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = 0,1·(7535: 14)^0,5 = 2,320 мкм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения Δ d ₁₂ = −4 мкм критерий Граббса G ₂ = (1 ̶ (̶ 5)) / 2,32 = 2,586 > G _T = 2,549. Вывод: результат измерения Δ d ₁₂ = − 5 мкм является выбросом и удаляется.

Среднее арифметическое оставленных результатов наблюдений Δ d = 15: 14 = 1,07 ≈ +1 мкм. Среднее квадратическое отклонение результатов измерений S = (41: 13)^0,5 = 1,776 мкм. Вновь проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения Δ d ₉ = −2 мкм критерий Граббса G ₂ = (1 ̶ (̶ 2)) / 1,776 = 1,689 < G _T = 2,507. Вывод: результат измерения Δ d ₉ = −2 мкм выбросом не является.

Исправленное значение результата измерения диаметра валика d _испр = h + Δ d ̶ Δ_У = 28,000 + 0,00107 − (− 0,0005) = 28,00157 мм. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического S _{Δ d} = S_d = 0,4746 мкм. Суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения диаметра d: S _Σ = (Δ²_СИ + S ² _d)^0,5 = 0,6207 мкм. Для Р = 0,95 и n = 14 значение коэффициента Стьюдента t = 2,14. Границы интервала случайной погрешности результата измерения диаметра валика Δ _d = t · S _Σ = 2,14·0,6207 = 1,328 → 1,4 мкм = 0,0014 мм.

Ответ: d = (28,0016 ± 0,0014) мм, P = 0,95 или

28,0002 мм ≤ d ≤ 28,0030 мм, P = 0,95

 

Варианты 18,

Условия.

 

Варианты 19,

Условия.

 

Варианты 20,

Условия.

 

Варианты 21,

Условия. Результаты измерения глубины h впадины (мм): 18,9; 18,4; 18,2; 18,9; 19,0; 17,5; 18,8; 19,1; 18,6; 19,2; 18,7; 19,1; 18,0; 19,0; 18,9. Предел основной погрешности глубиномера Δ_СИ = 50 мкм. Погрешность, вызванная износом измерительной поверхности глубиномера, составляет Δ_S = + 10 мкм. Методическая погрешность измерения глубины впадины составила 35 % основной погрешности СИ. Определить доверительные границы интервала для истинного значения диаметра с вероятностью P = 0,95.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений h = 280,3: 15 = 18,687 ≈ 18,7 мм. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,1·(307 / 14)^0,5 = 0,4683 мм. Проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения h ₆ = 17,5 мм критерий Граббса G ₂ = (18,7 ̶ 17,5) / 0,4683 = 2,562 > G _T = 2,549. Вывод: результат измерения h ₆ = 17,5 мм является выбросом и удаляется.

Среднее арифметическое оставшихся результатов наблюдений h = 262,8: 14 = 18,771 ≈ 18,8 мм. Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений S = 0,1·(166 / 13)^0,5 = 0,3573 мм. Снова проверяем наличие выбросов по критерию Граббса. Для результата измерения h ₁₂ = 18,0 мм критерий Граббса G ₂ = (18,8 ̶ 18,0) / 0,3573 = 2,239 < G _T = 2,507. Вывод: результат измерения h ₁₂ = 18,0 мм не является выбросом.

Исправленный результат измерения h _испр = h − Δ_S = 18,771 − (+0,01) = 18,761мм. Методическая погрешность измерения глубины впадины равна Δ_мет = 50·35:100 = 17,5 мкм. Суммарная случайная составляющая результата измерения глубины S _Σ = (Δ²_СИ + Δ²_мет)^0,5 = (50² + 17,5²)^0,5 = 52,97 мкм. Для Р = 0,95 и n = 14 значение коэффициента Стьюдента равно t = 2,14. Доверительные границы случайной составляющей результата измерения глубины ε _h = t · S _Σ = 2,14·52,97 = 113,4 мкм → 120 мкм = 0,12 мм.

Ответ: h = (18,76 ± 0,12) мм, P = 0,95 или 18,64 мм ≤ h ≤ 18,88 мм, P = 0,95

*****************************

Варианты 22,

Условия.

 

Варианты 23,

Условия.

 

Варианты 24,

Условия.

 

Варианты 25,

Условия. При измерении длины l получены следующие результаты наблюдений (мм): 190, 194, 191, 197, 194, 191, 193, 194, 198, 195. Определить доверительные границы интервала для истинного значения длины с вероятностью P = 0,99.

Решение. Среднее арифметическое результатов наблюдений l = 1937: 10 = 193,7 ≈ 194 (мм). Стандартное отклонение среднего арифметического S (l) = 0,781 (мм). Предельная погрешность результата измерения длины Δ l = S (l)· t = 0,781·3,25 = 2,539 ≈ 3 (мм).

Ответ: l = (194 ±3) мм, P = 0,99 или 191 мм ≤ l ≤ 197 мм, P = 0,99

 

Варианты 26,

Условия.

 

Варианты 27,

Условия. При измерении диффере

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: