Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты)
Федеральное агентство по образованию Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа «Целочисленные функции»
Выполнила: студентка
Научный руководитель: старший преподаватель Семёнов А.Н.
Рецензент:
Допущена к защите в ГАК Зав. кафедрой Вечтомов Е.М.
«»
Киров 2005 Содержание
Введение. 3 Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты) 4 I. Определения. 4 II. Связь с непрерывными функциями. 5 III. Количество целых чисел в интервалах: [ a, b ], [ a, b), (a, b), (a, b ] 7 IV. Спектры. 8 V. ‘Mod’: бинарная операция. 9 Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач) 11 Литература. 28 Введение Целые числа составляют костяк дискретной математики, и на практике часто приходится округлять дробные или произвольные вещественные числа до целых. До недавнего времени для обозначения целой части вещественного числа
Цель данной работы — получить представление и навыки в обращении с «полом» и «потолком». Задачи работы: 1. Осветить теоретические аспекты данной темы: · Дать определение функций «пол», «потолок»; · Рассмотреть некоторые свойства этих функций; · Установить связь с непрерывными функциями; · Подсчитать количество целых чисел в заданных интервалах; · Рассмотреть определение спектра и его свойства; · Дать определение бинарной операции «mod» и рассмотреть приложение этой операции; · Рассмотреть на примере, как можно вычислить сумму, содержащую «полы». 2. Показать, как теория применяется на практике при решении задач. Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты)
I. Определения. Договоримся через ë x û — наибольшее целое, меньше или равное x; é x ù — наименьшее целое, больше или равное x.
Из определения ясно, что
В целых точках неубывающие функции
Эта формула связывает все три обозначения Айверсона. Здесь и далее квадратные скобки используются для произвольного высказывания P в таком смысле: Функции
Из определений «пола» и «потолка» легко следуют свойства этих функций:
Разность между Иногда
Докажем следующее свойство рассматриваемых функций:
Так как
II. Связь с непрерывными функциями. Пусть
и
всякий раз, когда определены функции Докажем, что Случай 1: если Случай 2: если
Докажем, что Случай 1: если Случай 2: если Рассмотрев
Например, при III. Количество целых чисел в интервалах: [a, b], [a, b), (a,b), (a, b]. Будем рассматривать указанные интервалы при условии Если a и b — целые числа, тогда интервал [ a, b) содержит ровно
Поэтому интервал [ a, b) содержит ровно Рассмотрим промежуток [ a, b ]. Имеем Рассмотрим (a, b), причём
Подытожим установленные факты:
(9)
IV. Спектры. Спектр некоторого вещественного числа a определяется как бесконечное мультимножество целых чисел: Spec (a) = { Если Действительно, если предположить, что Пусть
Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть
V. ‘Mod’: бинарная операция. Если m и n — целые положительные числа, то неполное частное от деления n на m равно
Это определение можно распространить на произвольные вещественные числа:
при Дробную часть числа x можно представить как Самым важным алгебраическим свойством операции ‘mod’ является распределительный закон:
Доказательство следует из (11):
Приложение операции ‘ mod ’: разложение n предметов на m групп как можно более равномерных. Решение этого вопроса даёт тождества, справедливые при целых
Доказательство этих фактов можно найти в книге Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник «Конкретная математика» на с.106-108. Если в (15) заменить n на ë mx ûи применить правило (8), то получим тождество, которое справедливо при любом вещественном x и натуральном
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|