Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)

Задача 1.

Всякое натуральное число представимо в виде: , где . Приведите явные формулы для l и m как функций от n.

Решение:

Тогда

Ответ: , .

Задача 2.

Как выглядит формула для ближайшего целого к заданному вещественному числу x? В случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — приведите выражение, округляющее результат:

a) в сторону увеличения, т.е. до é x ù;

b) в сторону уменьшения, т.е. до ë x û.

Решение:

Пусть вещественное число округляется до .

a) В этом случае до округляются числа , удовлетворяющие неравенству:

Û (по свойству (4)).

b) В этом случае до округляются числа , удовлетворяющие неравенству:

Û (по свойству (4)).

Ответ: a) ; b)

Задача 3.

Вычислите , если m и n — натуральные числа, а — иррациональное число, большее n.

Решение:

= = = = = (так как и ).

Ответ: .

Задача 4.

Докажите, что .

Доказательство:

Отсюда , так как n — натуральное число.

Итак, . Что и требовалось доказать.

Задача 5.

Доказать, что если f (x) — непрерывная, монотонно убывающая функция и f (x) — целое Þ x — целое, тогда .

Доказательство:

1 случай: если , то .

2 случай: если , то , так как f – убывающая функция; (в силу того, что функция «пол» — неубывающая).

Если , то существует такое число , что и (так как f непрерывна). Поскольку f (y) целое, то по условию целое. А это противоречит тому, что между x и é x ù не может быть никакого целого числа. Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Задача 6.

Решите рекуррентность при целом

при ,

при .

Решение:

Покажем, что методом математической индукции по .

База: : из того, что , следует, что , тогда и , поэтому для выполняется .

Переход: пусть для некоторого номера и для меньших номеров утверждение верно: .

Докажем, что .

= .

Что и требовалось доказать.

Задача 7.

Докажите принцип ящиков Дирихле: если n предметов размещены по m ящикам, то некоторый ящик должен содержать не меньше чем é n / m ù предметов, а некоторый ящик должен содержать не более чем ë n / m û.

Решение:

Предположим, что каждый ящик содержит меньше, чем é n / m ù предметов. Тогда наибольшее количество предметов в каждом ящике — это предметов. Следовательно, наибольшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Þ Þ . Это противоречит тому, что .

Значит, существует ящик, который содержит не менее чем é n / m ù предметов.

Предположим, что нет ящика, в котором не более, чем ë n / m û предметов, т.е. каждый ящик содержит более чем ë n / m û предметов. Тогда наименьшее количество предметов в каждом ящике — . Следовательно, наименьшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Þ Þ . Это противоречит тому, что .

Значит, существует ящик, который содержит не более чем ë n / m û предметов.

Что и требовалось доказать.

Задача 8.

Покажите, что выражение всегда равно либо ë x û, либо é x ù. При каких условиях получается тот или иной случай?

Решение:

1 случай: x = (4 k -1)/2, k ÎZ

Тогда , так как - целое число.

Получим = = = =

2 случай: x ¹ (4 k -1)/2, k Î Z, тогда .

Получим = =

Итак, данное выражение округляет числа до ближайшего целого; в случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — данное выражение округляет число в сторону чётного.

Задача 9.

Докажите, что при любом целом n и любом целом положительном m.

Доказательство:

Пусть .

Покажем, что .

Имеем Û

Û (по свойствам (4)) Û

Û Û

Что и требовалось доказать.

Задача 10.

Пусть α и β — вещественные положительные числа. Докажите, что Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел тогда и только тогда, когда α и β иррациональны и .

Решение:

Пусть α и β — вещественные положительные числа.

Докажем, что если Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и .

Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда .

Þ Þ

Рассмотрим Þ

Þ .

Докажем, что α и β иррациональны. Так как , то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Если α и β оба рациональны, т.е. существует такое целое число m, что и , где и — натуральные числа, тогда ÎSpec(α) и ÎSpec(β).

Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.

Докажем обратное: если α и β иррациональны и , то Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел.

Так как и — иррациональны, то и — не целые числа, то

Отсюда получаем:

(так как и и — иррациональны, то ).

Получаем, что . Отсюда Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех натуральных чисел.

Что и требовалось доказать.

Задача 11.

Докажите, что при целом n.

Доказательство:

· если ( или ), то ,

тогда .

Получаем верное равенство .

· если , тогда .

Правая часть имеет вид: .

Преобразуем левую часть:

Получили, что при любом целом . Что и требовалось доказать.

Задача 12.

Имеется ли аналогичное (16) тождество, в котором вместо «полов» используются «потолки»?

Решение:

Тождество (16) получается из тождества (15) заменой n на ë mx û.

Аналогичное тождество для потолков получается из тождества (14) заменой n на é mx ù:

é mx ù = =

= =

Итак, получили тождество аналогичное данному:

é mx ù = .

Задача 13.

Докажите, что . Найдите и докажите аналогичное выражение для вида , где ω – комплексное число .

Доказательство:

При делении числа на 2 возможны только два различных остатка: либо 0, либо 1.

· если , то и .

· если , и .

Следовательно, равенство верно для любого натурального n. Что и требовалось доказать.

Найдём аналогичное выражение для , т.е. найдём коэффициенты a, b, c.

Поскольку — есть корень третьей степени из 1, то и .

Так как , то .

При делении числа на 3 возможны только три различных остатка: либо 0, либо 1, либо 2.

Если , то .

Решая систему , находим a, b, c.

, , .

Итак, получаем следующую формулу:

Задача 14.

Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число , чтобы равенство выполнялось при любом вещественном ?

Решение:

При любом вещественном и равенство выполняется Û b — целое число.

Если b — целое число, то функция непрерывная, возрастающая функция (так как ). Пусть — целое число, т.е. . Тогда , так как и . Выражая через , получим — целое, как натуральное число в неотрицательной целой степени. Поэтому можно применить формулу (6) и получить равенство .

Если b — не целое число, то при равенство не будет выполняться, так как

Итак, если , то равенство выполняется при любом вещественном тогда и только тогда, когда b — целое число.

Ответ: b — целое число.

Задача 15.

Найдите сумму всех чисел, кратных x, в замкнутом интервале [ a, b ], при .

Решение:

Числа, кратные имеют вид , где . Нужно просуммировать те из чисел , для которых . Учитывая, что и (4), имеем

Û Û .

Нам нужно вычислить следующую сумму:

В этой сумме можно вынести за скобки, а в скобке останется сумма всех чисел от до включительно. Применяя формулу арифметической прогрессии получаем:

Задача 16.

Покажите, что n -й член последовательности 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,… равен . (Каждое число m входит в данную последовательность m раз.)

Решение:

В этой последовательности чисел меньших будет , а чисел не превосходящих будет . Поэтому, если x_n = m, то

Оценим n:

Û Û

Û Þ

Þ .

Следовательно, .

Задача 1 7.

Найдите и докажите связь между мультимножествами Spec(α) и Spec(α /(α +1)), где α — некоторое положительное вещественное число.

Решение:

Число элементов в Spec(α), которые не превосходят n:

Число элементов в Spec(α /(α +1)), которые не превосходят n:

Итак, получили, что .

Покажем на основе этого, что чисел равных в Spec будет на 1 больше, чем в Spec().

При если , тогда .

Пусть в Spec() элементов не превосходящих будет , тогда число элементов в Spec() равных будет . Подсчитаем количество элементов в Spec равных :

Что и требовалось доказать.

Ответ: чисел равных в Spec будет на 1 больше, чем в Spec().

Задача 18.

На шахматной доске клеток симметрично начерчена окружность с диаметром единиц. Через сколько клеток доски проходит данная окружность?

Решение:

Радиус окружности равен .

Горизонтальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().

Вертикальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().

Окружность каждую из указанных прямых пересекает в двух точках. Она не проходит через углы клеток. Действительно, если предположить, что данная окружность проходит через какой-нибудь угол клетки, то существуют такие целые числа и , для которых выполняется теорема Пифагора: , но — целое число, а — не целое. Получили противоречие. Следовательно, окружность не проходит через углы клеток.

Каждую клетку окружность пересекает в двух точках, а каждая точка пересечения принадлежит двум клеткам. Следовательно, окружность проходит через столько клеток доски, сколько имеется точек пересечения её с прямыми: .

Ответ: клеток.

Задача 19.

Говорят, что f (x) является репликативной функцией, если

f () = f () + f + … + f

при каждом целом положительном m. Укажите, какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число c, чтобы функция f (x) = x + c являлась репликативной.

Решение:

f (x) = x + c — репликативна Û

Û Û

Û = 0 Û .

Ответ: .

Литература

Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник. Конкретная математика. М.: «Мир» 1998. С 88 - 124.

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: