Алгоритм расчета надежности приближенным методом

1) Для исследуемой системы необходимо составить условия ее работоспособности, выраженные через конъюнкцию (логическое умножение) отрицаний всех минимальных сечений отказов,

 

 n - n

Yc(X₁,X₂,...,X_m) = & S_j = & [v X_k],                                  (53)

 j=1 j=1

где n - число минимальных сечений отказов системы;

S_j - отрицание j-го минимального сечения отказа системы;

x_k - к-й элемент (техническое средство) системы, который находясь в работоспособном состоянии, обеспечивает работоспособное состояние системы и входит в j-е минимальное сечение отказа системы;

v X_k - дизъюнкция элементов, входящих в j-е минимальное сечение

отказа системы.

2). Упростить ФАЛ, вынеся за скобки дизъюнкций одинаковые члены в некоторых конъюнкциях (используя распределительный закон дизъюнкции: (X₁vX₂)&(X₁vX₃) = X₁vX₂&X_3. При этом надо сохранить конъюнктивную форму записи функции Yc. Иначе говоря, следует от конъюнкции элементарных дизъюнкций (S_j) перейти к конъюнкции (логическому произведению) преобразованных по изложенному выше правилу ДНФ (дизъюнкций), которые названы в [8, 9] звеньями схемы ненадежности системы:   n -  r

Yc(X₁,X₂,...,X_m) = & S_j = & З_i                                          (54.а)

 j=1 i=1

где r - число звеньев схемы ненадежности (r<= n);

n - число минимальных сечений отказов системы;

З_i - логическая функция i-го звена схемы ненадежности.

Схема ненадежности системы - последовательно-параллельная

                                                                                           r

структурная схема, соответствующая, функции                & З_i.

i=1

3). Используя выражение (54.а), с учетом выделенных звеньев изобразить схему ненадежности системы.

Отличительной особенностью схемы ненадежности системы является последовательное соединение звеньев, составленных из всевозможных минимальных наборов элементов (ТС), одновременный отказ которых приводит к отказу всей системы в целом.

Например, для системы резервированной по схеме 2 из 3 ФРС и схема ненадежности будут иметь следующий вид

Yc(X₁,X₂,X₃) = X₁  X₁ X₂ = X₁ X₂  

X₂ X₃ X₃    X₂X₃ X₃  

 

₁                                         З₂

 

                                                                            Y_С(X_З)

 

 Схема ненадежности системы

 

4). Рассчитать вероятность безотказной работы системы с учетом восстановления элементов системы (ТС), используя полученную схему ненадежности системы.

Рассмотрим более подробно п.4. Функция Y_С(X₁,...,X_m) является, как правило, повторной ФАЛ, а для точного решения задачи по расчету надежности системы требуется ее преобразование к бесповторному или ортогональному виду (при этом мы не учитываем восстановление).

В ущерб точности решения задачи с целью получения расчетных формул, позволяющих определять вероятности безотказной работы звеньев Rз_i с учетом восстановления элементов системы, пренебрегаем зависимостью отказов звеньев схемы ненадежности системы (из-за повторности их ФАЛ).

В этом случае вероятность безотказной работы системы определяется формулой:

 r

Rс = П Rз_i,                                                      (54)

i=1

где Rс - вероятность безотказной работы исследуемой системы;

Rз_i - вероятность безотказной работы i-го звена схемы ненадежности системы.

Расчет надежности системы по формуле (54) несколько занижает вероятность безотказной работы системы по сравнению с точным значением этой вероятности. Таким образом, ошибка расчета идет в запас надежности.

Покажем это на примере системы, схема ненадежности которой представлена на рисунке. ФРС звеньев схемы ненадежности имеют бесповторную форму, поэтому можно вычислить их вероятности безотказной работы без учета восстановления (используя теорему де Моргана: А v B = (A'&B')'): Rз₁ = (1 - (1-R₁)*(1-R₂*R₃)); Rз₂ = (1 - (1-R₂)*(1-R₃));

Приняв R₁= R₂ = R₃ = 0.9, получим: R_с = (1-(1-0.9)*(1-0.9*0.9))*(1-(1-0.9)*(1-0.9)) = 0.97119. Результат при точном решении по формуле R_с = 3*R² -2*R³ = 3*0.9*0.9-2*0.9*0.9*0.9 = 0.972.

 Оценим неточность расчета приближенным методом:

DR_c = (0.972-0.971)/0.972 = 0.001.

Вывод: Ошибка при расчете надежности системы приближенным методом без учета восстановления незначительна и расчет является в некотором смысле гарантийным.

Теперь задача состоит в том, чтобы получить расчетные формулы, позволяющие определять вероятности Rз_i с учетом восстановления элементов системы.

Функции Зi, записанные в ДНФ представляют собой простые параллельные структуры, соответствующие горячему резервированию, а в последовательных цепях (членах дизъюнкции З_i) находятся, как правило, разнотипные элементы.

Таким образом, задача определения вероятности безотказной работы звена схемы ненадежности Rз_i делится на две частные задачи:

1) по известным характеристикам безотказности и восстанавливаемости элементов, находящихся в каждой последовательной цепи звена, оценить соответствующие характеристики этой цепи;

2) по найденным характеристикам последовательных цепей, входящих в состав звена, оценить надежность всего звена.

Эти задачи решены в [8, 9] при следующих допущениях:

1. Процесс восстановления элементов системы (как поток событий) является стационарным в широком смысле. Стационарным в широком смысле называется поток взаимно не перекрывающихся во времени импульсов.

2. Отказ и восстановление элементов события независимые.

3. Все исправные элементы находятся в режиме горячего резервирования, а все неисправные восстанавливаются (неограниченное восстановление).

Сформулированные выше задачи решены в [8, 9] с помощью теории совпадения импульсов независимых потоков. Для этого процесс функционирования каждого элемента системы X_k (k = 1,2,..., n) представлен в виде прямоугольных импульсов. При этом амплитуды импульсов приняты равными единице, длительность импульса - времени восстановления элемента, а продолжительность исправной работы элемента - поставлена в соответствие с длительностью паузы между импульсами.

   Для решения поставленной задачи в [8, 9] введено понятие импульс совпадения, который образуется в результате совпадения во времени нескольких импульсов (совпадение двух и более импульсов считается состоявшимся, если их длительности перекрываются хотя бы частично). Длительность такого импульса обозначается t_n,s, где n - число элементов системы, а s - число совпавших импульсов.

Через t_n,o обозначается длительность совпадающих пауз (время между отказами элемента).

Длительность импульса совпадений t_n,s, образованного в результате перекрытия во времени заданного числа S импульсов независимых потоков, является случайной величиной. А отсюда следует, что имеется принципиальная возможность вычислить математическое ожидание Tn,s для любых n при условии: 0 <= s <= n. В [8, c.341] приведены формулы для определения средней длительности импульса потока совпадений, образованного в результате перекрытия во времени 0, 1, n-1 и n из n импульсов.

-         n -

T_n,_o = 1/ S(1/Y_k) - средняя длительность совпадающих пауз между k=1

отказами, которая трактуется как математическое ожидание времени безотказной работы n элементов последовательной цепи звена схемы ненадежности.

Среднее время восстановления этой же цепи определяется - суммой различного числа длительностей импульсов совпадений Tn,i (ибо в последовательной цепи общее среднее время ремонта будет определяться временем ремонта каждого из ее элементов с учетом всех возможных совпадений этих ремонтов, если в период ремонта одного элемента возможны отказы других, то есть возможны совпадения ремонтов по два, три и т.д.).

Таким образом, параметры одного элемента Xэ, являющегося эквивалентом последовательной цепочки из n элементов.

 

     _        _                        _                      _

     T₁     T₂                   T_n               T_З

XЗ

X1

Xn

X1

                                 ….               =

     _   _                 _                 _

     Tв₁ Tв₂                    Tв_n                  Tв_З

Последовательная цепочка из n элементов

определяются выражениями:

-  -

T_Э = T_n,o                                                                    (55)

    N -                                 

T_вэ = S T_n,i,    

i=1

где T_э - средняя наработка на отказ эквивалентного элемента Xэ;

T_вэ - среднее время восстановления работоспособного состояния элемента Xэ.

Расчетное выражение для определения T_вэ при произвольном n приведенные в [8, c.341] громоздки, поэтому ограничимся формулами только для n = 2 и 3:

 

- - - - - -

 -(2) - -     Tв1T2+Tв2T1 Tв1Tв2

Tвэ =T2,1+T2,2 = ------------------- + ------------                               (56)

 -  -  - -   -  -

Tв1+Tв2+T1+T2 Tв1+Tв2

- - - - - - - - -

 -(3)                           Tв1T2T3+Tв2T1T3+Tв3T1T2

Tвэ =T3,1+T3,2+T3,3 = ----------------------------------------------->-

     - - -  - - - - - -

                                   Tв1(T2+T3)+Tв2(T1+T3)+Tв3(T1+T2)+

 - - -  - - -  - - -

T1Tв2Tв3+T2Tв1Tв3+T3Tв1Tв2

->------------------------+ ------------------------------------------------------>

- - - - - -   - -  -    - -  -    - -  -

+T1T2+T1T3+T2T3 T1(Tв2+Tв3)+T2(Tв1+Tв3)+T3(Tв1+Tв2) +

                                            - - -

      Tв1Tв2Tв3

->------------------------------- + ----------------------------------       (57)

- -  - -  - -      - -  - -  - -

 +Tв1Tв2+Tв1Tв3+Tв2Tв3 Tв1Tв2+Tв1Tв3+Tв2Tв3

Если при ремонте одного элемента цепи отказы других невозможны (случай, весьма распространенный на практике), то расчеты весьма упрощаются, так как среднее время восстановления такой цепи будет равно математическому ожиданию длительности только одного импульса совпадений Tn,1.

Вычислив средние времена Tэ и Tвэ для m параллельных ветвей звена схемы ненадежности системы, определяем параметры всего зве-

-  -

на Tз и Tвз, то есть решаем вторую часть стоящей перед нами задачи. Среднее время восстановления звена схемы ненадежности системы равно средней длительности импульса совпадений Tm,m, то есть средней длительности совпадения ремонтов во всех m ветвях одновременно (ибо в противном случае нашлись бы ветви "без ремонтов", а это означало бы, что звено исправно).

     -       -

Tвз = Tm,m                                             (58)

Расчетная формула для определения среднего времени восстановления звена схемы ненадежности системы:

      -      m -

Tвз = 1/S 1/Tвк                                                        (59)

к=1                                                                 -

Математическое ожидание времени безотказной работы звена Tз

вычисляется через среднее время восстановления звена и среднее время

                                                   -              - - -

между отказами звена Tм.о [8, c.342]: Tз = Tм.о - Tвз            (60)

 

Среднее время между отказами звена обратно пропорционально средней

частоте следования импульсов совпадения Mm,m и определяется выражением:

-          -     m - - m m -  -

Tм.о = 1/ Mm,m = П (Tэj+Tвэj)/ S П Tвэi/ Tвэj =

j=1          j=1i=1

    m     m

= П (1+ r_эj)/ r_эj/ Sn_эj                                                              (61)

       j=1      j=1

-  -      -

где r_эj = T_вэj/ T_эj; n_эj = 1/ T_вэj.

Если принять допущение (обычно принимаемое в теории массового обслуживания), что плотности распределения случайных величин T_к и T_вк подчиняются экспоненциальному закону, то суммарный поток восстановлений будет простейшим при любом n, а интенсивность потока отказов последовательной цепочки из n элементов i-го звена схемы ненадежности системы будет равна:

                          n

l_э = S l_k,                                                              (62)

                                 k=1

а интенсивность потока восстановления этой цепочки будет определяться выражением следующего вида:

n   n n

Sn_k + Sr_k(Sl_i- l_k)

k=1 k=1 i=1

n_э = ---------------------------                                                      (63)

n

Sr_k

        k=1

В свою очередь интенсивность потока отказов i-го звена вычисляется по формуле:

- m   m 1 + r_эj

lзi = 1/ Tзi = Sn_эj / П -------,                                            (64)

j=1 j=1 r_эj

а интенсивность потока восстановления этого звена вычисляется по формуле:

m

n_з = S n_эj                                                                       (65)

j=1

Вероятность безотказной работы i-го звена схемы ненадежности равна

R_зi(t) = exp(- l_зi*t)                                                          (66)

Вероятность безотказной работы всей схемы ненадежности вычисляется из соотношения:

r

R_сн(t) = exp(-t*Sl_зi)                                                                                               (67)

r=1

Коэффициент готовности Kг, то есть стационарная вероятность застать систему в любой момент времени в исправном состоянии, определяется выражением:

 r - -    r - - -   r

Kг = П T_зi/T_м.о = П T_зi/(T_зi + Tв_зi) = П n_зi/(l_зi + n_зi)                                             (68)

 i=1          i=1                   i=1

Выводы:

1. Системы ЭЧ АЭС являются восстанавливаемыми системами с резервированием и разнотипными ТС. Количественный учет влияния восстановления отказавших элементов на надежность таких систем возможен при расчетах их надежности приближенным методом, который базируется на использовании аппарата алгебры логики и теории случайных импульсных потоков.

2. Алгоритм расчета надежности приближенным методом требует принятия ряда допущений:

1). Процесс восстановления элементов системы является стационарным в широком смысле.

2). Суммарный поток восстановлений последовательной цепи звена схемы ненадежности системы простейший.

3). Отказ и восстановление элементов события независимые.

4). Все исправные элементы находятся в режиме горячего резервирования, а все неисправные восстанавливаются (неограниченное восстановление).

5). Суммарный поток отказов звена схемы ненадежности системы простейший.

3. Алгоритм расчета надежности приближенным методом предусматривает следующую последовательность операций:

1). Для исследуемой системы необходимо записать условия ее работоспособности (ФАЛ), выраженные через конъюнкцию отрицаний всех минимальных сечений отказов.

2). Упростить ФАЛ, вынеся за скобки одинаковые члены в некоторых конъюнкциях. При этом надо сохранить конъюнктивную форму записи функции Yc.

3). Используя выражение ФАЛ, полученное в п.2, с учетом выделенных звеньев изобразить схему ненадежности системы.

4). По известным характеристикам безотказности и восстанавливаемости элементов, находящихся в каждой последовательной цепи звена, оценить соответствующие характеристики этой цепи (формулы 5, 6, 11, 12).

5). По найденным характеристикам последовательных цепей, входящих в состав звена, оценить надежность всего звена.

6). По найденным характеристикам звеньев схемы ненадежности системы, вычислить вероятность безотказной работы всей схемы

ненадежности.

7). Коэффициент готовности Kг, то есть стационарную вероятность застать систему в любой момент времени в исправном состоянии, определяется выражением.

 

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: