 |
Ранг матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о том, что элементарные преобразования не меняют ранга.
|
|
|
|
5.1 Ранг матрицы. Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы. Ранг системы строк матрицы равен её рангу системы столбцов. Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов.
5.2 Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарными преобразованиями строк называют:
· перестановку местами любых двух строк матрицы;
· умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
· прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.
5.3 Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Док-во смотри в интернете
Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Ранг ступенчатой матрица.
6.1 Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
· Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
· Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
· Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.
6.2 В результате выполнения элементарных преобразований любая матрица преобразуется в ступенчатую матрицу, ранг которой равен числу ее строк. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Значит, ранг исходной матрицы равен рангу полученной из нее ступенчатой матрицы.
7 Пространство R ^ n арифметических векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
|
|
|
8 Критерий линейной зависимости векторов R ^ n. Следствие из этой теоремы. Понятие базиса.
9 Теоремы о базисах в R ^ n. Стандартный базис.
Теорема о базисном миноре
10.1 Теорема. Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы.
10.2 Доказательство. Amxn =|| aij ||mxn Пусть k – порядок базисного минора. Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу.
1) Если базисные столбцы линейно зависимы, то столбцы базисного минора так же линейно зависимы => хотя бы один из столбцов линейно выражается через остальные, т.е.. является их линейной комбинацией => Δ = 0, что противоречит условию => базисные столбцы линейно независимы.
2) Зафиксируем произвольный столбец матрицы А, например 
. Покажем, что линейно выражается через базисные столбы. Построим определитель
(1≤ l ≤n) (1≤ i ≤m)
Если i < k или l < k, то 
Рассмотрим случай i > k, l > k Тогда 
как минор k+1– го порядка в матрице А. Обозначим А1, …, Аk, Ak+1 алгебраические дополнения к последней строке 
Эти величины не зависят от элементов i-ой строки. Кроме того Ak+1 = Δ ≠ 0. Разложим минор по последней строке. ai1 A1+…+ aik Ak + ail Δ = 0
l = 1, …, n ч.т.д.
Следствие 1. Пусть Аmxn Если Rg A < n, то столбцы матрицы линейно зависимы.
Доказательство. Пусть Rg A = k < n, значит в матрице существует базисный минор порядка k. Не ограничиваясь общности будем считать, что ↓a1, …, ↓ak базисные. Т.к.. k < n, то ∃ ↓ak+1. По теореме о базисном миноре столбец ↓ak+1 выражается через базисные, т.е.. ↓a1, …, ↓ak, ↓ak+1 – линейно зависимы => матрица содержит линейно зависимую подсистему => матрица линейно зависима.
Следствие 2. Пусть А – квадратная матрица. det A = 0 óстолбцы матрицы линейно зависимы.
|
|
|
Доказательство. Если столбцы линейно зависимы, то det A = 0. Пусть det A = 0, тогда Rg A < n, т.е.. число столбцов больше ранга => (из следствия 1) столбцы матрицы линейно зависимы.
11 Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
11.1
11.2 Метод Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы
|
|
|
