Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Пови-2.Его определение и свой-ва




Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

 

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости (х,у), ограниченный кусочно-гладким контуром.

 

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость (х,у) элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

Свойства Пови-2:

1)свой-во линейности:

 

2)свой-во аддитивности:

3) При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак/

Вычисление Пови-2

Пови-2 по разным сторонам и одной и той же пов-ти S вычисляется:

Для Пови-2 существует несколько способов вычисления:

I)Переход от Пови-2 к Пови-1

II) Непосредственный переход к двойному интегралу.

Векторное поле. Векторные линии поля

, Это выражение называют векторным дифференциальным оператором или оператором Гамильтона.

Если каждой точке М данной области Е соответствует определенный вектор , то говорят, что в области Е задано векторное поле. В декартовой системе координат векторное поле задается тремя функциями P,Q,R, определенными в области Е

.

Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что эти функции во всей области непрерывны вместе с частными производными. Для плоского векторного поля:

 

.

Векторной линией данного поля называют такую линию , в каждой точке которой вектор имеет направление касательной к этой линии. Через каждую точку векторного поля проходит (при условии, что )одна векторная линия. Совокупность всех векторных линий определяется системой дифференциальных уравнений:

.

Векторные линии характеризуют векторные поля геометрически и дают известную информацию о структуре этого поля. В векторном поле векторные линии нормальны в каждой точке поверхностям уровня F(x,y,z) = С; вдоль этих линий функция F(M) изменяется быстрее всего. В случае плоского векторного поля векторные линии определяется уравнением:

Поток векторного поля

Поток векторного поля — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов , определяемых дифференциальным уравнением:

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл первого рода по поверхности . По определению:

Где — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для не ориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), — элемент поверхности.

В трёхмерном случае , а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда, особенно в физике, применяется обозначение: ;тогда поток записывается в виде:

 

Физическая интерпретация: Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения . Тогда объем жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля через поверхность .

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...