 |
Пространственная заделка
|
|
|
|
Й способ
где Mox, Moy, Moz – моменты силы 
относительно координатных осей Ox, Oy, Oz, проходящих через точку О;
– вектор момента силы относительно точки О;
– радиус-вектор, проведенный из точки О в любую точку на линии действия силы (рис. 1.1).
По первому способу момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора момента силы относительно точки, лежащей на этой оси. Метод очевидно рационален, если вектор 
задан или на предыдущем этапе решения была поставлена задача его найти.
Й способ
Для того, чтобы найти момент силы относительно оси необходимо реализовать следующий алгоритм:
· найти проекцию силы на плоскость, перпендикулярную этой оси;
· определить плечо найденной проекции силы относительно точки пересечения упомянутых оси и плоскости, являющееся кратчайшим расстоянием от точки пересечения оси с плоскостью до линии действия проекции силы;
· вычислить произведение проекции силы на плечо.
· Правило знаков: если при взгляде с положительного конца оси видно, что проекция силы стремится повернуть свое плечо вокруг точки пересечения оси с плоскостью против хода часовой стрелки, то момент силы положительный, иначе – отрицательный.
;
;
Рис. 1.1. Моменты силы относительно координатных осей как проекции на эти оси вектора 
Например, для вычисления момента силы относительно оси Аz нужно выполнить действия (рис. 1.2):
1) Проводим через любую точку О на оси Аz плоскость Oxy, перпендикулярную оси Аz;
2) Определяем проекцию силы на эту плоскость 
3) Определяем плечо 
проекции силы относительно точки О пересечения оси Аz с плоскостью Oxy;
4) Записываем выражение момента с положительным знаком
;
т.к. при взгляде с положительного конца оси Аz видно, что проекция 
силы стремится повернуть свое плечо вокруг точки О против хода часовой стрелки.
|
|
|
Рис. 1.2. Момент силы относительно координатной оси – 2-й способ
Й способ
Аналитические выражения моментов силы – моменты силы относительно координатных осей выражают через проекции силы на координатные оси и координаты любой точки на линии действия силы
;
;
где 
– проекции силы на оси координат Ox, Oy, Oz;
x,y,z – координаты любой точки на линии действия силы в системе координат Oxyz.
Частные случаи, в которых момент силы относительно координатной оси равен нулю
Из алгоритма 2-го способа следует, что если выполнено одно из 2-х условий:
сила параллельна оси – тогда проекция силы на плоскость перпендикулярную этой оси будет равна нулю или
линия действия силы пересекает ось – тогда плечо проекции силы относительно точки пересечения указанных оси и плоскости будет равно нулю,
то момент силы относительно такой оси будет равен нулю.
1.3. Моменты пары сил относительно координатных осей
Моменты пары сил относительно координатных осей могут быть вычислены двумя способами.
Й способ
Известен момент пары сил как вектор 
. Момент пары сил относительно координатной оси по первому способу равен проекции на эту ось вектора момента пары сил.
где 
- моменты пары сил относительно координатных осей Ox, Oy, Oz, проходящих через любую точку О пространства;
;
– радиус-вектор пары сил, то есть вектор, проведенный из любой точки на линии действия одной силы в любую точку на линии действия другой (рис.1.3). На этом рисунке использовано свойство пары сил – пару сил можно переносить параллельно самой себе в любую точку в пределах тела.
Й способ
В случае, когда плоскость действия пары сил не перпендикулярна координатной оси можно применить 2-й способ: найти проекцию пары сил на плоскость перпендикулярную “нужной” оси и затем вычислить момент найденной проекции пары сил (рис. 1.4).
|
|
|
;
;
Рис. 1.3. Моменты пары сил относительно координатных осей как проекции на эти оси вектора 
где 
– проекции плеча h пары сил на плоскости Oyz, Ozx, Oxy, соответственно;
– проекции сил, образующих пару, на эти плоскости.
Правило знаков: если при взгляде с положительного конца оси видно, что проекции сил, образующих пару, стремятся повернуть свое плечо против хода часовой стрелки, то момент пары сил положительный, иначе - отрицательный.
Например, момент MOz пары сил, показанный на рис. 1.4, относительно оси Oz отрицательный.
Рис. 1.4. Момент пары сил относительно координатной оси – 2-й способ
1.4. Условия равновесия пространственной системы сил
Для того, чтобы пространственная система сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы соблюдались следующие шесть условий (уравнений) равновесия:
;
;
;
;
;
,
где 
– алгебраические суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на оси координат Ox, Oy, Oz, проведенные через любую точку О пространства;
– алгебраические суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно осей координат Ox, Oy, Oz;
1.5. Реакции пространственных связей
Сферический шарнир
Поскольку реакция этой связи может быть направлена как угодно в пространстве, то при мысленном отбрасывании сферического шарнира он заменяется тремя составляющими 
полной реакции 
, которые исключают перемещение точки В в любом направлении в пространстве (рис. 1. 5).
Рис. 1.5. Сферический шарнир: конструкция, условное обозначение, реакции
После нахождения величин составляющих, полная реакции сферического шарнира определяется по формуле
;
;
где обозначено 
; 
; 
,
, 
, 
– единичные векторы (орты) координатных осей x, y, z, соответственно (такое обозначение проекций как векторов применяется и дальше)
Подпятник
На рис 1.6 изображено тело А, удерживаемое неподвижным цилиндрическим подшипником В и подпятником С. На этом же рисунке изображены составляющие реакции мысленно отброшенных связей. Цилиндрический подшипник препятствует перемещению точки В в любом направлении в плоскости, перпендикулярной оси z, не ограничивает перемещение вдоль оси z. Подпятник обеспечивает невозможность перемещения точки С в любом направлении. Обе связи не накладывают никаких ограничений на поворот тела.
|
|
|
Реакции - цилиндрического шарнира: 
;
;
- подпятника: 
;
.
Рис. 1.6. Цилиндрически подшипник В, подпятник С и их реакции
Пространственная заделка
Эта связь способна создавать удерживающую опорную реакцию любого направления в пространстве и удерживающий реактивный момент также любого направления. При мысленном отбрасывании заделки в пространстве необходимо приложить к объекту равновесия три составляющие опорной реакции 
и три составляющие реактивного момента 
(рис 1.7). Пространственная заделка обеспечивает отсутствие перемещения точки А в любом направлении, а также невозможность поворота вокруг любой оси, проходящей через эту точку.
Рис. 1.7. Пространственная заделка и ее реакции
Опорная реакция 
;
;
Реактивный момент 
;
;
|
|
|
