Пример исследования функции
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Исследовать функцию и построить ее график.
Выразим функцию в явном виде. В левой части формулы содержится переменная величина y в первой степени, а в правой – только другая переменная х, поэтому функция задана в явном виде.
Найдем область определения функции. Функция определена всюду, кроме точки х = 1, т. к. знаменатель дроби при х = 1 обращается в нуль. Значит, D (х) = (- ¥; 1) È (1; + ¥), а х = 1 – точка разрыва.
Проверим функцию на четность или нечетность. Так как функция имеет одну точку разрыва, которая не совпадает с началом координат, т. е. область определения функции не симметрична относительно точки х = 0, то говорить о четности или нечетности не имеет смысла, тем не менее проведем проверку по общему правилу: = - ,
т.е. f (- х) ¹ f (х) и f (- х) ¹ - f (х) - рассматриваемая функция не является четной и не является нечетной, это функция общего вида.
Проверим функцию на периодичность. Не существует такого числа Т, для которого бы выполнялось условие: f (х) = f (х + Т), т. е. функция не является периодической.
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 у (0) = = , значит точка с координатами (0; ) – точка пересечения графика функции с осью ординат; если у = 0, то = 0 х = -1, значит точка с координатами (-1; 0) – точка пересечения графика функции с осью абсцисс. Найдем асимптоты графика.
· Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва х = 1. Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
Предел функции, когда аргумент стремится к точке разрыва слева . Предел функции, когда аргумент стремится к точке разрыва справа . Значит, вертикальная асимптота у графика функции одна и определяется уравнением х = 1.
· Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как
· Наклонные асимптоты. Находим коэффициенты для записи уравнения наклонной асимптоты :
. Наклонная асимптота одна и задается уравнением . Асимптота пересекает график функции в точке , так как система имеет решение .
Найдем первую производную функции. у¢ =
Критические точки найдем из уравнения .
Имеем: = 0;
критическая точка х = 5.
Найдем промежутки монотонности. Разобъем область определения функции на интервалы критическими точками и проверим знак производной в каждом из этих интервалов.
(В таблице стрелка означает возрастание, ¯ - убывание функции.)
Итак, (- ¥; 1) и (5; + ¥) - интервалы возрастания функции; (1; 5) - интервал убывания функции.
Производная функции при переходе через точку х = 5 меняет знак, с “ - “ на “ + “, значит х = 5 - точка локального минимума.
Найдем значение экстремума. Значение экстремума находятся подстановкой значений точек экстремума в формулу, задающую функцию, т.е. ymin = y (5) = - экстремум (минимум) функции.
Найдем вторую производную функции. у² = (у ¢)¢ = = Очевидно, что у² существует всюду в области определения функции, поэтому точки, критические на перегиб найдем из условия у² = 0: критическая точка х = - 1.
Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Разобъем область определения функции на интервалы критическими точками.
Интервалы вогнутости (-1; 1) и (1; + ¥);
интервал выпуклости (- ¥; - 1). В точке х = -1 вторая производная меняет знак, следовательно - это точка перегиба.
Найдем перегиб графика функции.
Значение перегиба находится подстановкой значения точки перегиба в формулу, задающую функцию, т.е.
у (- 1) = , значит (-1; 0) – точка перегиба графика функции. Строим график функции.
Проведя все исследования, строим оси координат, асимптоты, отмечаем все характерные точки (точки экстремума, точки перегиба, точки пересечения с осями координат) и строим график функции.
Если целесообразно уточнение поведения графика функции, то можно вычислить некоторые дополнительные (вспомогательные) точки, например в данном случае целесообразно уточнить прохождение графика функции правее вертикальной асимптоты, т.к.: y (3) = ; y (7) =
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|