 |
Пови-2.Его определение и свой-ва
|
|
|
|
Рассмотрим двустороннюю поверхность 
, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением 
причем точка 
изменяется в области 
на плоскости (х,у), ограниченный кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция 
. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части 
и выбрав на каждой такой части точку 
вычисляем значение функции 
в данной точке и умножим его на площадь 
проекции на плоскость (х,у) элемента 
, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от 
Свойства Пови-2:
1)свой-во линейности: 
2)свой-во аддитивности: 
3) При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак/
Вычисление Пови-2
Пови-2 по разным сторонам 
и 
одной и той же пов-ти S вычисляется:
Для Пови-2 существует несколько способов вычисления:
I)Переход от Пови-2 к Пови-1
II) Непосредственный переход к двойному интегралу. 
Векторное поле. Векторные линии поля
, Это выражение называют векторным дифференциальным оператором или оператором Гамильтона.
Если каждой точке М данной области Е соответствует определенный вектор 
, то говорят, что в области Е задано векторное поле. В декартовой системе координат векторное поле задается тремя функциями P,Q,R, определенными в области Е
.
Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что эти функции во всей области непрерывны вместе с частными производными. Для плоского векторного поля:
|
|
|
.
Векторной линией данного поля называют такую линию ℓ, в каждой точке которой вектор имеет направление касательной к этой линии. Через каждую точку векторного поля проходит (при условии, что 
)одна векторная линия. Совокупность всех векторных линий определяется системой дифференциальных уравнений:
.
Векторные линии характеризуют векторные поля геометрически и дают известную информацию о структуре этого поля. В векторном поле 
векторные линии нормальны в каждой точке поверхностям уровня F(x,y,z) = С; вдоль этих линий функция F(M) изменяется быстрее всего. В случае плоского векторного поля векторные линии определяется уравнением: 
Поток векторного поля
Поток векторного поля 
— однопараметрическое семейство диффеоморфизмов 
, определяемых дифференциальным уравнением: 
Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл первого рода по поверхности 
. По определению: 
Где 
— векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), 
— единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для не ориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), 
— элемент поверхности.
В трёхмерном случае 
, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда, особенно в физике, применяется обозначение: 
;тогда поток записывается в виде: 
Физическая интерпретация: Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения 
. Тогда объем жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля 
через поверхность .
|
|
|
|
|
|
