Свойства ординальных чисел.

 

Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.

Со времён Кантора порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами (ординалами). Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (трансфинитами).

Определение 2.6. Порядковое число   меньше порядкового числа  (), если какое-либо вполне упорядоченное множество типа  изоморфно некоторому отрезку какого-нибудь вполне упорядоченного множества типа .

Пусть  - некоторое ординальное число. Обозначим W() – множество всех ординальных чисел, меньших .

Теорема 4.1. Отношение  < , установленное для ординальных чисел, превращает множество W() всех ординальных чисел, меньших данного ординального числа , во вполне упорядоченное множество типа .

Доказательство.

Из определения 2.6 следует, что множество W () находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех отрезков А_х произвольно выбранного множества А типа ; так как отрезки А_х взаимно однозначно соответствуют элементам х   А, то имеем взаимно однозначное соответствие  = f (х), х   А,  W() между множеством W() и множеством А типа . При этом соответствии из х < x ’ в А следует, что А_х есть отрезок множества А_х’, значит,  = f (x) <  = f (x’) в W (), и обратно. ■

Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

1) А  В = Х;

                                2) А  В = Æ;

 3) для любых х  А и у  В выполняется неравенство х < у.

Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел  и  всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо  < , либо  = , либо  > .

Доказательство.

Пусть даны два ординальных числа  и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что  и  могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений:  = ,  < ,  > .

Обозначим через D множество W ()  W (). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через . Докажем неравенства , . Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D  W (). Если D = W (), то  есть порядковый тип множества W (), то есть  = . Пусть D  W (). Разбиение W () = D (W()\ D) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (). В самом деле, пусть х   D, у  W ()\ D. Так как W () линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как х W (), х W (), то одновременно х <  и х < . Если бы было у < х, то было бы у < , у < , то есть  у   D. Итак, доказано, что х < у для любых х   D, у  W ()\ D, а это и означает, что (D, W ()\ D) есть сечение в W (). Пусть  <  есть первый элемент в W ()\ D. Тогда отрезок, отсекаемый в W () элементом , совпадает с D, то есть  есть порядковый тип множества D,  =  и  < .

Аналогично доказывается, что .

Однако, неравенства  <  и  <  не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы D, так что  было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.

Таким образом, имеются лишь следующие возможности:

1)  = ,  =  и, значит,  = ;

2)  = ,  =  и, значит,  < ;

3)  < ,  =  и, значит,  < . ■

 

Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.

Доказательство.

Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A ’   А имеет наименьший элемент.

Возьмём какой-нибудь элемент а’   A ’. Если а’ – наименьший из чисел

  х   А’, то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a ’)   A ’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a ’), содержит первый элемент а. Ординальное число а и является наименьшим элементом в A ’. ■

Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В, не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество А В, состоящее из всех элементов а А и b B. Превратим множество А В в упорядоченное множество А+В, введя в него порядок таким образом: если а< a ’ в A или b < b ’ в В, то те же отношения сохраняются в А+В; если же а А, b В, то положим a < b в А+В. Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если  и  есть порядковые типы множеств А и В, то порядковый тип множества А+В называется суммой +  порядковых типов  и .

Теорема 4.4. Пусть  - какое-нибудь ординальное число. Тогда +1 есть ординальное число, непосредственно следующее за .

Доказательство.

Пусть А – какое-нибудь вполне упорядоченное множество типа . По определению сложения порядковых типов множество А’ типа +1 получим, если присоединим к А новый элемент а’, следующий за всеми элементами а А. Тогда A = A ’ _{a ’}, то есть  < +1.

Всякое ординальное число ’< +1 является типом некоторого отрезка А _x ’ множества A ’. Но если х = а’, то А _x ’ = A ’ _{a ’} = A и ’ = ; если же x = a < a ’, то A_x ’ = A_a  и ’ < . ■

Теорема 4.5. Пусть А и В – вполне упорядоченные множества. Пусть  и  - их порядковые типы. Если А  В, то .

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что  < . Тогда множество В изоморфно отрезку своего подмножества А, а это противоречит предложению 1.3. ■

Теорема 4.6. Сумма любых ординальных чисел х  (данных в любом порядке) есть ординальное число , не меньшее, чем любое из данных слагаемых х .

Доказательство.

Пусть дано некоторое ординальное число  и каждому  <  поставлено в соответствие ординальное число х . Пусть  - сумма по типу  всех ординальных чисел х ; обозначим её через  = .

Если Х   - какое-нибудь множество, упорядоченное по типу х , то сумма вполне упорядоченного (по типу W ()) множества множеств Х  есть вполне упорядоченное множество Х, типом которого является . Так как множество Х содержит в качестве своего подмножества каждое из множеств Х , то на основании теоремы 4.5 для любого х  имеем х .■ 

Теорема 4.7. Для любого множества ординальных чисел можно построить ординальное число, большее любого из чисел этого множества.

Доказательство.

Пусть есть множество ординальных чисел Х. На основании теоремы 4.6 сумма всех элементов х  множества Х есть ординальное число, большее, чем любое из данных х . ■

§5. ПРОСТРАНСТВО ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ W ( ₁ ) И ЕГО СВОЙСТВА.

Мощностью ординального числа называется мощность соответствующего ему вполне упорядоченного множества. Так, числа 1, 2, 3, … являются конечными ординальными числами,  - счётное ординальное число, так как является порядковым типом множества N.  

Обозначим ₁ – первое несчётное ординальное число. Рассмотрим W( ₁) – множество всех ординальных чисел, меньших ₁. По теореме 4.1 множество W( ₁) является вполне упорядоченным и имеет тип ₁, то есть |W( ₁)| = ₁ – первая несчётная мощность.

Определение 2.9. Ординальное число называется предельным, если оно не имеет предшествующего.

Предложение 5.1. ₁ – предельное ординальное число.

Доказательство.  

Если ₁, то  - счётно или конечно. Тогда таковым будет и число . Следовательно, ₁. Таким образом, никакое число ₁ не является предшествующим ₁. ■

Предложение 5.2. Среди чисел множества W( ₁) бесконечно много предельных ординальных чисел.

Доказательство.

Пусть ₁, тогда  - конечно или счётно. Тогда  - счётно, следовательно, ₁, поэтому ₁).■

W( ₁) – линейно упорядоченное множество, так как любые его два элемента сравнимы (по теореме 4.2). Следовательно, на нём можно ввести порядковую топологию, при этом W( ₁) становится линейно упорядоченным пространством. Для него выполняются общие топологические свойства линейно упорядоченных пространств:

1. Хаусдорфовость. Пространство W( ₁) является хаусдорфовым пространством ([1]).

2. Нормальность. Пространство W( ₁) является нормальным пространством ([1]) и, следовательно, тихоновским пространством ([3]).

3. Фундаментальная система окрестностей произвольной точки из W( ₁).  

Определение 2.10. Множество  окрестностей точки х образует ф ундаментальную систему окрестностей этой точки, если для любой окрестности U(x) точки х найдётся окрестность О(х) , для которой х .

Любая точка пространства W( ₁) обладает фундаментальной системой окрестностей, состоящей из открыто-замкнутых множеств, то есть для любого > 0 множество всех открыто-замкнутых интервалов [ +1; ] = ={ x: < x < +1}, где  образует фундаментальную систему окрестностей точки .

4. Локальная компактность.

Лемма 5.3. W() компактно тогда и только тогда, когда  не является предельным ординальным числом.

Доказательство.

Необходимость. Будем доказывать методом от противного и предположим, что  - предельное ординальное число. Рассмотрим множество «хвостов», то есть множество вида W()\W() = { x W():

x }, где – некоторое ординальное число: . Это замкнутые множества. Очевидно, что пересечение конечного числа «хвостов» является «хвостом», то есть не пусто. Таким образом, «хвосты» образуют центрированную систему замкнутых множеств. Так как  - предельное ординальное число, то пересечение всех множеств этого семейства пусто и, следовательно, W() не компактно - противоречие. Следовательно,  - не является предельным ординальным числом.

Достаточность. Проведём доказательство по индукции:

1.W(0) = Æ - очевидно компактно.

2.Индукционное предположение: пусть ’ = +1 – не предельное ординальное число. Предположим, что W() компактно для любого < +1.

Пусть  - семейство открытых множеств, образующих покрытие пространства W( +1). Так как точка  покрыта, то существует U , < : [ +1; ] U . По индукционному предположению пространство W( +1), являющееся подпространством W( +1), компактно, так как +1< +1. Поэтому конечное подсемейство F из  покрывает W( +1). Тогда F { U } – это конечное подпокрытие из , которое покрывает W( +1). Следовательно, W( +1) компактно. ■

Из этой леммы следует, что пространство W( ₁) не является компактным, так как ₁ - предельное ординальное число.

Предложение 5.4. Пространство W( ₁) локально компактно.

Доказательство.

Возьмём произвольную точку  из W( ₁). Так как W( ₁), то < ₁ и +1< ₁ (так как ₁ – предельное ординальное число). Следовательно, +1 не является предельным ординальным числом. В качестве окрестности точки   возьмём открыто-замкнутое множество U () = { |

 < +1} = { | } = W( +1) – компактно (по лемме 5.3) и содержит точку . Следовательно, W( ₁) локально компактно. ■

5. Счётные множества в W( ₁).

Определение 2.11. Множество А называется кофинальным в W(), если оно не ограничено сверху, т. е. (  ) ().

Предложение 5.5. Ни одно счётное множество в W( ₁) не кофинально.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что в W( ₁) существует счётное кофинальное множество S.

Докажем, что W( ₁) = :

 Очевидно, что W() W( ₁) для любого S  W( ₁).

 Докажем, что W( ₁) .

Пусть W( ₁). Так как S кофинально, то существует S: . Следовательно, W() .

Таким образом, W( ₁) = .

Заметим, что |W( ₁)| = ₁. Тогда ₁ | S | ₀. Следовательно, | S |= ₁, чего быть не может, так как S – счётное множество. ■

6. Счётная компактность.

Предложение 5.6. Любое счётное множество из W( ₁) содержится в компактном подпространстве пространства W( ₁).

Доказательство.

Пусть А - счётное подмножество в W( ₁). По предложению 5.5 оно не является кофинальным, то есть А ограничено сверху в W( ₁). Пусть = supA. Тогда W( ₁) и А W( +1), где W( +1) на основании леммы 5.3 компактно, так как +1 не предельное ординальное число. Таким образом, нашлось компактное подпространство пространства W( ₁), в котором содержится множество А. ■

Следствие 5.7. Любое счётное замкнутое множество в W( ₁) компактно.

Доказательство.

Пусть А – счётное замкнутое множество в W( ₁). Так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно ([8]), а множество А по условию замкнуто, и по предложению 5.6 оно содержится в компактном подпространстве пространства W( ₁), то А компактно. ■

Предложение 5.8. Пространство W( ₁) счётно компактно.

Доказательство.

Пусть S – произвольное бесконечное подмножество в W( ₁), а ( _n) – его строго возрастающая последовательность. По предложению 5.5 множество { _n} не является кофинальным, то есть оно ограничено сверху. Пусть =sup _n. В любой окрестности () точки , где , есть точки последовательности _n множества S. Тогда  - предельная точка множества S. ■

7. Пространство W( ₁) не метризуемо, так как оно не компактно, но счётно компактно, а в метрических пространствах любое счётно компактное пространство компактно.

8. Компактификации.

Лемма 5.9. Из любых двух не пересекающихся замкнутых множеств в W( ₁) хотя бы одно ограничено.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что H и K – кофинальные замкнутые не пересекающиеся множества. Мы можем выбрать возрастающую последовательность ( _n), n N, где _n H для n – нечётных, и _n К для n – чётных. Так как множества Н и К замкнуты, то предельные точки им принадлежат, то есть  = sup _n , чего быть не может, поскольку множества Н и К не пересекаются. ■

Предложение  5.10. Любая функция f С (W( ₁)) постоянна на «хвосте» W( ₁)\W() (  зависит от f).

Доказательство.

Заметим, что любой «хвост» W( ₁)\W(), где W( ₁), счётно компактен, так как он является замкнутым подпространством счётно компактного пространства W( ₁) ([3]). Следовательно, каждое множество образов f [W( ₁)\W()] – это счётно компактное подмножество R (поскольку функция f непрерывна, а непрерывный образ счётно компактного множества счётно компактен ([3])) и, следовательно, компактно, поэтому пересечение [W( ₁)\W()] центрированного семейства замкнутых множеств непусто. Выберем произвольное число r из этого пересечения. Докажем, что f ^-1(r) кофинально в W( ₁). Так как r [W( ₁)\W()], то r f [W( ₁)\W()] для любого W( ₁). Следовательно, f ^–1(r) W( ₁)\W() для любого .

Рассмотрим для каждого n N замкнутое множество А_n = { x W( ₁):

| f (x) – r | }. Оно не пересекается с f ^–1(r), а f ^–1(r) кофинально, поэтому по лемме 5.9 А_n имеет точную верхнюю грань в W( ₁). Обозначим _n = sup A_n. Возьмём произвольное ординальное число >sup _n. Пусть  W( ₁)\W(), тогда > . Предположим, что f ()  r, тогда | f () - r |  для некоторого n. Следовательно, А_n и _n< , т. е. , но