Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Пример исследования функции




Исследовать функцию  и построить ее график.

 

 

Выразим функцию в явном виде.

В левой части формулы содержится переменная величина y в первой степени, а в правой – только другая переменная х, поэтому функция задана в явном виде.

 

Найдем область определения функции.

Функция определена всюду, кроме точки х = 1, т. к. знаменатель дроби при х = 1 обращается в нуль.

Значит, D (х) = (- ¥; 1) È (1; + ¥), а х = 1 – точка разрыва.

 

Проверим функцию на четность или нечетность.

Так как функция имеет одну точку разрыва, которая не совпадает с началом координат, т. е. область определения функции не симметрична относительно точки х = 0, то говорить о четности или нечетности не имеет смысла, тем не менее проведем проверку по общему правилу:

 = - ,

 

т.е. f (- х) ¹ f (х) и f (- х) ¹ - f (х) - рассматриваемая функция не является четной и не является нечетной, это функция общего вида.

 

Проверим функцию на периодичность.

Не существует такого числа Т, для которого бы выполнялось условие:

f (х) = f (х + Т), т. е. функция не является периодической.

 

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

   При х = 0 у (0) = =  , значит точка с координатами (0; ) – точка пересечения графика функции с осью ординат;

если у = 0, то  = 0   х = -1, значит точка с координатами (-1; 0) – точка пересечения графика функции с осью абсцисс.

Найдем асимптоты графика.

 

· Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва х = 1.

Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

 

Предел функции, когда аргумент стремится к точке разрыва слева .

Предел функции, когда аргумент стремится к точке разрыва справа .

Значит, вертикальная асимптота у графика функции одна и определяется уравнением х = 1.

 

· Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как

 

 

· Наклонные асимптоты.

Находим коэффициенты для записи уравнения наклонной асимптоты :

 

 

 .

Наклонная асимптота одна и задается уравнением .

Асимптота пересекает график функции в точке , так как система  имеет решение .

 

Найдем первую производную функции.

    у¢ =  

 

Критические точки найдем из уравнения  .

 

Имеем: = 0;

 

 критическая точка х = 5.

Найдем промежутки монотонности.

Разобъем область определения функции на интервалы критическими точками и проверим знак производной в каждом из этих интервалов.

 

Х   (- ¥; 1)   (1; 5)   5   (5; + ¥)
У ¢ + - 0 +
У   ­   ¯ Min 4,5   ­

 

(В таблице стрелка ­ означает возрастание, ¯ - убывание функции.)

 

Итак, (- ¥; 1) и (5; + ¥) - интервалы возрастания функции;

 (1; 5) - интервал убывания функции.

 

Производная функции при переходе через точку х = 5 меняет знак, с “ - “ на “ + “, значит х = 5 - точка локального минимума.

 

Найдем значение экстремума.

Значение экстремума находятся подстановкой значений точек экстремума в формулу, задающую функцию, т.е.

ymin = y (5) =  - экстремум (минимум) функции.

 

Найдем вторую производную функции.

      у² = (у ¢)¢ =  =    

Очевидно, что у² существует всюду в области определения функции, поэтому точки, критические на перегиб найдем из условия у² = 0:

   критическая точка х = - 1.  

 

Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

 

Разобъем область определения функции на интервалы критическими точками.

 

Х   (- ¥; - 1)   -1   (-1; 1)   (1; + ¥)
У ¢¢ - 0 + +
У   Ç   0 перегиб   È   È

 

Интервалы вогнутости (-1; 1) и (1; + ¥);

интервал выпуклости (- ¥; - 1).

В точке х = -1 вторая производная меняет знак, следовательно - это точка перегиба.

 

Найдем перегиб графика функции.

 

 Значение перегиба находится подстановкой значения точки перегиба в формулу, задающую функцию, т.е.

 

  у (- 1) = , значит (-1; 0) – точка перегиба графика функции.

Строим график функции.

 

Проведя все исследования, строим оси координат, асимптоты, отмечаем все характерные точки (точки экстремума, точки перегиба, точки пересечения с осями координат) и строим график функции.

 

Если целесообразно уточнение поведения графика функции, то можно вычислить некоторые дополнительные (вспомогательные) точки, например в данном случае целесообразно уточнить прохождение графика функции правее вертикальной асимптоты, т.к.:

y (3) = ;

y (7) =

 

 

 

Вариант Задание: исследовать функцию и построить ее график Вариант Задание: исследовать функцию и построить ее график

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...